Уроци по математика (Math lessons)

1 Problem Find the numerical value of the expression $a^2+b^2$ if $a+b=5$ and $ab=9$. Solution: Let's recall the formula for truncated multiplication $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, which we have already reviewed here. Notice that $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$, this is because $(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab$, and the ones complement $2ab$ and $-2ab$ are truncated. Thus, we have already figured out how to represent $a^2+b^2$ as the sum and product of $a$ and $b$, hence $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2.9=25-18=7.$ Problem 2 Prove the identity $(ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ad-cb)^2.$ Solution: We need to prove that the left side of this equality is equal to the right side. We will simplify both sides of the equality and compare them, hence $LS=a^2b^2+2abcd+c^2d^2$. Now we simplify the right-hand side of the equality  $LS=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-(a^2d^2-2adcb+c^2b^2)=$ $=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-a^2d^2+2adcb-c^2b^2=a^2b^2+c^2d^2+2abcd$.  Thus we get that $LS=RS$ and the equality is an identity...

We continue with the next and last of the abbreviated multiplication formulas $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$. We will look at some problems to show some applications of it. Problem 1 Perform the multiplication $(3-x)(9+3x+x^2).$ Solution: Notice that given the expression $(3-x)(9+3x+x^2)$, we can write it in the form $(3-x)(3^2+3x+x^2).$ We will apply the formula $(a-b)(a^2+ab+b^2)$, replacing $a$ with $3$ and $b$ with $x$, so we get $(3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3.$ Problem 2 Perform the multiplication $(3t+2)(9t^2-6t+4).$ Solution: Given an expression, we can write it in the form $(3t+2)[(3t)^2-3t.2+2^2]$. Now it is easy to see that we can apply the formula $(a+b)(a^2-ab+b^2)$, where $a=3t$ and $b=2$, so we get $(3t+2)[(3t)^2-3t.2+2^2]=(3t)^3+2^3=27t^3+8.$ Problem 3 Simplify the expression $(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2).$ Solution: Apply the formulas $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ and $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, hence $(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2)=x^3-2^3-x(x^2-4)-4x+8=x^3-8...

We continue with the next of the abbreviated multiplication formulas $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$. Let's look at some problems to illustrate some of its applications. Problem 1 Perform the grading $(x+2)^3$. Solution: To solve this problem we will apply the formula $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, where in our case $a=x$ and $b=2$, so we get $(x+2)^3=x^3+3x^2.2+3x.2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$. Problem 2 Perform the $(2m-3n)^3$ grading. Solution:  $(2m)^2.3n+3.(2m).(3n)^2-(3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3.$ 3 Problem Perform the grading $(3t+z^2)^3$ Solution: To solve this problem we will apply the formula $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, where $a=3t$ and $b=z^2$, hence $(3t+z^2)^3=(3t)^3+3. (3t)^2.z^2+3.(3t)(z^2)^2+(z^2)^3=27t^3+27t^2z^2+9z^4t+z^6.$ 4 Problem Simplify the expression $(x+1)^3-2(x-1)^2.$ Solution: Notice that the expression we need to simplify involves two of the shortcut multiplication formulas $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ and $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, the latter...

We continue with the next of the abbreviated multiplication formulas $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Let's look at some problems to illustrate its applications. Problem 1 Perform the multiplication $(x+y)(x-y)$. Solution: Now we apply the formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, where $a=x$ and $b=y$, hence $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.  Problem 2 Perform the multiplication $(3x-4y)(3x+4y)$. Solution: Apply the formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, where $a=3x$ and $b=4y$, hence $(3x-4y)(3x+4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2$. 3 Problem Perform the multiplication $(x^2-z)(x^2+z)$. Solution: Apply the formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, where $a=x^2$ and $b=z$, hence $(x^2-z)(x^2+z)=(x^2)^2-(z)^2=x^4-z^2$. Let us recall the power grading property, i.e. $(a^n)^m=a^{n.m}$. 4 Problem Calculate $17.23$ in a rational way. Solution: Represent the product $17.23$ in the following way $17.23=(20-3)(20+3)$ and apply the formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, so $17.23=(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391$. 5 Problem Simplify the expression $(3x-...

We will give definitions of some of the basic concepts, which we will explain with concrete examples. Definition 1: A rational expression that has no variables in the denominator is called an integer rational expression. Definition 2:  Monomial, we will call an integer rational expression, which is a product of letters and numbers. One's are also any number, variable or parameter. Definition 3: We will say that a monomial is in normal form when it is written with only one numerical multiplier, which stands in first place and is called a quotient, and any product of ones is written as a power. Example: Let's consider the monomial $3x.x.y.4.y.z$. Obviously, this monomial is not in normal form because in its notation we have two numerical factors $3$ and $4$, and also, products of equal letters that are not written as a power. The normal form of the monomial would be $3x.x.y.4.y.z=3.4.x.x.y.y.z=12x^2y^2z.$ As you can see, $12x^2y^2z$ is obviously in normal form because it satisf...

With this and the following lessons, we will try together to overcome the difficulties in solving various problems in which these formulas are applied. Let us recall them before we begin: 1. $(a \pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$; 2. $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$; 3. $(a \pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$; 4. $(a \pm b)(a^{2}\pm ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$. In this article, we consider the formulas $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$. Let's solve a few problems to show how we will apply them: Problem 1 Perform the grading $(2x+y)^{2}.$ Solution: Let's consider the formula $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. In our expression, $2x$ plays the role of $a$ and $y$ plays the role of $b$. Let us now write $2x$ instead of $a$ and $y$ instead of $b$. Thus we get that $(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2.2x.y+y^{2}$. Now we need to exponentiate $(2x)^{2}$. Let's recall the following property learned in 6th grade $(a.b)^{n}=a^{n}.b^{n}$, hence $(2x)^{2}=2^{2}.x^{2}=4x^{2}$. Let us now, having made this c...

"Машината на Рамануджан е предвестник на нова методология за работа с математиката". - казва израелският математик Дорон Зейлбергер. Машината на Рамануджан е усъвършенствана изчислителна система, наречена на името на известния индийски математик Сриниваса Рамануджан (1887-1920). Въпреки името си, тя всъщност не е физическа машина, а по-скоро алгоритъм, който е предназначен да изследва и генерира математически формули и предположения, които притежават изключителна красота и дълбоко математическо значение. Сриниваса Рамануджан, роден през 1887 г. в Индия, е дете-чудо и изключителен математик, който има значителен принос към различни клонове на математиката, включително теория на числата, безкрайни редици и безкрайни суми, без да има формално математическо образование. Един от най-значимите приноси на Рамануджан е формулата му за изчисляване на числото $\pi$ (пи) с точност до голям брой знаци след десетичната запетая, както и откритията му, свързани с дяловете на теорията на чи...

Най-голямото известно просто число е много специално и рядко число, което е открито в рамките на проект, наречен Голямото интернет търсене на просто число на Мерсен (GIMPS). Простото число е естествено число, което се дели само на $1$ и на самото себе си, като например $2, 3, 5, 7$ и т.н. Просто число на Мерсен е просто число, което може да се запише като $2^p - 1$, където $p$ също е просто число. Например $3$ е просто число на Мерсен, защото може да се запише като $2² - 1$, а $2$ също е просто число. Най-голямото известно просто число към октомври 2023 г. е $2^{82589933}-1$, което има $24 862 048$ цифри, когато е записано в основа $10$. Открито е от компютърния доброволец Патрик Ларош от GIMPS през декември 2018 г. Първите $120$ цифри на това огромно число са записани по-долу: $14889444574204132554780645847239791660302627399279532418527$ $1289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560\ldots$ Това просто число е толкова голямо, че ще са необходими повече от девет часа, з...

"Математиката е езикът, с който Бог е написал Вселената." - Галилео Галилей Не сме сигурни точно кой пръв е използвал математиката в науката, но вавилонците преди около 3000 години може би са били сред първите. Те са използвали математиката, за да разберат моделите на затъмненията. Но за да се обяснят тези закономерности, са били необходими още 2500 години и изобретяването на диференциалното смятането и Нютоновата физика. Черните дупки, частицата Хигс бозон и гравитационните вълни са били предсказани с помощта на математиката, което подчертава присъщата математическа природа на нашата Вселена. Преди почти 400 години известното твърдение на Галилей, че Вселената е "велика книга", написана на езика на математиката, отразява тази идея. То подсказва, че нашата Вселена не е просто описана с помощта на математиката. По-скоро тя е математическа по своята същност. Всички ние сме част от това огромно, основано на математиката образувание, което е част от много по-голяма мулт...

  Въведение Системите от уравнения с две неизвестни са основен инструмент в алгебрата и математиката като цяло. Те ни позволяват да решаваме проблеми, които включват повече от една променлива. В тази статия ще разгледаме системи от уравнения, в които едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно уравнение. Ще започнем с кратки исторически бележки за системите от този тип, след това ще разгледаме приложенията им и накрая ще решим няколко системи от този вид.  Исторически бележки Системите от уравнения с две неизвестни са изучавани от древността и са имали голямо приложение в различни области. Един от първите известни примери на решаване на системи от уравнения е от гръцкия математик Диофант, живял през III-ти век. Той разглежда системи от уравнения с цели числа като неизвестни. Например, едно от най-известните уравнения от този период е $x^2 + y^2 = z^2$, което описва Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник. През следващите векове, системите от уравнения с две ...