Решаване на системи уравнения от втора степен, на които едното уравнение е линейно 9 клас

 

Въведение

Системите от уравнения с две неизвестни са основен инструмент в алгебрата и математиката като цяло. Те ни позволяват да решаваме проблеми, които включват повече от една променлива. В тази статия ще разгледаме системи от уравнения, в които едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно уравнение. Ще започнем с кратки исторически бележки за системите от този тип, след това ще разгледаме приложенията им и накрая ще решим няколко системи от този вид. 

Исторически бележки

Системите от уравнения с две неизвестни са изучавани от древността и са имали голямо приложение в различни области. Един от първите известни примери на решаване на системи от уравнения е от гръцкия математик Диофант, живял през III-ти век. Той разглежда системи от уравнения с цели числа като неизвестни. Например, едно от най-известните уравнения от този период е $x^2 + y^2 = z^2$, което описва Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник.

През следващите векове, системите от уравнения с две неизвестни стават все по-разпространени и се използват в различни научни и инженерни области. Те са особено полезни при моделирането на физически явления и при анализа на решенията на сложни проблеми.

Някои приложения на системите уравнения

Системите от уравнения с две неизвестни, като едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно уравнение, имат широко приложение в различни области. Някои от най-честите приложения включват:

1. Физика: Тези системи се използват за моделиране на движението на обекти под действие на гравитацията или други сили. Например, можем да използваме система от уравнения, за да определим позицията и скоростта на обект, хвърлен вертикално нагоре.

2. Икономика: Системите от уравнения с две неизвестни се използват за анализ на икономическите модели и търсенето/предлагането на стоки и услуги. Например, можем да използваме система от уравнения, за да определим оптималната цена и количеството на продукт, което трябва да бъде произведено.

3. Инженерство: Системите от уравнения с две неизвестни намират широко приложение в различни инженерни задачи. Например, можем да използваме система от уравнения, за да определим напрежението и деформацията на структура под действие на натоварване.

4. Криптография: Системите от уравнения играят важна роля в криптографията, като се използват за криптиране и декриптиране на данни. Например, можем да използваме система от уравнения, за да кодираме и декодираме секретни съобщения.

Решаване на системи уравнения от разглеждания вид

Сега ще разгледаме подробно как да решим системи от уравнения с две неизвестни, като едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно уравнение. Ще разгледаме няколко конкретни примера, за да видим процеса на решаване.

1 Задача:  Решете системата:

$$\begin{cases} x+2y=5 \\[2ex] x^2+y^2=10.\\[2ex] \end{cases}$$

Решение: За да решим тази система уравнения чрез заместване, можем да изразим едно от неизвестните от първото уравнение и да го заместим във второто уравнение.

От първото уравнение $x+2y=5$ можем да изразим $x$: $x = 5 - 2y$

След това заместваме стойността на $x$ във второто уравнение $x^2+y^2=10$: 

$(5 - 2y)^2 + y^2 = 10$

Развиваме скобите: $25 - 20y + 4y^2 + y^2 = 10$

Събираме подобните едночлени: $5y^2 - 20y + 15 = 0$

Сега можем да решим това квадратно уравнение за $y$. Можем да го решим чрез допълване до точен квадрат и разлагане на множители или чрез използване на формулата за решаване на квадратно уравнение т.е.: 

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Заместваме стойностите: $a = 5$, $b = -20$, $c = 15$

$y = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(5)(15)}}{2(5)}$

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 300}}{10}$

$y = \frac{20 \pm \sqrt{100}}{10}$

$y = \frac{20 \pm 10}{10}$

Така получаваме две стойности за $y$:

$y_1 = \frac{20 + 10}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$y_2 = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Сега, след като имаме стойности за $y$, можем да намерим съответните стойности на $x$ от първото уравнение. Заместваме $y_1$ и $y_2$ в уравнението:

За $y_1 = 3$: $x + 2(3) = 5$ $x + 6 = 5$ $x = 5 - 6$ $x = -1$

За $y_2 = 1$: $x + 2(1) = 5$ $x + 2 = 5$ $x = 5 - 2$ $x = 3$

Тогава за отговор на тази система получаваме двойките решения: $(x_1, y_1) = (-1, 3)$ и $(x_2, y_2) = (3, 1)$.

2 Задача:  Решете системата:

$$\begin{cases} y-2x=1 \\[2ex] x^2-2x+y=2.\\[2ex] \end{cases}$$

Решение: Започваме с първото уравнение $y-2x=1$. Ще изразим  от него $y$: $y = 2x + 1$

След това заместваме стойността на $y$ във второто уравнение $x^2-2x+y=2$ и получаваме: 

$x^2 - 2x + (2x + 1) = 2$

След това разкриваме скобите:

 $x^2 - x + 1 = 2$

Събираме подобните едночлени:

 $x^2 - x - 1 = 0$

Последното уравнение е квадратно уравнение относно $x$. За да го решим, можем да използваме допълване до точен квадрат и разлагане на прости множители на квадратния тричлен или да използваме формулата за корените на квадратното уравнение. За тази система ще използваме формулата за решенията на квадратното уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Заместваме стойностите: $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Така получаваме две стойности за $x$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Сега, след като имаме стойности за $x$, можем да намерим съответните стойности на $y$ от първото уравнение. Заместваме $x_1$ и $x_2$ в уравнението:

За $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$: $y - 2\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = 1$ $y - (1 + \sqrt{5}) = 1$ $y - \sqrt{5} - 1 = 1$ $y - \sqrt{5} = 2$ $y = \sqrt{5} + 2$

За $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$: $y - 2\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = 1$ $y - (1 - \sqrt{5}) = 1$ $y + \sqrt{5} - 1 = 1$ $y + \sqrt{5} = 2$ $y = -\sqrt{5} + 2$

Решенията на системата са следните две наредени двойки: $(x_1, y_1) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2},\sqrt{5} + 2\right)$ и $(x_2, y_2) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2},-\sqrt{5} + 2\right)$.

3 Задача:  Решете системата:

$$\begin{cases} (x-2)^2+(y-1)^2=4  \\[2ex] 3x+y=1.\\[2ex] \end{cases}$$

Решение: За да решим тази система уравнения чрез заместване, можем да изразим едно от неизвестните във второто уравнение и да го заместим в първото уравнение.

От второто уравнение $3x + y = 1$ можем да изразим $y$: $y = 1 - 3x$

Сега заместваме стойността на $y$ в първото уравнение $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$: $(x-2)^2 + ((1 - 3x) - 1)^2 = 4$

Развиваме скобите: $(x^2 - 4x + 4) + (1 - 3x - 1)^2 = 4$

Извършваме действията с подобните едночлени: $x^2 - 4x + 4 + (1 - 3x - 1)^2 = 4$

Разкриваме скобите и опростяваме: $x^2 - 4x + 4 + (1 - 3x - 1)(1 - 3x - 1) = 4$

$x^2 - 4x + 4 + (1 - 3x)^2 - 2(1 - 3x) + 1 = 4$

И тук разкриваме скобите, и опростяваме: $x^2 - 4x + 4 + (1 - 6x + 9x^2) - (2 - 6x) + 1 = 4$

Извършваме действията с подобните едночлени и имаме уравнението: $9x^2 - 17x + 8 = 0$

Това е квадратно уравнение относно  $x$. За да го решим, можем да разложим лявата му страна на множители или да постъпим по класическият начин, като приложим формулата за намиране на корените на квадратното уравнение. Разлагаме на множители и имаме:

$(3x - 4)(3x - 2) = 0$

Така получаваме две стойности за $x$:

$3x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{4}{3}$

$3x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{3}$

Сега, след като имаме стойности за $x$, можем да намерим съответните стойности на $y$ чрез второто уравнение. Заместваме $x_1$ и $x_2$ в уравнението:

За $x_1 = \frac{4}{3}$: $3\left(\frac{4}{3}\right) + y = 1$ $4 + y = 1$ $y = 1 - 4$ $y = -3$

За $x_2 = \frac{2}{3}$: $3\left(\frac{2}{3}\right) + y = 1$ $2 + y = 1$ $y = 1 - 2$ $y = -1$

Отговорът за система 3 е двойката решения: $(x_1, y_1) = \left(\frac{4}{3}, -3\right)$ и $(x_2, y_2) = \left(\frac{2}{3}, -1\right)$.

4 Задача:  Решете системата:

$$\begin{cases} x+y=5 \\[2ex] xy=14.\\[2ex] \end{cases}$$

Решение: За да решим системата от уравнения, ще използваме метода на заместването. Нека започнем като изразим една от променливите от първото уравнение и я заместим във второто уравнение.

От първото уравнение получаваме $x = 5 - y$.

Сега ще заместим тази стойност на x във второто уравнение:

$(5 - y)y = 14$

Разширяваме уравнението:

$5y - y^2 = 14$

Записваме уравнението във вида:

$y^2 - 5y + 14 = 0$

Това е квадратно уравнение относно y. За да го решим, можем да използваме дискриминантата $D = b^2 - 4ac$ и формулите за намиране на корените на квадратно уравнение:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В нашия случай имаме $a = 1$, $b = -5$ и $c = 14$.

Изчисляваме дискриминантата:

$D = (-5)^2 - 4(1)(14) = 25 - 56 = -31$

Тъй като дискриминантата е отрицателно число, квадратното уравнение няма реални корени. Следователно, системата няма решение в множеството на реални числа. Още задачи свързани с решаването на квадратни уравнения може да намерите тук.

Тези задачи ще ви помогнат да упражните решаването на системи от уравнения с две неизвестни, като едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно уравнение. Уверете се, че изчисленията са правилни и проверете вашите резултати.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете системата:

$$\begin{cases} x+y=5 \\[2ex] xy=-14.\\[2ex] \end{cases}$$

2. Решете системата:

$$\begin{cases} x-y=1 \\[2ex] xy=20.\\[2ex] \end{cases}$$

3. Решете системата:

$$\begin{cases} x+2y=5 \\[2ex] x^2+y^2=10.\\[2ex] \end{cases}$$

4. Решете системата:

$$\begin{cases} y-2x=1 \\[2ex] x^2-2x+y=2.\\[2ex] \end{cases}$$

5. Решете системата:

$$\begin{cases} (y-3x)^2=0 \\[2ex] x^2-2y+y^2=4.\\[2ex] \end{cases}$$

6. Решете системата:

$$\begin{cases} x^2+y=-5 \\[2ex] 2x-y=4.\\[2ex] \end{cases}$$

Още решени и обяснени задачи по темата може да намерите във видеото ми по-долу: