Мистерията на константата на Каталан и известни решения на безкрайни суми, които всеки трябва да знае

Винаги съм се вълнувал от безкрайните редици или безкрайните суми. Предполагам, че много математици също. Очевидно този математически вирус се е превърнал в пандемия, защото интернет е пълен със статии и видеоклипове за дзета функцията на Риман , геометричните прогресии и т.н.

Но наистина мисля, че това е нещо хубаво. Колкото повече се разпространява този вирус, толкова повече хора ще се влюбват в тази невероятна тема и красива област на изследване. В тази статия ще разгледаме какво знаем, но и какво не знаем за тези редове. По-специално ще обсъдим една от най-простите и важни константи, за която не знаем почти нищо.

Тази константа се нарича константа на Каталан и се обозначава с главна буква $G$. Преди да я представя обаче, нека се върна за малко в началото и да започна с това, което знаем.

Класически резултати

От средата на XIV век знаем, че следната сума:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots$

наречена хармоничен ред, в крайна сметка се раздува и се приближава към безкрайността, когато включваме все повече и повече членове. Това е доказано от френския натурфилософ Никол Оресме около 1350 г. Всъщност частичните суми растат приблизително като естествения логаритъм - много бавно! Но в крайна сметка се стига до безкрайност.

Ако заменим естествените числа в знаменателите с простите числа, то сумата няма да е сходяща, ако обаче ги заменим с прости числа близнаци (двойки от прости числа, които са на разстояние 2 едно от друго), то тя ще е сходяща и ще е равна на число: Това означава, че близнаците сред простите числа се срещат по-рядко в сравнение с всички прости числа.

Така че хармоничният ред е разходящ, но ако вземем хармоничният ред,но с алтернативно сменящи се знаци между членовете в реда, ще получим странен резултат. А именно следното:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln{2}$.

Тук $\lnx$ е естественият логаритъм (и ако не си спомняте какво е това, не се притеснявайте - не е необходимо да го разбирате, за да продължите с четенето).

Това е първата подсказка, че редуването на знаци може да направи голяма (безкрайна) разлика в дадена сума. Можем лесно да докажем това, като използваме нещо, наречено ред на Тейлър за естествения логаритъм.

Тогава можем да се запитаме: „Ами ако разгледаме подобен ред с алтернативно сменящи се знаци, но имаме само нечетни числа в знаменателите?“.

В началото на XIV век (в зависимост от източника) индийският математик Мадхава от Сангамаграма доказва следния невероятен резултат:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots=\frac{\pi}{4}$.

Какво!? Питате защо $\pi$ се появява тук?

Всъщност $\pi$ е предупредителен знак, че кръговете са замесени по някакъв начин зад кулисите. Тази красота може да се извлече от развитието в ред на Тейлър на обратната тригонометрична функция на $\tan{x}$ и използването на факта, че $\arctan{1}=\frac{\pi}{4}$ и именно тук е връзката с кръговете.

Тази сума е кръстена на Готфрид Лайбниц, който я открива независимо от - но стотици години по-късно от - Мадхава.

Сумата на Лайбниц е важна по няколко причини, но не заради свойствата ѝ на сходимост. Нейната сходимост е изключително бавна.

„Изчисляването на $\pi$ с точност до 10 знака след десетичната запетая чрез директно сумиране на реда изисква точно пет милиарда члена“

~ Уикипедия.

Така че защо е важна?

Този ред и всички останали, с които ще се запознаем в тази статия, принадлежат към едно голямо семейство от редове, които имат пряка връзка с простите числа чрез нещо, наречено произведение на Ойлер, което ще засегнем малко по-късно.

Сега нещата стават наистина добри. Горните резултати са класически и се смятат за елементарни (не че не са невероятни и интересни - те са!), но се оказва, че когато повишим знаменателя на различни степени, нещата стават още по-интересни.

300 години по-късно...

В средата на XVII век пред тогавашните математици е поставено предизвикателство. Въпросът бил прост: изразете следния безкраен ред чрез комбинация от известни константи.

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots\approx 1,6449\ldots$,

Където числата в знаменателите са точни квадрати. Тази задача стана много известна заради многото велики математици, които се опитаха да я решат и се провалиха ужасно. Ще минат около 100 години на опити и неуспехи, преди един млад и (по онова време) неизвестен математик  да опита да реши и да реши този проблем. Името му било Леонард Ойлер.

В миг на прозрение Ойлер открива връзка между този математически проблем и една много добре позната и изучена функция, с която математиците си играят от около хиляда години: функцията синус.

Въпреки че съвременната тригонометрия започва в Индия през V век, никой не е открил, че функцията синус може да се запише като безкрайно произведение на прости коефициенти.Какво имам в предвид:

$\sin(x) = x \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

Е, Ойлер открил това и то се оказало липсващото парче от пъзела.

През 1734 г. Ойлер използва това, за да докаже, че:

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots=\frac{\pi^2}{6}$.

Това все още се счита за един от най-изненадващите и красиви резултати в цялата математика и Ойлер продължи да доказва това по много различни начини, за да разбере по-добре теоремата. Сега това е известно като Базелската задача, наречена така по името на родния град на Ойлер.

Доказателството му става световноизвестно със своята изобретателност и гениално докосване, а в днешно време се смята, че то поставя началото на брака между двете огромни области на анализа и теорията на числата.

Питате се къде е теорията на числата? Е, за да се разкрие напълно силата на тези безкрайни редове, беше необходим друг гений, но Ойлер беше първият, който показа, че има връзка между този вид суми и простите числа, но повече за тази връзка ще разберете в друга статия.

Какво ще кажете за версията с алтернативно сменящи се знаци на събираемите на тази сума? След като имаме резултата на Ойлер, не е трудно да покажем, че:

$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\ldots=\frac{\pi^2}{12}$.

Ойлер разглежда редове с по-високи степени на числата в знаменателите на събираемите в тях и открива невероятни резултати, които парадоксално се оказват зависими от някои рационални числа, наречени на името на Якоб Бернули, който не успява да реши известната Базелска задача.

Пример за това е, когато степента е 4:

$1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\ldots=\frac{\pi^4}{90}$.

Всъщност той доказа обща формула за такива редове, когато знаменателите са четни числа.

Загадката

С помощта на нещо, наречено анализ на Фурие, можем да докажем, че:

$1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\ldots=\frac{\pi^3}{32}$,

което само по себе си е фантастичен резултат и донякъде е от същата категория като сумата на Лайбниц за $\pi$ по-горе, тъй като тя също е с алтернативно сменящи се знаци на събираемите и има нечетни числа като основи в знаменателя и степенните показатели.

На този етап сме установили много доказателства. За да обобщим, ето какво разгледахме досега в тази статия:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln{2}$

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots=\frac{\pi}{4}$

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots=\frac{\pi^2}{6}$

$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\ldots=\frac{\pi^2}{12}$

$1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\ldots=\frac{\pi^4}{90}$

$1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\ldots=\frac{\pi^3}{32}$

Въпреки това внимателният читател може да забележи, че ни липсват някои парчета от пъзела, за да завършим модела. Първото липсващо парче е оценката на реда:

$G=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\ldots\approx 0,915965594\ldots$

Това число се нарича константа на Каталан, по името на математика Еужен Каталан, който публикува мемоар за нея през 1865 г.

Тази сума изглежда също толкова проста, колкото и горните, но и до днес проблемът за намиране на решение в затворена форма на този безкраен ред не е решен! Не само това, ние дори не знаем дали $G$ е ирационално или рационално число! Тоест, възможно ли е G да се запише като частно на две цели числа?

$G$ е наричана:

„Вероятно най-основната константа, чиято ирационалност и трансцендентност (макар и силно подозирана) остават недоказани“

~ Известия на Американското математическо общество, 60 (7): 844-854.

Ние не знаем нищо за това число и най-безумното е, че то е супер важно число по няколко причини. То е специална стойност на специална функция, известна като бета функция на Дирихле, появява се в статистическата механика, комбинаториката, разпределението на масата на спиралните галактики и в множество трудни интеграли.

Както пише Шон Стюарт,

„Съществува богат и на пръв поглед безкраен източник на определени интеграли, които могат да бъдат приравнени към или изразени в термините на константата на Каталан.“

Два от моите лични фаворити са:

$G=\frac{1}{2}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{\sin{x}}dx$

и

$G=\displaystyle\int^{\infty}_{1}\frac{\lnx}{1+x^2}dx$,

които изглеждат толкова различни един от друг и са много прости, но, разбира се, външният вид може да бъде измамен. Ако искате да се превърнете в новия Ойлер, намерете затворена форма (това означава да се изрази стойността ѝ чрез по-прости математически константи или познати елементарни функции (като $\pi$, е, корени, логаритми, тригонометрични функции и т.н.), вместо да бъде дефинирана чрез интеграл или безкрайна сума) за тази константа! Тогава името ви никога няма да бъде забравено.

Ако се вгледате още по-внимателно, в нашия списък, ще забележите, че ни липсва и реда:

$\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\ldots$

Това е константата на Апери, наречена на името на Роже Апери.

Намирането на затворена форма за тази сума е още по-известен проблем от този за константата на Каталан. Все пак знаем повече за това число в смисъл, че е доказано, че то е ирационално. Дори Ойлер не е успял да разреши проблема с намирането на затворена форма на това число, така че вероятно е труден. Може би дори невъзможно с известните ни сега константи и методите, които познаваме... Може би дори невъзможно в рамките на самата ни математическа система. Версията с алтернативно сменящи се знаци на членовете на $\zeta(3)$ е също толкова трудна (всъщност еквивалентна).

Като цяло знаем много малко за тези суми, когато степента е нечетна. Дори не сме започнали да разглеждаме петата или седмата степен! Както казва Ердьош:

„Математиката все още не е узряла достатъчно за такива въпроси.“

Всички гореспоменати редове са част от голямо семейство суми, известни като (определени стойности на) суми на Дирихле, а един конкретен добре управляем клас от суми на Дирихле се нарича L-суми на Дирихле.

Тези безкрайни редове имат силна връзка с разпределението на простите числа, тъй като всички те могат да бъдат записани като безкрайни произведения над простите числа, всички те са симетрични около определена права на симетрия и изглежда, че всички те се подчиняват на правило, известно като хипотезата на Риман.

Всяка такава L-редица или L-функция има своя собствена хипотеза на Риман, а най-простата от всички L-функции е функцията, която Ойлер започва да изучава през 1734 г:

$\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\ldots$,

когато се разглежда като функция на комплексна променлива, тази функция се нарича Зета функция на Риман, но тя има и други братовчеди с други хипотези на Риман. Например, в тази статия разгледахме стойностите на:

$\beta(s)=1-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\ldots$

Това е друга L-сума, определена от нещо, наречено символ на Дирихле с период 4. Установихме, че $\beta(1)=\frac{\pi}{4}$, $\beta(2)=G$, $\beta(3)=\frac{\pi^3}{32}$. Нямаме абсолютно никаква представа какво е $\beta(4)$, освен че е свързано със стойностите на една полигама функция, което е също толкова лошо, но се оказва, че $\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}$.

Съществува определен начин за разширяване на областта на тези функции, така че да има смисъл да се оценяват при почти всички комплексни числа. Когато се прави това, може да се покаже, че $\zeta$ има нули при отрицателните четни цели числа: -2, -4, -6, -8,... и че $\beta$ има нули при отрицателните нечетни цели числа: -1, -3, -5, -7,...

Това се дължи на една по-обща закономерност, известна като равенство на символите.

Но изглежда, че и двете имат всички останали нули на една и съща вертикална права. А именно при $Re(s) = \frac{1}{2}$. Това, че всичките им нетривиални нули лежат на тази права, са двете хипотези на Риман, приложени към тях. Това са само две от безкрайно много L-функции, за които се смята, че всички имат хипотези на Риман, които поддържат техните нетривиални нули на тази вертикална права в комплексната равнина.

Пълният проблем е известен като обобщена хипотеза на Риман. Ако я решите, ще получите милион долара, но както някой спомена:

„Това вероятно е най-трудният начин да спечелите 1 милион долара!“

Смисълът на нашето малко отклонение тук е, че горните безкрайни редове са част от нещо много по-голямо. Разбира се, индийците, Лайбниц, Ойлер и всички останали герои в тази история не са имали никакъв шанс да знаят това, но сега ние го знаем и има причина тези задачи да са трудни, но много важни.

И тя не е само в разбирането на специалните константи. Става дума за разбиране на функциите, които водят до тези константи.