Вписан ъгъл и периферен ъгъл 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Геометрия › Вписан ъгъл

Вписан ъгъл
Теорема и задачи

Вписан ъгъл, периферен ъгъл — теореми, следствия и 5 разработени задачи с вписани ъгли, перпендикулярни хорди и дължина на окръжност

Вписан ъгъл Периферен ъгъл Централен ъгъл 8 клас Д-р Атанас Илчев

1. Вписан ъгъл

Определение 1: Ъгъл, чийто връх лежи на окръжността и чиито рамена я пресичат, се нарича вписан ъгъл.

Теорема 1: Вписаният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга.

На чертежа \(\sphericalangle AFB\), \(\sphericalangle APB\) и \(\sphericalangle AMB\) са вписани ъгли, опиращи се на една и съща дъга \(\overset{\frown}{AB}\): \[\sphericalangle AFB = \sphericalangle APB = \sphericalangle AMB = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.\] Всички вписани ъгли, опиращи се на една и съща дъга, са равни помежду си.

Следствие: Вписан ъгъл, опиращ се на диаметър, е равен на \(90°\), тъй като диаметърът съответства на дъга \(180°\).

2. Периферен ъгъл

Определение 2: Ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, едното рамо я пресича, а другото е допирателна към нея, се нарича периферен ъгъл.

Теорема 2: Периферният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга.

На чертежа \(\sphericalangle NPQ\) е периферен ъгъл и \(\sphericalangle NPQ = \dfrac{\overset{\frown}{NP}}{2}\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

\(PQ\) е диаметър и \(QM\) е хорда на \(k(O)\). Ако \(\sphericalangle PQM=30°\), намерете: а) \(\sphericalangle QPM\) и \(\sphericalangle POM\); б) \(\overset{\frown}{MQ}\) и \(\overset{\frown}{MPQ}\).

▼

Решение

а) \(\sphericalangle PMQ\) е вписан ъгъл върху диаметър \(PQ\), следователно \(\sphericalangle PMQ=90°\). От сбора на ъглите в \(\triangle PQM\): \[\sphericalangle QPM = 180°-90°-30° = 60°.\] \(\sphericalangle PQM=30°\) е вписан ъгъл, следователно \(\overset{\frown}{MP}=60°\) и централният ъгъл \(\sphericalangle POM=60°\).

б) \(\sphericalangle MPQ=60°\) е вписан ъгъл, следователно \(\overset{\frown}{MQ}=2\cdot60°=120°\).
\(\overset{\frown}{MPQ}=\overset{\frown}{MP}+\overset{\frown}{PQ}=60°+180°=240°\).

2

В окръжност са построени перпендикулярни хорди \(MN\) и \(PQ\). Намерете \(\sphericalangle PQM+\sphericalangle NPQ\).

▼

Решение

Нека \(S\) е пресечната точка на \(MN\) и \(PQ\). Нека \(\sphericalangle MNP=\alpha\) и \(\sphericalangle NPQ=\beta\). Тъй като \(\sphericalangle MNP=\sphericalangle MQP=\alpha\) (вписани ъгли върху \(\overset{\frown}{MP}\)) и \(\sphericalangle QPN=\sphericalangle QMN=\beta\) (вписани ъгли върху \(\overset{\frown}{QN}\)), то: \[\sphericalangle PQM+\sphericalangle NPQ=\alpha+\beta.\] От правоъгълния \(\triangle NPS\) (\(MN\perp PQ\)): \(\alpha+\beta=90°\). Следователно: \[\sphericalangle PQM+\sphericalangle NPQ=90°.\]

3

През точка \(M\) от \(k(O)\) е построен диаметър \(MN\) и хорда \(MK\). Ако \(\sphericalangle MOK-\sphericalangle NOK=68°\), намерете ъглите на \(\triangle MNK\).

▼

Решение

\(\sphericalangle MOK\) и \(\sphericalangle NOK\) са съседни и \(\sphericalangle MOK+\sphericalangle NOK=180°\). Системата: \[\left|\begin{array}{l}\sphericalangle MOK-\sphericalangle NOK=68°\\\sphericalangle MOK+\sphericalangle NOK=180°\end{array}\right.\] дава \(\sphericalangle MOK=124°\) и \(\sphericalangle NOK=56°\). Централните ъгли са равни на дъгите: \(\overset{\frown}{MK}=124°\), \(\overset{\frown}{KN}=56°\).

\(\sphericalangle KMN\) е вписан върху \(\overset{\frown}{KN}\): \(\sphericalangle KMN=28°\).
\(\sphericalangle MNK\) е вписан върху \(\overset{\frown}{MK}\): \(\sphericalangle MNK=62°\).
\(\sphericalangle MKN\) е вписан върху диаметър \(MN\): \(\sphericalangle MKN=90°\).

