Откриването на най-голямото просто число на Мерсен: Технологичен пробив в математическите изследвания

На 12 октомври 2024 г., в Сан Хосе, Калифорния, изследователят Люк Дюрант откри най-голямото известно просто число, представено с формулата $2^{136279841} - 1$, в рамките на проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). Това число, обозначено като $M_{136279841}$, се състои от 41 024 320 цифри, което го прави значително по-голямо от предишния рекорд, чийто брой цифри е с 16 милиона по-малък.

Люк Дюрант, който по-рано е работил в NVIDIA, е сред водещите фигури в GIMPS и приложи мащабна компютърна система от GPU, за да реализира откритието си. Тази система е създадена чрез глобална мрежа от графични процесори, разпределени в 24 центъра за данни в 17 различни държави, което осигурява изключителна изчислителна мощност за търсенето на рекордни числа.

Историческа справка за числата на Мерсен

Простите числа на Мерсен са от формата $M_p = 2^p - 1$, където $p$ също е просто число. Те носят името на френския монах и математик Марен Мерсен, който през 17-ти век започва да изучава техните специфични свойства. Въпреки че простите числа на Мерсен са малка подмножество на всички прости числа, те играят ключова роля в областта на теорията на числата и криптографията. Причината за интереса към тях е, че при определени стойности на $p$, тези числа са не само прости, но и се използват в приложения, като криптографски алгоритми и алгоритми за генериране на случайни числа.

Досега са открити само 52 числа на Мерсен, което подчертава колко редки и трудни за откриване са тези числа. Всяко ново число става все по-сложно за намиране, защото растежът им е експоненциален. Например, за стойността  $p = 136279841$, числото  $2^{136279841} - 1$ е толкова голямо, че ако бъде отпечатано, то ще запълни стотици книги.

Тестът на Лукас-Лемър

Тестът на Лукас-Лемър е основният метод за проверка на простотата на числа на Мерсен. Той е разработен през 1930 г. от математикът Едуард Лукас и е оптимизиран по-късно от Дерек Лемър. Тестът е специално създаден за числа от формата $2^p - 1$, като изисква по-малко изчисления в сравнение с обичайните тестове за простота.

Тестът на Лукас-Лемър се състои в следната итеративна формула:

$S_0 = 4, \quad S_{n+1} = S_n^2 - 2 \pmod{2^p - 1}$

Числото $ 2^p - 1$ е просто, ако и само ако $ S_{p-2} \equiv 0 \pmod{2^p - 1}$. Именно този тест беше използван за окончателното потвърждение на простотата на числото $ M_{136279841}$.

Значение на графичните процесори и специализиран софтуер

До началото на 21-ви век повечето търсения на числа на Мерсен са извършвани с помощта на стандартни персонални компютри, но с нарастващата сложност на числата това става практически невъзможно. От 2017 г. насам използването на графични процесори (GPU) и разработването на специализиран софтуер, като GpuOwl, ускоряват търсенето многократно. GpuOwl, създаден от Михай Преда, е софтуер, който е оптимизиран за изпълнение на теста на Лукас-Лемър върху GPU архитектурата, като по този начин предоставя значително по-висока скорост при обработка на числата на Мерсен.

Проектът GIMPS

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) е създаден през 1996 г. от Джордж Волти за насърчаване на глобално сътрудничество в търсенето на числа на Мерсен. Проектът предоставя безплатен софтуер на хиляди доброволци по света, които предоставят ресурсите на компютрите си в името на откритието на нови рекордни числа. GIMPS предлага и финансова награда за откритие на ново най-голямо просто число, която е от порядъка на 3000 долара. Люк Дюрант е обявил намерението си да дари тази награда на катедрата по математика в учебното си заведение.

Приложения на числата на Мерсен

Простите числа на Мерсен и техните свойства намират приложение в криптографията, особено в публично-криптиращите алгоритми и протоколите за сигурност на мрежите. Те също се използват в симулации и алгоритми за генериране на псевдослучайни числа. Поради редките и уникални свойства на числата на Мерсен, откритията на нови такива числа се смятат за ценни в теорията на числата и математиката като цяло.

Откритието на Люк Дюрант бележи ново начало в историята на откриването на прости числа, особено поради широкото използване на GPU технологии, които значително ускоряват процеса. С нарастването на мощността на изчислителната техника и разработката на нови софтуерни решения, се очаква откритията на подобни числа да продължат, макар и с по-бавни темпове.