Централни ъгли, дъги и хорди. Диаметър перпендикулярен на хорда 8 клас

 Ако права $t$ пресича окръжността $k$ в точка $A$ и точка $B$, те определят отсечката $AB$, която се нарича хорда за окръжността $k$. Отсечката $MN$ е също хорда за окръжността $k$.

Определение 1: Всяка хорда разделя окръжността на две части, които се наричат дъги на окръжността.

Ако хордата $AB$ е диаметър на дадена окръжност, то всяка от дъгите $\overset{\frown}{ALB}$ и $\overset{\frown}{AKB}$ се нарича полуокръжност и $\overset{\frown}{ALB}=\overset{\frown}{AKB}$.

Определение 2: Ъгъл чийто връх е център на дадена окръжност $k$ се нарича централен ъгъл. 

Всеки централен ъгъл е равен на принадлежащата му дъга.

Например на даденият чертеж $\sphericalangle KOL$ е  централен ъгъл и $\sphericalangle KOL=\overset{\frown}{KL}=\alpha$.

Определение 2 Две окръжности се наричат еднакви ако имат равни радиуси.

Определение 3 Две дъги от една и съща окръжност или от еднакви окръжности се наричат равни, когато имат равни мерки (в градуси).

Теорема 1 

1) Ако $AB=CD$ следва, че $\alpha=\beta$ и $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.

2) Ако $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CB}$ следва, че $\alpha=\beta$ и $AB=CD$.

3) Ако $\alpha=\beta$ следва, че $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CB}$ и $AB=CD$.

 

Ако $AB\parallel CD$, то $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$ и обратно, ако $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$, то $AB\parallel CD$. Сега като приложим горната теорема следва, че хордите $AC$ и $BD$ са равни и $ABCD$ е равнобедрен трапец.

Теорема 2 В окръжност диаметър перпендикулярен на хорда я разполовява

Доказателство:

Доказателството на тази теорема е елементарно. Построяваме радиусите $OK$ и $OL$. Триъгълникът $KLO$ е равнобедрен. Тъй като $OH$ е височина в този триъгълник (диаметъра $AB$) е перпендикулярен на хордата $KL$ и $\sphericalangle OKL=\sphericalangle OLK=90^{\circ}$), то $OH$ е и медиана (както й ъглополовяща) от където следва, че точката $H$ е среда на $KL$.

Теорема 3 Ако в окръжност диаметър минава през средата на хорда, която не е диаметър, то той е перпендикулярен на хордата.

Доказателство: За онагледяване на доказателството ще използваме чертежа от Теорема 2. Разликата тук е в това, че вместо да имаме като дадено, че $AB\perp KL$ имаме $KH=LH$. И тъй като $\triangle KOL$ е равнобедрен и точката $H$ е среда на $KL$ следва, че $OH$ е медиана височина и ъглополовяща, от където следва, че $OH\perp KL$, т.е. $AB\perp KL$.

Ще кажем и още някои неща, които е добре да запомним и, които се използват при решаването на задачи.

1) В окръжност диаметър перпендикулярен на дадена хорда, разполовява съответната дъга.

2) Две хорди в една окръжност са равни, ако разстоянията от центъра на окръжността до хордите са равни.

3) Ако две хорди в една окръжност не са равни, по-голямата от тях е по-близо до центъра. Обратно, ако разстоянията от центъра на една окръжност до две нейни хорди са различни, то по-близо до центъра е по-голямата хорда.

Сега да разгледаме някои задачи.

1 Задача Точките $A$, $B$, $C$ и $D$ взети в този ред, са от окръжност $k$ и $\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CD}:\overset{\frown}{DA}=6:4:2:3$. Намерете градусните мерки на дъгите $\overset{\frown}{ABC}$, $\overset{\frown}{BCD}$ и $\overset{\frown}{DAB}$.

Решение:

Нека $\overset{\frown}{AB}=6x$, $\overset{\frown}{BC}=4x$, $\overset{\frown}{CD}=2x$ и  $\overset{\frown}{DA}=3x$. Тъй като $6x+4x+2x+3x=360^{\circ}$ (нека да припомним, че цялата окръжност е $360^{\circ}$), тогава получаваме, че $15x=360^{\circ}$, от където $x=24^{\circ}$. Следователно $\overset{\frown}{AB}=6x=6.24^{\circ}=144^{\circ}$, $\overset{\frown}{BC}=4x=4.24^{\circ}=96^{\circ}$, $\overset{\frown}{CD}=2x=2.24^{\circ}=48^{\circ}$ и  $\overset{\frown}{DA}=3x=3.24^{\circ}=72^{\circ}$.

Тъй като дъгата $\overset{\frown}{ABC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}$ то за $\overset{\frown}{ABC}$ получаваме $\overset{\frown}{ABC}=144^{\circ}+96^{\circ}=240^{\circ}$. За дъгата $\overset{\frown}{BCD}$ имаме че $\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$ и следователно $\overset{\frown}{BCD}=96^{\circ}+48^{\circ}=144^{\circ}$. Накрая за дъгата $\overset{\frown}{DAB}$ имаме, че $\overset{\frown}{DAB}=\overset{\frown}{DA}+\overset{\frown}{AB}$ и тогава $\overset{\frown}{DAB}=72^{\circ}+144^{\circ}=216^{\circ}$.

