Корен трети. Свойства 11 клас

Още от 8-ми клас ние познаваме действието коренуване, квадратният корен и неговите свойства. Както добре знаем обаче, освен квадратни корени съществуват и други видове корени, като корен $3$-ти, $4$-ти и т.н. В началото на този урок ще покажем основните свойства на корен трети. Нека да ги разгледаме.

1) $\sqrt[3]{a^3}=a$; 

2) $\sqrt[3]{a^m}=(\sqrt[3]{a})^m$, $m\in\mathbb{N}$; 

3) $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$; 

4) $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$, $b\neq 0$;

5) $\sqrt[3]{a^3b}=a\sqrt[3]{b}$;

6) $a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3b}$;

7) Ако $a<b$, то $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

Сега нека да решим някои задачи за да илюстрираме приложението на горните седем свойства на корен трети.

1 Задача Пресметнете $\sqrt[3]{27.125}$.

Решение: Забелязваме, че $27=3^3$ и $125=5^3$, следователно произведението под третия корен може да запишем във вида $\sqrt[3]{3^3.5^3}$. Сега след като приложим свойство 3) получаваме $\sqrt[3]{3^3.5^3}=\sqrt[3]{3^3}.\sqrt[3]{5^3}=3.5=15$.

2 Задача Пресметнете $\sqrt[3]{\frac{27}{1000}}$.

Решение: Даденият израз записваме във вида:
$\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{10^3}}=\frac{3}{10}$.

3 Задача Сравнете $a$ и $b$, ако $a=(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{4})-\frac{\sqrt[3]{162}}{\sqrt[3]{2}}$ и $b=-\sqrt[3]{2}$.

Решение: Пресмятаме първо $a$, като забелязваме, че можем да приложим формулата за сбор по разлика  и получаваме:
$a=\sqrt[3]{9^2}-\sqrt[3]{4^2}-\sqrt[3]{\frac{162}{2}}$

$a=\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{81}$

$a=-\sqrt[3]{16}$.

Сега за $b$ ще внесем множителят $2$ вътре в корена и получаваме, че

$b=-2\sqrt[3]{2}$

$b=-\sqrt[3]{2^3}$

$b=-\sqrt[3]{16}$.

Така получихме, че $a=b=-\sqrt[3]{16}$.

4 Задача Сравнете числата $a=\sqrt[3]{-4}$ и $b=\sqrt[3]{-10}$.

Решение: Тъй като $-4>-10$ от свойство 7) имаме, че $\sqrt[3]{-4}>\sqrt[3]{-10}$ т.е. $a>b$.

5 Задача Сравнете числата $a=3$ и $b=\sqrt[3]{17}$.

Решение: Записваме числото $a$ във вида $\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[3]{27}$. Сега лесно забелязваме, че тъй като $27>17$ то и $\sqrt[3]{27}>\sqrt[3]{17}$, т.е. $a>b$.

6 Задача Изнесете множител пред корена $\sqrt[3]{40a^4b^3}$

Решение: Като вземем в предвид, че $40=5.8.5.2^3$ и $a^4=a^3.a$ подкоренна величина можем да запишем във вида $\sqrt[3]{2^3.a^3.b^3.5.a}=2ab\sqrt[3]{5a}$.

7 Задача Изнесете множител пред корена $\sqrt[3]{27xy^3z^5}$.

Решение: Като вземем в предвид, че $27=3^3$ и $z^5=a^3.z^2$ подкоренна величина можем да запишем във вида $\sqrt[3]{3^3.y^3.z^3.x.z}=3yz\sqrt[3]{xz}$.

8 Задача Внесете множител под корена $3x\sqrt[3]{\frac{y}{9x}}$, при $x\neq 0$.

Решение: Прилагаме свойство 6) и получаваме:
$\sqrt[3]{9x^2.\frac{y}{9x}}=\sqrt[3]{xy}$.

9 Задача Извършете означените действия $\sqrt[3]{\frac{2x^3y}{z^3}}:\sqrt[3]{\frac{16}{x^6y}}$

Решение: Определяме допустимите стойности на израза, първо $x\neq 0$, $y\neq 0$ и $z\neq 0$. След това записваме дадения израз във вида:
$\frac{\sqrt[3]{2x^3y}}{\sqrt[3]{z^3}}:\frac{\sqrt[3]{2^3.2}}{\sqrt[3]{x^3.x^3}}=$

$=\frac{x\sqrt[3]{2y}}{z}.\frac{x^2}{2\sqrt[3]{2}}=$

$=\frac{x^3}{2z}\sqrt[3]{y}$.

