Кватернионите: Мостът между абстракцията и реалния свят

Историята на кватернионите

Има ли числа отвъд комплексните числа?

През 40-те години на XIX в. Уилям Роуън Хамилтън се опитва да реши един труден проблем. Той знаел, че комплексните числа могат да се разглеждат като точки в двуизмерно пространство и че могат да се събират и умножават с помощта на определени геометрични или алгебрични операции.

Това е история за една мания по абстрактните числа и как те се оказали полезни за решаването на реални проблеми - проблеми, които се решават с помощта на тези числа и до днес!

Откритието

През 1843 г. Хамилтън вече е работил по един труден проблем от доста време. А именно да намери числа в триизмерното пространство, които да се държат добре точно като комплексните числа. Точките в триизмерното пространство могат да бъдат представени чрез техните координати, които са тройки от вида $(x,y,z)$ и имат очевидно правило за събиране, което ги прави вектори по отношение на събирането, но Хамилтън е имал затруднения с определянето на подходящо умножение.

Следва писмо, което Хамилтън пише по-късно на сина си Арчибалд:

Всяка сутрин в началото на октомври 1843 г., когато слизах на закуска, брат ти Уилям Едуин и ти самият ме питахте: „Е, татко, можеш ли да умножаваш тройки?“ На което аз винаги бях принуден да отговарям с тъжно поклащане на глава: „Не, мога само да ги събирам и изваждам.“

Но на 16 октомври 1843 г. Хамилтън и съпругата му се разхождали по Кралския канал в Дъблин на път за заседание на съвета в Кралската ирландска академия. Докато вървели по моста Броуъм (който в наши дни се нарича Броум Бридж ), в ума му изведнъж се появило решение. Докато вървял по моста, го осенило светкавично прозрение.

Хамилтън не успял да намери начин да създаде система от числа, която да работи в триизмерното пространство, но открил решение за четири измерения. Като използвал първите три числа от една четворка, за да обозначи координатите в триизмерното пространство, той създал нова числова система. За да бъде алгебрата на тази система коректна, обаче, било необходимо четвъртото число в четворката да представлява допълнително измерение. Това било неговото велико откритие!

Хамилтън бил толкова убеден в значимостта на своето откритие, че се страхувал да не го забрави или загуби идеята си. В момент на вдъхновение, докато се разхождал, той издълбал основните правила за умножение на новата си числова система върху камъните на мост — действие, което отразява драматичността и решителността му в този исторически миг. На моста се появили символите:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Съпругата му сигурно е била много търпелива, докато го е чакала на студа (а може би е изпитала облекчение, че ловът на тези митични числа вече е приключил).

На следващия ден Хамилтън пише писмо до своя приятел и колега математик Джон Т. Грейвс, в което описва чудото на моста.

„И тук ме осени мисълта, че в някакъв смисъл трябва да признаем четвърто измерение на пространството за целите на изчисленията с тройки... Електрическата верига сякаш се затвори и блесна искра.“

Хамилтън нарекъл новата си числова система „кватерниони“ и посветил остатъка от живота си на тяхното изследване и преподаване. Тази идея станала основна тема на неговата работа и той останал отдаден на нея до края на дните си.

Математиката

Точно както комплексните числа имат алгебрична и геометрична страна, така и кватернионите. Всъщност полето на комплексните числа в известен смисъл е вградено в пространството на кватернионите, така че би трябвало да очакваме някои общи резултати, които важат за кватернионите и за комплексните числа - ще видим, че това всъщност е вярно.

Така че имаме верига от множества $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{H}$, където всяко множество е подмножество на множеството отдясно. Тези множества са съответно естествените числа, целите числа, рационалните числа, реалните числа, комплексните числа и кватернионите. Тогава естественият въпрос е:

Съществуват ли по-размерни числови пространства от кватернионите?

Отговорът на този въпрос е „да“, но ние трябва да се научим да ходим, преди да се опитаме да тичаме, затова нека поговорим за кватернионите. И да, буквата $H$ е за Хамилтън!

Точно както можем да разглеждаме комплексните числа като точки (или вектори) в $\mathbb{R^2}$ (2-измерно пространство над реалните числа), можем да разглеждаме кватернионите като точки в $\mathbb{R^4}$ и следователно ни трябват 4 реални числа, за да дефинираме един кватернион. Кватернионът е израз от вида $q=a+bi+cj+dk$, където $a$, $b$, $c$ и $d$ са реални числа, а символите $i$, $j$ и $k$ удовлетворяват определени алгебрични отношения помежду си.

По-конкретно имаме $i^2=j^2=k^2=ikj=-1$ (което Хамилтън е записал на моста), и освен това,

• $ij=k$
• $ji=-k$
• $jk=i$
• $kj=-i$
• $ki=j$
• $ik=-j$

Заедно с дистрибутивния и асоциативния закон, които важат и за кватернионите, тези правила определят алгебрата на $\mathbb{H}$.

Забележете, че кватернионите не са комутативни. Това означава, че в общия случай $qw\neq wq$. На пръв поглед това може да изглежда странно, че трябва да следим посоката, в която умножаваме числата заедно, но тези от вас, които са се влачили през безкрайни часове линейна алгебра (както и аз), знаят, че много други математически структури и пространства споделят това некомутативно свойство.

Понякога записваме един кватернион като сума от скаларна част a и векторна част ${\bf v}$. Така можем да напишем $q=a+bi+cj+dk=a+{\bf v}$ .

В този вид записваме конюгираната форма на кватерниона $q^*=a-{\bf v}=a-bi-cj-dk$. Квадратният корен от произведението на един кватернион с неговата конюгирана форма се нарича негова норма и представлява разстоянието от началото до кватерниона в $\mathbb{R^4}$. Това е,

$||q||=\sqrt{qq^*}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$.

Това, разбира се, е просто Питагоровата теорема в 4 измерения.

Ойлер открива удивителна връзка между експоненциалната функция и тригонометричните функции чрез комплексното число $i$, а именно, че

$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$.

Една от красотите на теорията на кватернионите е формулата на Ойлер за кватернионите. Удивително е, че ако запишем един кватернион $q=a+{\bf v}$ тогава е в сила следната красива зависимост:

$e^{{\bf v}}=\cos{||{\bf v}||}+\frac{{\bf v}}{||{\bf v}||}\sin{||{\bf v}||}$

Забележете, че това всъщност е обобщение на формулата на Ойлер, тъй като ако имаме кватернион $z=xi$, където $a=c=d=0$, то двете формули съвпадат.

Хамилтън измислил тези числа, за да работи с ротации в триизмерното пространство. И така, въпреки че живеят в четири измерения, се оказва, че те са много ефективни за работа с ротации в триизмерно пространство, ако просто следите векторната част, която, разбира се, живее в $\mathbb{R^3}$.

Приложения и преглед

Кватернионите се използват в много чисто математически контексти, например при изучаването на абстрактни алгебрични структури. Оказва се обаче, че има многобройни приложения на кватернионите за съвсем реални неща. Например в 3D компютърната графика кватернионите се използват постоянно, тъй като са по-ефективни и по-бързи от съответните матрици.

Кватернионите се използват и в едно от доказателствата на теоремата на Лагранж за четирите квадрата в теорията на числата, която гласи, че всяко неотрицателно цяло число е сума от четири цели квадрата. Теоремата на Лагранж за четирите квадрата има полезни приложения в области на математиката извън теорията на числата, като например теорията на комбинаторния дизайн.

Очевидно те се използват и в кристалографския текстурен анализ.

Кватернионите имат своето място в математиката, но голяма част от теорията вече е заменена с по-обща постановка. На съвременен език кватернионите образуват четириизмерна асоциативна нормирана алгебра с деление над реалните числа и това е първата открита некомутативна алгебра с деление.

Вече сме навлезли в сферата на абстрактната алгебра и както накратко споменах в началото, съществуват и други по-високоизмерни числови пространства от кватернионите. По принцип тези алгебри, разширяващи комплексните числа, се наричат хиперкомплексни числови пространства, а следващото такова пространство е това на октонионите , означено с $\mathbb{O}$, и те живеят в 8-мерно пространство.

При октонионите обаче липсват комутативният и асоциативният закон, което ги прави още по-трудни за работа от кватернионите. Като цяло всеки път, когато издигаме числата нагоре и разглеждаме по-високоизмерни пространства, губим част от структурата.

Ние сме близо до края на това пътуване към по-високите измерения. Надявам се, че тази статия ще ви вдъхнови да потърсите тези красоти за себе си и да се опитате да си поиграете с тях.