Ъгъл чийто връх е вътрешна точка за окръжност. Ъгъл чийто връх е външна точка за окръжност 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Геометрия › Ъгли и окръжност

Ъгли и окръжност
Вътрешна и външна точка

Ъгъл с връх вътре в окръжност (полусбор) и ъгъл с връх вън от окръжност (полуразлика) — 2 теореми и 4 разработени задачи

Вписан ъгъл Вътрешна точка Външна точка 8 клас Д-р Атанас Илчев

1. Ъгъл с връх вътре в окръжност

Теорема 1: Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка на окръжност, се измерва с полусбора от мерките на дъгите, заключени между раменете му и техните продължения: \[\sphericalangle AED = \frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}.\]

2. Ъгъл с връх вън от окръжност

Теорема 2: Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжност, а раменете му имат общи точки с нея, се измерва с полуразликата от дъгите, заключени между раменете му.

Трите случая на ъгъл с връх извън окръжността:
\[\sphericalangle MLN = \frac{\overset{\frown}{MN}-\overset{\frown}{PQ}}{2},\quad \sphericalangle MLQ = \frac{\overset{\frown}{MQ}-\overset{\frown}{PQ}}{2},\quad \sphericalangle MLQ = \frac{\overset{\frown}{MRQ}-\overset{\frown}{MQ}}{2}.\]

Обобщение на видовете ъгли в окръжност:
• Вписан ъгъл (връх на окръжността) = \(\dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{\text{дъга}}\)
• Ъгъл с връх вътре в окръжността = \(\dfrac{\overset{\frown}{\alpha}+\overset{\frown}{\beta}}{2}\) (полусбор)
• Ъгъл с връх вън от окръжността = \(\dfrac{\overset{\frown}{\alpha}-\overset{\frown}{\beta}}{2}\) (полуразлика)

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Хордите \(AB\) и \(AC\) са равни и образуват ъгъл \(50°\). Допирателната в \(B\) пресича \(AC\) в \(M\). Намерете \(\sphericalangle AMB\).

▼

Решение

\(\sphericalangle BAC=50°\) е вписан → \(\overset{\frown}{BC}=100°\). \(AB=AC\) → \(\triangle ABC\) равнобедрен → \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB=65°\). И двата са вписани → \(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=130°\). \(\sphericalangle AMB\) е ъгъл с връх вън от окръжността (Теорема 2): \[\sphericalangle AMB = \frac{\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}}{2} = \frac{130°-100°}{2} = 15°.\]

2

Допирателната в \(C\) и секущата \(AB\) се пресичат в \(M\) (\(B\) е между \(A\) и \(M\)). Ако \(\sphericalangle MAC=\alpha\) и \(\sphericalangle AMC=\beta\), намерете \(\sphericalangle ABC\) и \(\sphericalangle ACB\).

▼

Решение

\(\sphericalangle BAC=\alpha\) е вписан → \(\overset{\frown}{BC}=2\alpha\).
\(\sphericalangle AMC\) е ъгъл с връх вън (Теорема 2): \(\beta=\dfrac{\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}}{2}=\dfrac{\overset{\frown}{AC}-2\alpha}{2}\), откъдето \(\overset{\frown}{AC}=2\alpha+2\beta\).
\(\sphericalangle ABC\) е вписан върху \(\overset{\frown}{AC}\): \[\sphericalangle ABC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}=\alpha+\beta.\] \[\sphericalangle ACB=180°-\alpha-(\alpha+\beta)=180°-(2\alpha+\beta).\]

3

През \(M\), външна за \(k(O)\), са построени допирателна \(MT\) и секуща през \(O\), пресичаща \(k\) в \(A\) и \(B\). Хордата \(BN \parallel MT\) и \(\overset{\frown}{NT}=50°\). Намерете \(\sphericalangle AMT\).

▼

Решение

Нека \(\sphericalangle AMT=\alpha\). \(MT\parallel BN\) → \(\sphericalangle ABN=\alpha\) (съответни ъгли). \(\sphericalangle ABN\) е вписан → \(\overset{\frown}{AN}=2\alpha\). \(\sphericalangle AMT\) е ъгъл с връх вън (Теорема 2): \[\alpha = \frac{\overset{\frown}{AT}-\overset{\frown}{BT}}{2}.\] Тъй като \(BN\parallel MT\): \(\overset{\frown}{BT}=\overset{\frown}{AN}=2\alpha\). \(\overset{\frown}{AT}=\overset{\frown}{AN}+\overset{\frown}{NT}=2\alpha+50°\). \(\overset{\frown}{BT}=180°-(\overset{\frown}{NT}+\overset{\frown}{AN})=180°-(50°+2\alpha)\). Следователно: \[\alpha=\frac{(2\alpha+50°)-(180°-50°-2\alpha)}{2}=\frac{4\alpha-80°}{2}=2\alpha-40°,\] от където \(\alpha=40°\).

4

Хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в \(M\) и \(\sphericalangle AMC=70°\). Намерете \(\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC\).

▼

Решение

\(\sphericalangle AMC\) е вътрешен (Теорема 1): \[\sphericalangle AMC=\frac{\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}}{2}=70° \implies \overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}=140°.\] Тъй като \(\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=360°\), то \(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=220°\).
\(\sphericalangle ACD\) и \(\sphericalangle BDC\) са вписани ъгли върху \(\overset{\frown}{AD}\) и \(\overset{\frown}{BC}\): \[\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC=\frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}=\frac{220°}{2}=110°.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1През \(M\), външна за \(k(O)\), са построени допирателна \(MT\) и секуща през \(O\), пресичаща \(k\) в \(A\) и \(B\). Хордата \(BN\parallel MT\) и \(\sphericalangle NBT=24°\). Намерете \(\sphericalangle AMT\).

Задача 2Точките \(A\) и \(B\) лежат на \(k(O)\) и \(\overset{\frown}{AB}=140°\). Точка \(P\) е от дъгата \(\overset{\frown}{AB}\) и \(\overset{\frown}{AP}:\overset{\frown}{PB}=3:4\). Намерете \(\sphericalangle AOP\) и \(\sphericalangle BOP\).

Задача 3Хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в \(M\). Ако \(AB=CD\), \(\overset{\frown}{AD}=165°\) и \(\overset{\frown}{BD}\) е с \(30°\) по-голяма от \(\overset{\frown}{BC}\), намерете \(\sphericalangle BMD\).

Задача 4Хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в \(P\), \(\sphericalangle CPB=120°\), \(\sphericalangle ACB=150°\) и \(\overset{\frown}{AD}:\overset{\frown}{CB}=11:1\). Намерете \(\sphericalangle ADC\).

Задача 5Точките \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окръжност и \(\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CD}:\overset{\frown}{DA}=2:3:6:8\). Намерете ъглите на четириъгълника \(MNPQ\), образуван от допирателните в \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Ъгли и окръжност

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Ъгъл с връх вътре в окръжност се измерва с:

Полуразликата на двете дъги Полусбора на двете дъги Едната от двете дъги

2Ъгъл с връх вън от окръжност се измерва с:

Полусбора на двете дъги Полуразликата на двете дъги Двойната по-малка дъга

3Ако \(\overset{\frown}{AD}=80°\) и \(\overset{\frown}{BC}=60°\), то \(\sphericalangle AED=\)

\(10°\) \(70°\) \(20°\)

4Ако \(\overset{\frown}{MN}=120°\) и \(\overset{\frown}{PQ}=40°\), то ъгълът с връх вън от окръжността е:

\(80°\) \(40°\) \(160°\)

5В З1: \(\overset{\frown}{BC}=\)

\(50°\) \(100°\) \(130°\)

6В З1: \(\sphericalangle AMB=\)

\(30°\) \(15°\) \(25°\)

7В З2: \(\overset{\frown}{BC}=\)

\(\alpha\) \(2\alpha\) \(\alpha+\beta\)

8В З2: \(\sphericalangle ABC=\)

\(\alpha\) \(\alpha+\beta\) \(2\alpha+\beta\)

9В З3: \(\sphericalangle AMT=\)

\(25°\) \(40°\) \(50°\)

10В З4: \(\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}=\)

\(70°\) \(140°\) \(220°\)

11В З4: \(\sphericalangle ACD+\sphericalangle BDC=\)

\(70°\) \(110°\) \(140°\)

12Вписаният ъгъл е:

Частен случай на ъгъл с връх вътре в окръжност Ъгъл с връх на окръжността — специален случай на всички три Ъгъл с връх вън от окръжността

13Ако \(\sphericalangle AED=90°\) (вътрешен), то \(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=\)

\(90°\) \(180°\) \(360°\)

14В З1: \(\overset{\frown}{AB}=\)

\(100°\) \(130°\) \(65°\)

15Периферният ъгъл (рамо = допирателна) се измерва с:

Полусбора Половината от принадлежащата дъга Полуразликата

---

Видео урок

Видео урок — Ъгли и окръжност. Вътрешна и външна точка

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