Математиката е открита или изобретена?

В това есе ще изложа аргумента, че отговорът на вечния дебат дали математиката е открита или измислена е, че тя не е нито едно от двете!

Прочетете, за да разберете какво имам предвид.

Открил съм, че винаги, когато има почти безкрайни дебати между две противоположни страни по даден въпрос, това е така, защото всяка страна има както силни, така и слаби страни, но нито една от тях не улавя напълно „същността“ на позицията, която позволява да се разбере правилно разглеждания въпрос. Всяка от страните е отчасти права и отчасти грешна и затова никоя от тях не може да победи окончателно другата.

Смятам, че такъв е случаят и с двете вековни позиции по въпроса дали математиката е открита или измислена.

Първо ще изложа тези позиции, след което ще предложа решение, което има за цел да интегрира най-доброто от двете.

Обектите и структурите на математиката, като например множества, числа, различни абстрактни пространства и т.н., не са физически и това предполага, че математиката е измислена.

Има математици, които вярват, че това е така, и са го превърнали в съществен аспект на своята изследователска методология. Те се наричат интуиционисти, и ако са прави, тогава математиката определено е измислена.

Ако математиката е измислена, как можем да обясним нейната забележителна последователност? Как така тя изгражда такава стабилна и логична структура и често ни позволява да „откриваме“ скрити връзки? Тези връзки не само свързват различни части на един и същ математически клон, но също така свързват отделни клонове на математиката помежду им и дори установяват изненадващи връзки между математиката и природните науки. Освен това математиката демонстрира невероятна последователност и изключителна полезност, когато се използва за моделиране и разбиране на различни аспекти на реалния свят.

Как става така, че това „изобретение“, ако това е математиката, изглежда, че ни е предшествало и почти сигурно ще съществува дълго след като ни няма? Считането на нещо за наше изобретение предполага нашето съществуване, но въпреки това математиката не изглежда да зависи от нашето съществуване.

В по-субективен план, защо така постоянно усещаме, че е откритие, когато разпознаваме нови връзки или нов начин да докажем нещо?

Всички тези съображения предполагат, че математиката е открита. Но, както споменахме, обектите и структурите на математиката не са физически, така че какви точно неща откриваме? Има ли някаква платонова плоскост на реалността „там“, където тези обекти съществуват?

Някои хора наистина вярват в това, те се наричат платонисти, и ако са прави, тогава математиката определено е открита.

Но как изобщо можем да докажем, че такава плоскост съществува? Какво изобщо означава да твърдим, че такава плоскост съществува? С какво твърдението за нейното съществуване би било по-различно от твърдението, че съществуват Небето и Адът, или в този смисъл - Хадес, Валхала, Траилокия или Миктлан?

Ако няма никаква разлика, тогава това е въпрос единствено на вяра. Но ако съществуването на Платоновата равнина е въпрос единствено на вяра, то ние всъщност не сме разрешили дебата, а само сме приели една позиция, основана на вяра без доказателства.

Един от възможните начини за преодоляване на този проблем е да разгледаме въпроса, че самата природа е математика! Това се нарича хипотеза за математическата вселена (MUH) и ако тя е вярна, тогава новите прозрения в областта на математиката следва да се считат за открития, защото сега те са буквално вид научно откритие.

Но MUH има същия проблем, както и преди: как можем да докажем дали тя е вярна или не?

Поддръжниците на хипотезата изтъкват феноменалния успех на математиката при представянето на почти всички аспекти на реалността в науките. Всъщност именно това е вдъхновило хипотезата на първо място.

Но трябва да се има предвид, че подходът в математиката и науката за доближаване до истината и като цяло подходът за избягване на пристрастието към потвърждение е да се съсредоточим не толкова върху подкрепящите доказателства, а върху доказателствата, които подкрепят отрицанието на собствената позиция.

Колко силни са доказателствата, че MUH може да не е вярна?

Ами, от една страна, частта от математическите структури и идеи, които се използват за представяне на нашата реалност, е нищожна в сравнение с математиката като цяло. По-голямата част от математиката няма никаква известна връзка с нашата реалност!

От друга страна, математическите понятия за маса, заряд и свързаните с тях величини изглежда някак си не отговарят на физическите и метафизическите понятия, в смисъл че отчитането на всички закони и симетрии, на които се подчиняват, в най-добрия случай изчерпва описанието на това, което правят, а не на това, което са.

На трето място, съществува клон на математиката, наречен непоследователна математика, който допуска определени ограничени видове непоследователности, без да се срива. Абстрактно, лесно е да се ограничи или да се „постави под карантина“ този клон на математиката от останалите. Но ако природата е математика, то непоследователната математика, доколкото е реалност, би трябвало да зарази всичко останало със своите непоследователности.

Най-важното според мен е, че в начина, по който осмисляме ролята на математиката в науката, се проявява определена изключително тънка предубеденост: ние специално търсим математически обяснения, които да играят ролята на „посредници за разбиране“ на природата.

Това е в рязък контраст с начина, по който нещата са се развивали преди Галилей и Нютон, преди науката да започне да се математизира. В онези по-ранни времена хората са следвали физиката на Аристотел и за един аристотелист едно математическо обяснение не би било никакво обяснение, ако не обясняваше нищо за концептуалната основа на неговата физика, а именно четирите причини на Аристотел.

И така, може да се окаже, че математиката играе за нас само ролята на „посредник в разбирането“ на действителността, защото сме слепи за цял куп други и нематематически начини за разбиране на действителността. Ако това е вярно, то значително би отслабило мотивацията за разглеждане на самата природа като математическа.

Изводът е, че не е нужно много мислене, за да се разбере, че МУХ не е толкова добре подкрепена, колкото нейните поддръжници биха искали да вярват. И така се връщаме към въпроса какво изобщо означава математиката да бъде открита.

Преминах през всичко това, защото едно е просто да се каже, че всяка от страните има силни и слаби страни, но съвсем друго е да се опише какви всъщност са тези страни.

За да обобщя:

• Силната страна на „откритието“ е, че математическите същности са нефизически (освен ако не важи MUH). Нейната слаба страна е, че тя прави забележителната последователност и непротиворечивост на математиката и нейната привидна независимост от нашето съществуване, както и нейната централна роля и полезност в представянето на нашата реалност, да изглеждат като чудо.
  
• Силата на „откривателската“ страна е, че тя обхваща всички начини, по които математическият прогрес наистина изглежда като откритие. Нейната слабост е, че не разполагаме с нищо подкрепено с доказателства, на което да се основава идеята за откритие за математиката.

Процесът, който си представям като алтернатива на процесите на „изобретение“ и „откритие“, може да бъде оприличен на засаждане и събиране на реколтата от семената на растението:

Избираме семената, които ще бъдат засадени, и също така избираме от различни контекстуални параметри като почва, сянка, график и количество на поливане и т.н. тези, на които то ще бъде подложено.

Но след като приключим с това, растението извършва останалата част от работата си самостоятелно. Единствената ни роля, след като растението порасне, т.е. след като развие видовете структури, които могат да се развият само от това семе и при тези стойности на контекстуалните параметри, или просто контекст, е да го приберем.

Забележете, че това е един процес, но на две стъпки (поне в най-широк смисъл).

• Стъпката на посяването е аналог на формулирането на аксиомите. Определянето на стойностите на контекстуалните параметри е аналог на определянето на обхвата на аксиомите и неща като определянето на основния формален език, на който трябва да бъдат формулирани аксиомите (например логика от първи ред), и подобни съображения. Забележете, че тази стъпка се доближава най-много до изобретението.
  
• Стъпката на прибиране на реколтата е аналог на всичко, което е свързано с извеждането на следствия от аксиомите: дефиниране на допълнителни структури, които се основават на аксиомите, изказване на предположения и доказване на теореми. Забележете, че тази стъпка е най-близка до откриването.
  

И така, след като сме „посяли“ аксиомите, които можем да определим както пожелаем, математическите структури, които „израстват“ от тях, са зададени. Остава ни само да открием какви са те.

Някои набори от аксиоми водят до по-богати математически структури от други, точно както някои семена израстват в по-величествени растения от други. Един непоследователен набор от аксиоми би съответствал на семе, което не успява да произведе растение, мъртво семе.

Наборът от аксиоми в съчетание с контекста, а не някаква платонова плоскост, служи като основа за математическите структури, които израстват от него.

Фактът, че определени математически отношения са се запазили в нашата реалност много преди появата на какъвто и да е живот на Земята или изобщо на живот, за мен е доказателство, че процесът на засяване и прибиране на реколтата има плуралистичен характер, от който единият е епистемологичен (отнасящ се до нашето знание), а другият - физически.

Идеята на последния е, че самата природа може да засади семена, от които да израснат физически структури, които се държат по математически начин (тук НЕ предполагам някакъв вид интелигентност, стъпката отразява просто „природата си върви по пътя“, както се случва с всичко останало).

Физическото семе на Ур би било Големият взрив, а физическото семе, свързано със собственото ни съществуване, би било местните условия точно преди нашата Слънчева система да започне да се формира, по отношение на случайното разпределение на материята и енергията. Контекстът би се определял от приложимите закони на физиката, конкретните стойности на физическите константи и възможното влияние на полета, произхождащи от други места.

Тогава прибирането на реколтата в този случай съответства на условията на съответния аспект на природата във всеки един момент след приключването на Сеитбата.

За разлика от това формулирането на аксиомите (и определянето на контекста) за даден клон на математиката, както и стъпката на прибиране на реколтата, са епистемологични. Дори обосноваването на математическите структури на Семето и контекста в този случай, отразяващо отношение между два епистемологични обекта, изглежда трябва да бъде такова.

Чисто епистемологичните структури все пак могат да бъдат обективни, а двойната връзка с реалността придава тежест на епистемологичното обосноваване и го прави конкретно, доколкото можем да намерим аналог в самата реалност, на която нашата епистемологична структура тогава би била репрезентация. В епистемологичния случай събирането на реколтата все още би било сходно с откриването.

Но аз бих избегнал думата „откритие“.

Първо, тя идва с целия багаж, който произтича от откритията в нашия реален свят, които са много различни от аналогичния процес в математиката.

Второ, бих я избягвал, защото тя предава твърде много идеята за цялостен процес, за разлика от стъпка в процеса.

Бих избягвал думата „изобретение“ по подобни причини.

И накрая, смятам, че процесът на посяване и събиране на реколтата се прилага не само в математиката и природата, но и във всеки продукт на нашето въображение. Например, разгледайте вечния въпрос дали изкуството е измислено или открито. Или литературата, музиката, архитектурата, езиците за програмиране и т.н.

В случая с изкуството например посяването може да съответства на определянето на основните художествени идеи, които трябва да бъдат изразени, заедно с определянето на средствата, инструментите и естетическите или други правила, които да се използват, като всички те създават контекста, на фона на който завършеното произведение на изкуството израства от основните художествени идеи.

В заключение, ако предложената от мен концептуализация на математическия прогрес е правилна, то математиката не е нито изобретена, нито открита, а е обект на двуетапен процес, който съчетава аспекти на всеки от тях, математиката е това, което наричам посята и събрана.