Сумата на Рамануджан $1+2+3+\ldots +\infty=-\frac{1}{12}$

"За какво, за Бога, говориш? Това няма как да е вярно!" - Жена ми

Ето какво ми каза жена ми, когато ѝ разказах за тази малка математическа аномалия. И тя е точно това - аномалия. В края на краищата тя противоречи на елементарната логика. Как може събирането на положителни числа да е равно не само на отрицателно, но и на отрицателна дроб? 

Преди да започна, нека да обърна внимание, че когато говоря за суми в тази статия, това не е в традиционния смисъл на думата. Това е така, защото всички суми, с които се занимавам, естествено не клонят към определено число, затова говорим за друг вид суми, а именно за суми на Чезаро. За всички, които се интересуват от математиката, сумирането на Чезаро придава стойности на някои безкрайни суми, които не са сходящи в обичайния смисъл. Сумата на Чезаро се дефинира като границата, когато $n$ клони към безкрайност, на редицата от средните аритметични на първите $n$ частични суми на сумата. За по математически ориентираните читатели нека дадем и дефиницията:

Определение: Редицата $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ се нарича Чезаро сумируема, със сума на Чезаро $A\in\mathbb{R}$, ако при $n\to\infty$ средното аритметично на първите $n$ частични суми $s_1,s_2,\ldots s_n$ клони към $A$ т.е. :

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum^{n}_{k=1}s_k=A.$$

Искам също така да кажа, че в цялата статия се занимавам с концепцията за изброима безкрайност, различен вид безкрайност, която се занимава с безкрайни множества от числа, но такава, при която, ако ви се даде достатъчно време, можете да преброите до всяко число в множеството (например изброима безкрайност е порядъка на безкрайност на множеството на естествените числа $\mathbb{N}$, за разлика от безкрайността на множеството на реалните числа $\mathbb{R}$). Това ми позволява да използвам някои от обичайните свойства на математиката, като комутативност в уравненията си (което е аксиома, която използвам в цялата статия).

За тези от вас, които не са запознати с тази сума, която е известна като Сума на Рамануджан на името на известния индийски математик Сриниваса Рамануджан, тя гласи, че ако съберете всички естествени числа, т.е. $1$, $2$, $3$, $4$ и т.н., до безкрайност, ще откриете, че тя е равна на $-\frac{1}{12}$. Да, $-0,08333333333$.

$$\zeta(-1)=1+2+3+\ldots=-\frac{1}{12}.$$

Не ми вярвате? Продължавайте да четете, за да разберете как доказвам това, като доказвам две еднакво безумни твърдения:

1) $1-1+1-1+1-1\ldots = \frac{1}{2}$

2) $1-2+3-4+5-6\ldots = \frac{1}{4}$

Първо, хлябът и маслото. Това е мястото, където се случва истинската магия, всъщност другите две доказателства не са възможни без нея.

Започвам със сумата $А$, която е равна на $1-1+1-1+1-1$, повторена безкрайно много пъти. Ще я запиша по следния начин:

$$A = 1-1+1-1+1-1\ldots$$

След това ще направя малък хитър трик. Изваждам $A$ от $1$

$$1-A=1-(1-1+1-1+1-1\ldots)$$

Дотук добре? Сега идва моментът, в който се случва вълшебството. Ако опростя дясната страна на уравнението, ще получа нещо много странно:

$$1-A=1-1+1-1+1-1+1\ldots$$

Изглежда познато? Ако сте пропуснали, това е $A$. Да, там, в дясната страна на уравнението, е сумата, с която започнахме. Така че мога да заместя $A$ с тази дясна страна, да приложа малко алгебра от гимназията и бум!

$$1-A =A$$

$$1-A+A=A+A$$

$$1 = 2A$$

$$\frac{1}{2} = A$$

Тази малка красота е сумата на Гранди, наречена така в чест на италианския математик, философ и свещеник Гуидо Гранди. Това е наистина всичко, което има тази сума, и въпреки че е моят личен фаворит, зад нея няма готина история или история на открития. Тя обаче отваря вратата към доказването на много интересни неща, включително много важно уравнение за квантовата механика и дори за теорията на струните. Но за това ще стане дума по-късно. Засега преминаваме към доказателство № 2: $1-2+3-4+5-6\ldots = \frac{1}{4}$.