2 Задача Градусната мярка на дъгата $\overset{\frown}{MN}$ е $\frac{1}{4}$ от тази на окръжността $k(O)$. Ако $MN=12\sqrt{5} \ dm$, то намерете разстоянието от $O$ до $MN$.

Решение:

Построяваме радиусите $OM$ и $ON$. Тъй $\overset{\frown}{MN}$ е $\frac{1}{4}$ от тази на окръжността следва, че $\overset{\frown}{MN}=\frac{1}{4}.360^{\circ}=90^{\circ}$. От тук получаваме, че и $\sphericalangle MON=90^{\circ}$ (той е централен ъгъл). Можем да кажем също и, че $\sphericalangle ONM=\sphericalangle OMN=45^{\circ}$ и $\triangle MON$ е равнобедрен и правоъгълен. Следователно $OH=HM=HN$ и тъй като $OH$ е височина, медиана и ъглополовяща то точката $H$ е среда на $MN$. От тук следва, че $OH=HM=\frac{1}{2}MN=6\sqrt{5} \ dm$. 

3 Задача Дадени са хорда $AB=7 \ cm$ и дъга $\overset{\frown}{AB}=60^{\circ}$ от окръжност $k$. Намерете диаметъра на $k$.

Решение:

Построяваме радиусите $OA$ и $OB$. От това, че $\overset{\frown}{AB}=60^{\circ}$ следва, че централният ъгъл $\sphericalangle AOB=60^{\circ}$. Тъй като $\triangle AOB$ е равнобедрен триъгълник с ъгъл равен на $60^{\circ}$ то следва, че $\triangle ABO$ е равностранен триъгълник и $AB=OA=OB=r=7 \ cm$. Диаметърът на окръжност $k$ е равен на $2r$ и следователно $d=2r=2.7=14 \ cm$.

4 Задача В окръжност са дадени хордите $AB$ и $CD$. Докажете, че ако:

а) $AB=CD$, разстоянията от центъра $O$ на окръжността до хордите са равни;

б) разстоянията от центъра $O$ на окръжността до хордите са равни, то $AB=CD$.

Решение: а)

Нека разстоянието от точката $O$ до хордата $AB$ е $OH$, а до хордата $CD$ е $OM$. Построяваме радиусите $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$.

Не е трудно да се види, че $\triangle AOB\cong\triangle COD$ по трети признак и следователно $OH=OM$ (съответните височини в еднаквите триъгълници са равни).

Може също така да кажем и, че от $OH\perp AB$ и $OM\perp CD$ и $\triangle AOB$ и $COD$ - равнобедрени следва, че $AH=HB=DM=MC$ ($OH$ и $OM$ са височини, медиани и ъглополовящи), от където $HB=DM$. Така от казаното до тук лесно се доказва, че $\triangle BHO\cong\triangle DOM$ (правоъгълни триъгълници) по четвърти признак и $OH=OM$.

б) Сега имаме, че $OH=OM$ и трябва да докажем, че $AB=CD$. 

Тъй като $\triangle HOB\cong\triangle MOD$ по четвърти признак следва, че $HB=DM$. Аналогично $\triangle AHO\cong\triangle CMO$ и следователно $AH=CM$, от където и $AB=CD$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Хордата $BC$ на окръжност с център $O$ е равна на радиуса на окръжността. Ако $AB$ е диаметър, намерете ъглите на $\triangle ABC$.

2. Върху окръжност с център $O$ са взети точките $A$, $B$, $C$ и $D$ в този ред. За непресичащите се дъги $\overset{\frown}{BC}$, $\overset{\frown}{CD}$ и $\overset{\frown}{DA}$ е дадено, че $\overset{\frown}{DA}=3\overset{\frown}{CD}$ и $5\overset{\frown}{CD}=2\overset{\frown}{BC}$. Намерете $\sphericalangle AOB$, $\sphericalangle BOC$, $\sphericalangle COD$ и $\sphericalangle DOA$, ако $\overset{\frown}{AB}=100^{\circ}$.

3.Точките $M$ и $N$ лежат на окръжност $k(O;r=10 \ cm)$. Намерете мярката на $\overset{\frown}{MN}$, ако точка $O$ е на разстояние $5 \ cm$ от хордата $AB$.

4. Точките $M$, $N$ и $P$ са от окръжност с център $O$. Ако $\overset{\frown}{MN}=60^{\circ}$ и дъгата $\overset{\frown}{NP}$, несъдържаща точката $M$ е 4 пъти по-голяма от дъгата $\overset{\frown}{MN}$. Намерете:

а) мярката на $\sphericalangle MOP$;

б) периметъра на четириъгълника $MNOP$, ако хордата $MP$ е $7 \ cm$.

5. Дадена е окръжност с център $O$ и хорда $MN$. Докажете, че ъглополовящата на $\sphericalangle MON$ пресича дъгата $\overset{\frown}{MN}$ в средата й.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: