Коя е най-голямата цифра в тази редица?
Разгледайте следната редица от числа:
1, 11, 21, 1211, ...
Бихте ли могли да продължите тази редица? И коя е най-голямата цифра, която някога ще се появи във всички тези числа?
Завършването на редици като тази е много често срещано упражнение в тестовете за интелигентност, интервютата и други оценки, при които се оценяват способностите за решаване на проблеми и логическите способности. Редиците ни предизвикват да извеждаме правила и да правим рационални прогнози въз основа на модели. Това са безценни умения в количествени области като анализ на данни, компютърни науки и количествени финанси. Не всички редици обаче са еднакви. Някои от тях са чисто математически, а други... изискват и малко интуиция и креативност, за да се разберат.
Опитайте се да решите този пъзел сами, преди да прочетете решението, предоставено в останалата част на тази история!
Решението
Както загатнах в увода, тази редица има за цел да ви измами. Правилото, което я генерира, не е чисто алгебрично (или поне не в стандартния смисъл на думата). Вместо това то съчетава разпознаване на образи с лингвистично описание: всеки член в редицата се получава, като се „изрече“ на глас предишният член, описващ броя на всяка цифра в последователни групи! Този уникален подход измества фокуса от математическите операции към повествователен процес, създавайки развиващ се модел, който се противопоставя на традиционното алгебрично тълкуване. Ето защо това е класика в интервютата. Тя не само предизвиква способностите ни за разпознаване на модели, но също така изследва нашата креативност и нестандартното ни мислене.
Нека да потвърдим предположението си:
- Започваме със семето, а именно „1“.
- На следващата стъпка прочитаме предишния елемент в редицата. Има „едно 1“. Следователно следващият елемент ще бъде „11“.
- След това прочитаме предишния елемент '11' като „две 1“. Следователно третият елемент ще бъде „21“.
- Тогава „21“ се чете като „едно 2, едно 1“. От прочетеното конструираме „1211“.
Това потвърждава нашето правило за извеждане на всички числа, които се появяват в подкана. Как продължава редицата? Ами, просто продължаваме с правилото „погледни и кажи“ и получаваме:
- „едно 1, едно 2 и две 1“ → 111221.
- „три 1, две 2 и едно 1“ → 312211.
- „едно 3, едно 1, две 2 и две 1“ → 13112221.
- „едно 1, едно 3, две 1, три 2 и едно 1“ → 1113213211.
и т.н.
Най-голямото число в редицата „Погледни и кажи“
Във всеки термин числата не представляват действителни стойности, а вместо това показват количеството на определена цифра, която се появява последователно в предишния термин. Така че числата в редицата са ограничени до броя на тези подредици от цифри. Когато „четете“ даден термин, никога няма да ви се наложи да броите повече от три последователни еднакви цифри (например „три 1-ци“, както в „111“). Това е така, защото всяка група от четири или повече последователни цифри ще се раздели на по-малки групи въз основа на правилата на редицата.
Нека да проверим това, като си проправим път назад за конкретен случай. Да предположим, че в някакъв момент за първи път в редицата се появява 4. Тази четворка би означавала, че е имало предишна поредица от четири последователни еднакви цифри. Например, ако тази цифра е „1“, това би означавало, че предишният елемент е съдържал подниз „1111“. На свой ред това трябва да е и показанието за предишната подредица от цифри. Никога обаче не може да възникне разчитането „една 1, една 1“. Единственият начин, по който бихме могли да го получим, е от „11“, но този подниз трябва да се чете като „две 1“, а не като „едно 1, едно 1“. Подобни аргументи важат и за поднизовете „2222“ и „3333“, което показва, че те също не могат да се появят.
По този начин най-голямото число, което някога ще срещнете, е три, което означава, че 3 е най-голямото число, което може да се появи в редицата „погледни и кажи“. Ще видите много 1-ци, 2-ци и 3-ци, но нито една цифра, по-голяма от 3, няма да се появи в нито един термин, без значение колко далеч ще разширите редицата.
Произход и свойства на редицата „Погледни и кажи“
Историята разказва, че произходът на редицата „Погледни и кажи“ е доста прозаичен, тъй като за първи път тя е замислена на едно парти през 80-те години на миналия век. Един от гостите на партито бил математикът Джон Конуей, който бил разпитан от един от своите ученици. Конуей бил дълбоко запленен от тази загадка и открил зад нея множество изненадващи математически свойства. Редицата има строга математическа структура и интригуващи връзки с растежа и разпада, като дори вдъхновява уникален полином, управляващ поведението ѝ. Конуей също така открива, че редицата има забележително гранично поведение: с приближаването към безкрайността скоростта на нарастване на дължината на редицата се приближава до определена константа, известна като константата на Конуей, приблизително 1,303577.
Друго очарователно свойство на редицата е нейната склонност да се развива към определен набор от „елементи“ или градивни елементи, наподобяващи периодична таблица на редиците. Тъй като тези градивни елементи са точно 92 - точно колкото е броят на природните елементи - Конуей ги нарича „атоми“. Тези атомни модели се появяват многократно в редицата, като създават структура в привидния хаос от числа.
Редицата „Погледни и кажи“ може да звучи абстрактно, но си е проправила път както в популярната култура, така и в теоретичните изследвания. Това е редица, която съчетава простотата на правилата си с изненадваща дълбочина на последиците си. Връзката ѝ с полинома на Конуей, например, напомня как редиците и моделите могат да дадат прозрения в различни клонове на математиката - от теория на числата до алгебрични свойства.
Така че следващия път, когато чуете термина „погледни и кажи“, ще знаете, че това е нещо повече от игра за описване на числа - това е прозорец към фините начини, по които моделите се появяват, развиват и стабилизират в математиката. А що се отнася до най-голямото число, сега вече знаете: то е 3, скромна, но последна граница в тази безкрайно развиваща се редица!
Коментари
Публикуване на коментар