Човекът, който пречупи математиката: Гениалността на Гьодел и границите на логиката
Революционните теореми за непълнота на Гьодел, публикувани, когато той е само на 25 години, преобръщат основите на математиката. Той доказва, че независимо какъв набор от аксиоми изберете за основа на математиката, този набор никога няма да бъде напълно завършен – винаги ще съществуват математически истини, които тези аксиоми не могат да докажат. Освен това Гьодел показва, че никой набор от аксиоми не може да докаже собствената си логическа последователност.
Теоремите за непълнота на Гьодел показват, че е невъзможно да съществува „математическа теория на всичко“ – обединение на всичко, което е доказуемо, и всичко, което е вярно. Това, което математиката може да докаже, винаги зависи от избраните изходни предположения (аксиоми), а не от универсална истина, която обхваща всички възможни отговори.
След откритията на Гьодел математиците започват да се сблъскват с въпроси, на които няма как да се дадат категорични отговори – точно както предсказват неговите теореми. Самият Гьодел допринася за разбирането, че хипотезата за континуума, свързана с размерите на безкрайността, е нерешим проблем. По подобен начин е доказано, че проблемът за спирането – въпросът дали дадена компютърна програма ще продължи да работи безкрайно или ще спре – също няма общо решение.
Номериране на Гьодел
Основната маневра на Гьодел е да съпостави твърденията за система от аксиоми с твърдения в рамките на системата - т.е. с твърдения за числа. Това съпоставяне позволява на системата от аксиоми да „говори“ за себе си по начин, който никога преди това не е бил възможен.
Първата стъпка в този процес е да се съпостави всяко възможно математическо твърдение или поредица от твърдения с уникално число, известно като число на Гьодел.
Леко модифицираната версия на схемата на Гьодел, представена от Ърнест Нагел и Джеймс Нюман в книгата им от 1958 г. „ Доказателството на Гьодел“, започва с $12$ елементарни символа, които служат като речник за изразяване на набор от основни аксиоми. Например твърдението, че нещо съществува, може да се изрази със символа $\exists$, а събирането се изразява с $+$. Важно е да се отбележи, че символът $s$, обозначаващ „наследник на“, дава възможност за определяне на числата; например $ss0$ се отнася за $2$.
След това на тези дванадесет символа се присвояват числата на Гьодел от $1$ до $12$.
Освен това променливи като $x$, $y$ и $z$ получават прости числа, по-големи от $12$, като $13$, $17$, $19$ и т.н.
Всяка комбинация от символи и променливи, тоест всяка аритметична формула или последователност от формули, също получава уникално число на Гьодел.
Нека разгледаме $0=0$. Трите символа на формулата съответстват на числата на Гьодел $6$, $5$ и $6$. За да превърне тази поредица от три числа в едно единствено уникално число - такова, което никоя друга поредица от символи няма да генерира - Гьодел взема първите три прости числа ($2$, $3$ и $5$), повдига всяко просто число в степен, равна на числото на Гьодел на съответния символ и ги умножава. Така $0=0$ става $2^6.3^5.3^6$, или $243 000 000$.
Това съпоставяне работи, защото няма две формули, които да имат едно и също число на Гьодел. Причината е, че целите числа се разлагат на прости множители по уникален начин. Така че единственото разлагане на прости множители на $243 000 000$ е $2^6.3^5.3^6$, което съответства на формулата $0=0$.
След това Гьодел прави още една стъпка напред. Едно математическо доказателство се състои от поредица от формули. Затова Гьодел дал на всяка последователност от формули и единствено число на Гьодел. Като използвал отново списъка с прости числа, той повдигнал всяко просто число на степен, равна на числото на Гьодел на формулата на съответната позиция (например $2^{243 000 000}.\ldots$, ако $0=0$ е на първо място) и умножава всичко заедно.
Аритметизиране на метаматематиката
Истинската сила на метода на Гьодел се крие в това, че дори метаматематическите твърдения – твърдения за аритметични формули – могат да бъдат преведени в самостоятелни формули със свои собствени числа на Гьодел. Това позволява на математическата система да анализира и описва самата себе си по строго формализиран начин..
Да разгледаме формулата $\sim(0=0)$, която означава „нулата не е равна на нула“. Тази формула е очевидно невярна, но все пак има число на Гьодел: $2$, повдигнато на степен $1$ (числото на Гьодел на символа $\sim$), умножено по $3$, повдигнато на степен $8$ (числото на Гьодел на символа „отворена скоба“), и т.н.
Тъй като можем да генерираме числата на Гьодел за всички формули, дори за неверните, можем да говорим за тези формули, като разглеждаме техните числа на Гьодел.
Прозрението на Гьодел: Самото $G$
Гениалността на Гьодел се изразява в способността му да замени числото на Гьодел на дадена формула в самата формула. Това води до създаването на самоотнасящи се твърдения, които разкриват парадоксални и дълбоки заключения за основите на математическата логика.
Да разгледаме метаматематическо твърдение като: „Формулата с число на Гьодел $sub(y,y,17)$ не може да бъде доказана“. Като си припомним току-що наученото записване, формулата с число на Гьодел $sub(y,y,17)$ е тази, която се получава, като вземем формулата с число на Гьодел $y$ и заменим тази променлива навсякъде, където има символ, чието число на Гьодел е $17$. Това твърдение може да се преведе във формула с уникално число на Гьодел, което ще наречем $n$.
Сега нека извършим последния кръг от замествания: Гьодел създава нова формула, като замества $n$ навсякъде, където има $y$ в предишната формула. Тази последна формула гласи: „Формулата с число на Гьодел $sub(y,y,17)$ не може да бъде доказана“. Нека наречем тази нова формула $G$.
Естествено, $G$ има число на Гьодел. Каква е неговата стойност? По дефиниция $sub(y,y,17)$ е числото на Гьодел на формулата, получено като се вземе формулата с число на Гьодел $n$ и се замени $n$ навсякъде, където има символ с число на Гьодел $17$. А $G$ е точно тази формула! Поради уникалността на разлагането на прости множители на дадено естествено число виждаме, че формулата, за която говори $G$, не е нищо друго освен самата $G$.
Няма доказателство за съгласуваност
Научихме, че ако един набор от аксиоми е непротиворечив, то той е непълен - това е първата теорема за непълнота на Гьодел. Втората му - че нито едно множество от аксиоми не може да докаже собствената си непротиворечивост - следва логически.
Ако един набор от аксиоми може да докаже собствената си непротиворечивост, това би означавало, че съществува поредица от формули, построени от тези аксиоми, които доказват математически формулата, гласяща: „Този набор от аксиоми е непротиворечив“. По силата на първата теорема този набор от аксиоми би бил непълен.
Теоремите за непълнота на Гьодел не само преосмислят математиката, но и подсказват, че в усилията ни да обединим знанието може да сме фундаментално ограничени от самата структура на логиката и разсъжденията.
Коментари
Публикуване на коментар