10 Задача Опростете израза 

$\frac{a+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}+\frac{\sqrt[3]{a}-a}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}$.

Решение: Записваме дадения израз във вида:
$\frac{\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}+\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}=$

$=\frac{\sqrt[3]{a^2}(\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1}+\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}=$

$=\sqrt[3]{a^2}+\frac{\sqrt[3]{a}(1-(\sqrt[3]{a})^2)}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}=$

$=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-\frac{\sqrt[3]{a}(1-\sqrt[3]{a})(1+\sqrt[3]{a})}{1-\sqrt[3]{a}}=$

$=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^2}=0$.

11 Задача Опростете израза 

$2\sqrt[3]{ab}+\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$

Решение: Записваме дадения израз във вида:
$2\sqrt[3]{ab}+\frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=$

$=2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{b^2}=0$.

12 Задача Докажете равенството

$\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}.\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=-1$

Решение: Нека да разгледаме лявата страна на равенството:

$A=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}.\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида:
$A=\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}$

$A=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1$, с което равенството е доказано.

13 Задача Опростете израза

$\frac{b}{a-b}\sqrt[3]{(a^2+b^2-2ab)(a^2-b^2)(a+b)}.\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}$, където $a\neq\pm b$.

Решение: Записваме даденият израз във вида:
$\frac{b}{a-b}\sqrt[3]{(a-b)^2(a-b)(a+b)(a+b)}.\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}=$

$=\frac{b}{a-b}\sqrt[3]{(a-b)^3(a+b)^2}.\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}=$

$=\frac{b}{a-b}.(a-b)\sqrt[3]{(a+b)^2}.\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}=$

$=b(a^3-b^3)$.

14 Задача Рационализирайте знаменателя на дробта

$\frac{\sqrt[3]{18}}{2\sqrt[3]{3ab}}$.

Решение: За да рационализираме знаменателя на дадената дроб е необходимо да умножим нейният числител и знаменател с $\sqrt[3]{3^2a^2b^2}$ за да може в знаменателя да получим $\sqrt[3]{(3ab)^3}$ и кубичният корен да бъде премахнат. Така получаваме:
$\frac{\sqrt[3]{18}}{2\sqrt[3]{3ab}}.\frac{\sqrt[3]{9a^2b^2}}{\sqrt[3]{9a^2b^2}}=\frac{3\sqrt[3]{6a^2b^2}}{6ab}=\frac{\sqrt[6]{6a^2b^2}}{2ab}$.

15 Задача Рационализирайте знаменателя на дробта

$\frac{8}{1+\sqrt[3]{3}}$.

Решение: За да рационализираме знаменателя на дадената дроб е необходимо да умножим нейният числител и знаменател с $1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$, така че в знаменателя да получим формулата $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-b^3$. Така получаваме:

$\frac{8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{(1+\sqrt[3]{3})(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}=\frac{8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{4}=2(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Пресметнете:

а) $\sqrt[3]{216.125.64}$;

б) $\sqrt[3]{169}.\sqrt[3]{39}.\sqrt[3]{\sqrt{9}}$;

в) $\sqrt[3]{\frac{27}{512}}+\sqrt[3]{\frac{-1}{8}}$;

г) $\sqrt[3]{\frac{81}{3^7}}+\sqrt[3]{\frac{5}{9^2}}:\sqrt[3]{\frac{9}{25}}$.

2. Изнесете множител пред корена:

а) $\sqrt[3]{a^4b^2c^7}$;
б) $\sqrt[3]{\frac{1}{16}x^5y^3z^9}$;

в) $\sqrt[3]{-64a^2b^{11}c^{13}}$;

г) $\sqrt[3]{-\frac{1}{81}m^{13}p^6n^12}$.

3. Рационализирайте знаменателите на дробите:
а) $\frac{2a}{\sqrt[3]{3xy}}$;

б) $\frac{7}{\sqrt[3]{2}-1}$;

в) $\frac{x+y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}$.

4. Внесете множители под корена:

а) $\frac{2}{ab}\sqrt[3]{5a}$, при $a\neq 0$ и $b\neq 0$;

б) $-\frac{3}{b}\sqrt[3]{2b^3c}$;

в) $-\frac{5}{2}\sqrt[3]{4}$;

г) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{-8x^2y}$.

5. Опростете израза: 

$\left[\sqrt[3]{(n^2+1)\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}+\sqrt[3]{(n^2-1)\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}\right]^{-2}$

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: