Намиране на ред в простите числа
Простите числа са един от крайъгълните камъни на математиката. Още от времето на Древна Гърция хората са били очаровани от тези странни числа. Известни математици като Питагор, Евклид, Ферма и безброй други са прекарали много време в изучаването им. Но защо се интересуваме от тях толкова много? Първо, нека разгледаме определението за прости числа.
Какво представляват те?
Простите числа са интересни отчасти защото имат много просто определение, което е следното:
Едно число е просто, ако е по-голямо от 1 и не може да се запише като произведение на две по-малки числа.
Или
Едно число е просто, ако се дели само на себе си и на 1.
Това означава, че числа като 2, 3, 5 и 7 са прости числа. Обаче числото 4 може да се запише като 4 = 2.2, а числото 6 = 3.2, така че те не са прости числа. Ако едно число не е просто, тогава казваме, че то е съставно число. Списъкът по-долу показва всички прости числа по-малки от 100.
Вече знаем определението за прости числа. За едно толкова просто определение като това изглежда странно, че тези числа са толкова интересни за математиците. Това е така, защото те имат много интересни свойства! Нека видим някои от причините, поради които те са толкова интересни.
Какво правят?
Простите числа са изключително полезни, защото ни позволяват да образуваме нещо, наречено разлагане на прости множители на всяко число. Забележете, че по-горе, когато определих какви са множителите на 4 и 6 , умножавах две прости числа заедно. Оказва се, че можем да запишем всяко едно число като произведение на прости числа при това има само един начин да го направим. Това означава, че всяко число има уникална „идентичност“, която се определя от простите му множители.
Този факт е толкова важен, че е наречен фундаментална теорема на аритметиката! Тя е описана за първи път от Евклид през 300 г. пр. Хр. Обърнете внимание, че свойството за уникалност важи само за цели положителни числа (естествените числа). По-долу са показани няколко примера за разлагане на прости множители на различни числа.
$11=11$
$15=3.5$
$20=2^2.5$
$42=2.3.7$
$100=2^2.5^2$
Включих числото 11 в списъка, за да покажа, че това разлагане работи и за прости числа, но е много скучно. Благодарение на тази теорема можем да мислим за простите числа като за градивни елементи на всички останали числа. Можете да видите доказателство на тази теорема, заедно с някои хубави визуални материали, на тук.
Колко са те?
Можем ли да очакваме, че простите числа ще стават все по-рядко срещани, когато достигаме до все по-големи стойности? Интуитивно погледнато, изглежда, че в крайна сметка те ще спрат да се появяват, когато стигнем до наистина големи числа. Просто има толкова много по-малки числа, на които тези огромни числа да се делят! Въпреки това в същата книга, в която доказва Основната теорема на аритметиката, Евклид има друго революционно доказателство.
Евклид излага просто доказателство, което показва, че простите числа се простират до безкрайност! Това означава, че ако изберете каквато и да е стойност N, винаги ще има просто число, по-голямо от N. Това доказателство е първото документирано доказателство чрез противоречие, което е наистина важен инструмент за математиците. За да видите обяснението на доказателството, вижте тази страница.
Съществува обаче и друга важна теорема за броя на простите числа. През 1800 г. двама математици, Жак Адамар и Шарл-Жан Никола, независимо един от друг доказват, че с течение на времето простите числа стават все по-малко. Това се нарича Теорема за простите числа. Те откриват и приблизителната скорост, с която това се случва. За да разберете този резултат, ще дефинирам функцията $\pi(x)$. Тази функция ни казва броя на простите числа, по-малки от $x$. Например $\pi(4)=10$, защото има 4 прости числа, по-малки от 10 (вж. списъка по-горе). Използвайки тази функция, получаваме резултата:
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{\left[\frac{x}{\ln(x)}\right]}$
Тази граница е трудна за разбиране, но уловката се състои в това, че когато $x$ стане наистина голямо, тогава:
$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$
Какво означава последната формула?
Интерпретация на $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$
- Честота на простите числа: Формулата $\frac{x}{\ln(x)}$ показва, че броят на простите числа до $x$ намалява в сравнение с $x$, но сравнително бавно, тъй като $\ln(x)$ расте много по-бавно от $x$.
- Рядкост на простите числа: С нарастване на $x$, простите числа стават все по-редки, защото вероятността едно число около $x$ да бъде просто е приблизително $\frac{1}{\ln(x)}$.
Какво показва интуицията?
- Простите числа са все по-редки за по-големи стойности на $x$.
- Въпреки че стават по-редки, те не „изчезват“ — има безкрайно много прости числа, но броят им расте по-бавно от броя на всички числа.
- Формулата $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$ помага да предскажем броя на простите числа до дадено $x$ с добра точност.
Сега имаме два резултата, които на пръв поглед си противоречат. Най-добрият начин да мислим за тези две теореми е, че макар честотата на простите числа да става все по-малка с достигането на по-големи числа, тя никога не става нула.
Има ли закономерности?
Поради важността им математиците винаги търсят нови начини за намиране на прости числа. Въпреки това все още няма прост начин за лесно разграничаване на простите от съставните числа. След като едно число стане достатъчно голямо, става наистина трудно да се разбере дали е просто. Най-голямото известно просто число има над 24 милиона цифри! То е намерено при търсене на прости числа, ръководено от общността, с помощта на компютри на доброволци. Това търсене все още продължава и можете да прочетете повече за него тук (има парични награди!).
С помощта на визуализации можем да видим някои красиви модели в тези числа. Математикът и физикът Станислав Улам е известен с много открития, но едно от тях е Спиралата на Улам. Показаната по-долу спирала на Улам се създава, като се започне от средата и бавно се завива навън.
Картината е хипнотизираща и докато я разглеждате, може би ще успеете да видите някои закономерности. Например в спиралата на произволни места ще се появят диагонални линии. При много по-големи числа дължината на тези диагонали може да нарасне до огромни размери. Явно има нещо, което се случва тук.
Тези линии всъщност съответстват на реален математически обект. Математикът Ойлер забелязва, че полиномът:
$P(n)=n^2+n+41$
Дава прости числа за $n = 0\ldots 9$. Доказано е, че съществуват безкрайно много такива полиноми и винаги, когато видите линейна структура в спиралата, има полином, който я произвежда.
Скритата структура в простите числа все още е централна тема в математиката. Известната хипотеза на Риман е тясно свързана с разпределението на простите числа. Може да се каже, че математиците наистина се интересуват от нея, защото тя е една от задачите за наградата на хилядолетието, а за този, който я реши, е предвидена парична награда от един милион долара!
За повече информация относно простите числа препоръчвам следните страници
- Тази страница в Уикипедия за уравнения за генериране на прости числа съдържа много интересни примери, показващи различни идеи, които математиците са опитвали.
- За много по-интересни факти за променливите числа, Prime Pages е отличен ресурс с множество интересни материали. Те поддържат текущ списък на всички известни прости числа и информация за текущите търсения.
Коментари
Публикуване на коментар