Уроци по математика (Math lessons)

Теорема 1 Ъгъл чийто връх е вътрешна точка на една окръжност, се измерва с полусбора от мерките на дъгите, заключени между раменете му, и техните продължения. $\sphericalangle AED=\frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}$. Теорема 2 Ъгъл, чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с тази окръжност, се измерва с полуразликата от дъгите, заключени между раменете му. На горната фигура виждаме различните възможности, които може да имаме за ъгъл чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с окръжността. Ъглите от фигурата на равни съответно на: $\sphericalangle MLN=\frac{\overset{\frown}{MN}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$, $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MQ}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$ и $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MRQ}-\overset{\frown}{MQ}}{2}$. 1 Задача Хордите $AB$ и $AC$ в окръжност $k$ са равни и образуват ъгъл $50^{\circ}$. Допирателната към $k$ в точка $B$ пресича правата $AC$ в точка $M$. Намерете ...

Сега ще се спрем на комутативност, асоциативност и дистрибутивност при някои от двоичните функции на две променливи: 1) ${\bf x_1.x_2=x_2.x_1}$ т.е. конюнкцията изпълнява комутативния закон Доказателство: Доказателството на този факт е елементарен, тъй като от таблицата за истинност ( виж тук ) можем да видим, че при $x_1=0$ и $x_2=1$ конюнкцията има стойност $0$. Същата тази стойност има и при $x_1=1$ и $x_2=0$ или казано с други думи $0.1=1.0=0$. 2) ${\bf x_1\lor x_2=x_2\lor x_1}$ т.е. дизюнкцията изпълнява комутативния закон. Доказателство:  Доказателството и на това твърдение следва непосредствено от таблицата за истинност. В нея сме записали, че $0\lor 1=1$ и $1\lor 0=1$.  3) ${\bf x_1+x_2=x_2+x_1}$ - изключващото или (сума по модул $2$) удовлетворява комутативния закон. Доказателство: По аналогичен начин на горните две функции. Тук няма да се спираме по отделно на всяка една функция, а целта ни е да покажем начина по който се доказва разглежданото свойство. Читателят...

Определение 1 Ъгъл, чийто връх лежи на дадена окръжност, а раменете му пресичат тази окръжност, се нарича вписан ъгъл. Теорема 1 Вписаният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга. Пример: На този чертеж ъглите $\sphericalangle AFB$, $\sphericalangle APB$ и $\sphericalangle AMB$ са вписани ъгли и според Теорема 1 те са равни на половината от дъгата $\overset{\frown}{AB}$, т.е. $\sphericalangle AFB=\sphericalangle APB=\sphericalangle AMB=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}$. Определение 2 Ъгъл, чийто връх лежи на дадена окръжност, едното му рамо пресича тази окръжност, а другото е допирателна към нея, се нарича периферен ъгъл . Теорема 2 Периферният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга. Пример: На този чертеж ъгъл $\sphericalangle NPQ$ е периферен ъгъл си според Теорема 2 от този урок $\sphericalangle NPQ=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}$. 1 Задача Отсечките $PQ$ и $QM$ са съответно диаметър и хорда в окръжността $K(O)$. Ако $\sphericalangle PQM=30^{\circ}$,...