4

Точките \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окръжност с \(O\). Ако \(\sphericalangle ACB=30°\) и \(AB=5\text{ cm}\), намерете дължината на окръжността.

▼

Решение

\(\sphericalangle ACB=30°\) е вписан ъгъл → \(\overset{\frown}{AB}=60°\) → централен ъгъл \(\sphericalangle AOB=60°\). \(\triangle AOB\) е равнобедрен с ъгъл \(60°\) при върха, следователно е равностранен и \(r=AB=5\text{ cm}\). Дължина на окръжността: \[C=2\pi r=10\pi\text{ cm}.\]

5

По данните от чертежа намерете \(\sphericalangle ACB\) и \(\sphericalangle AOB\), ако \(\sphericalangle ACB=x-20°\) и \(\sphericalangle AOB=x+55°\).

▼

Решение

\(\sphericalangle AOB\) е централен, \(\sphericalangle ACB\) е вписан ъгъл върху същата дъга, следователно \(\sphericalangle AOB=2\sphericalangle ACB\): \[x+55°=2(x-20°) \implies x+55°=2x-40° \implies x=95°.\] \[\sphericalangle ACB=95°-20°=75°, \quad \sphericalangle AOB=95°+55°=150°.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Върху \(k\) с диаметър \(AB\) са взети точки \(D\) и \(C\) така, че \(\overset{\frown}{AD}:\overset{\frown}{DC}:\overset{\frown}{CB}=2:3:4\). Намерете ъглите на четириъгълника \(ABCD\).

Задача 2Върховете на \(\triangle ABC\) (\(CA=CB\)) лежат на \(k\). Ъглополовящата \(BL\) пресича \(k\) в точка \(E\) и \(\sphericalangle LCE=32°\). Намерете \(\sphericalangle ACB\).

Задача 3В окръжност хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в \(M\) и \(\sphericalangle AMD=3\sphericalangle BMD\). Намерете \(\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC\).

Задача 4В краищата на хорда \(AB\) са построени допирателни, пресичащи се в \(T\). Намерете \(\sphericalangle ATB\), ако двете дъги се отнасят като \(7:11\).

Задача 5Хордата \(AB\) дели окръжността на две дъги в отношение \(1:4\). През \(A\) е построена допирателна. Намерете ъглите, които хордата сключва с допирателната.

Задача 6Диагоналът \(BD\) на успоредника \(ABCD\) е перпендикулярен на \(BC\). Окръжност \(k\) с диаметър \(AD\) пресича \(AC\) в \(K\). Намерете \(\sphericalangle KDB\), ако \(\sphericalangle ACB=50°\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Вписан ъгъл

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Вписаният ъгъл се измерва с:

Принадлежащата му дъга Половината от принадлежащата му дъга Двойната принадлежаща дъга

2Всички вписани ъгли, опиращи се на една дъга, са:

Различни Равни В отношение 1:2

3Вписан ъгъл върху диаметър е равен на:

\(60°\) \(90°\) \(45°\)

4Централният ъгъл е равен на вписания ъгъл върху същата дъга:

Централният = вписан Централният = 2 × вписан Вписан = 2 × централен

5В З1: \(\sphericalangle PMQ=\)

\(60°\) \(90°\) \(30°\)

6В З1: \(\sphericalangle QPM=\)

\(30°\) \(60°\) \(90°\)

7В З1: \(\overset{\frown}{MQ}=\)

\(60°\) \(120°\) \(90°\)

8В З2: \(\sphericalangle PQM+\sphericalangle NPQ=\)

\(180°\) \(90°\) \(45°\)

9В З3: \(\sphericalangle NOK=\)

\(54°\) \(56°\) \(62°\)

10В З3: \(\sphericalangle MKN=\)

\(62°\) \(90°\) \(28°\)

11В З4: радиусът на окръжността е:

\(r=10\text{ cm}\) \(r=5\text{ cm}\) \(r=2{,}5\text{ cm}\)

12В З4: дължината на окръжността е:

\(5\pi\text{ cm}\) \(10\pi\text{ cm}\) \(25\pi\text{ cm}\)

13В З5: стойността на \(x\) е:

\(75°\) \(95°\) \(115°\)

14В З5: \(\sphericalangle ACB=\)

\(55°\) \(75°\) \(80°\)

15Периферният ъгъл се измерва с:

Целия централен ъгъл Половината от принадлежащата му дъга Двойната дъга

---

Видео урок

Видео урок — Вписан ъгъл. Теорема и задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