Започваме по същия начин, както по-горе, като вземем сумата $B =1-2+3-4+5-6\ldots$. След това можем да започнем да си играем с нея. Този път, вместо да изваждаме $B$ от $1$, ще я изваждаме от $A$. Написано на езика на математиката получаваме следното:

$$A-B = (1-1+1-1+1-1\ldots) - (1-2+3-4+5-6\ldots)$$

$$A-B = (1-1+1-1+1-1\ldots) - 1+2-3+4-5+6\ldots$$

След това разместваме малко елементите и виждаме, че се появява друга интересна закономерност.

$$A-B = (1-1) + (-1+2) +(1-3) + (-1+4) + (1-5) + (-1+6)\ldots$$

$$A-B = 0+1-2+3-4+5\ldots$$

Отново получаваме сумата, с която започнахме, а ние вече знаем, че $A = 1/2$, така че използваме още малко елементарна алгебра и доказваме втория ни умопомрачителен факт за днес.

$$A-B = B$$

$$A = 2B$$

$$1/2 = 2B$$

$$1/4 = B$$

И воала! Това уравнение няма красиво име, тъй като е доказано от много математици през годините и същевременно е наречено парадоксално уравнение. Въпреки това то предизвиква дебат сред учените по онова време и дори спомага за разширяване на изследванията на Ойлер в Базелския проблем и води до важни математически функции като Дзета функцията на Риман.

А сега идва и черешката на тортата, която толкова очаквахте. Отново започваме, като оставим сумата $C = 1+2+3+4+5+6\ldots$, а може би сте успели да се досетите, че ще извадим $C$ от $B$.

$$B-C = (1-2+3-4+5-6\ldots)-(1+2+3+4+5+6\ldots)$$

Сега , ще променим мястото на някои от числата тук, така че да получим нещо, което изглежда познато, но вероятно няма да е това, което подозирате.

$$B-C = (1-2+3-4+5-6\ldots)-1-2-3-4-5-6\ldots$$

$$B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) \ldots$$

$$B-C = 0-4+0-8+0-12\ldots$$

$$B-C = -4-8-12\ldots$$

Не е това, което сте очаквали, нали? Е, дръжте се, защото имам един последен трик в ръкава си, заради който всичко ще си струва. Ако сте забелязали, всички членове от дясната страна са кратни на $-4$, така че можем да извадим този общ множител пред скоби и ето, че получаваме това, с което започнахме.

$$B-C = -4(1+2+3)\ldots$$

$$B-C = -4C$$

$$B = -3C$$

И тъй като имаме стойност за $B=\frac{1}{4}$, просто заместваме тази стойност и получаваме нашия вълшебен резултат:

$\frac{1}{4}= -3C$

$\frac{1}{-12}= C$ или $C = -\frac{1}{12}$

А сега защо това е важно. Ами като начало, то се използва в теорията на струните. За съжаление, не във версията на Стивън Хокинг, а в оригиналната версия на теорията на струните (наречена Бозонна теория на струните). Сега, за съжаление, бозонната теория на струните е донякъде остаряла от настоящата област на интерес, наречена суперсиметрична теория на струните, но оригиналната теория все още има своите приложения за разбиране на суперструните, които са неразделна част от гореспоменатата актуализирана теория на струните.

Обобщението на Рамануджан има голямо влияние и в областта на общата физика, по-специално при решаването на проблема с явлението, известно като ефект на Казимир. Хендрик Казимир предсказва, че при две незаредени проводящи плочи, поставени във вакуум, между тези плочи съществува притегателна сила поради наличието на виртуални частици, породени от квантови флуктуации. В решението на Казимир той използва сумата, която току-що доказахме, за да моделира количеството енергия между плочите. И ето причината, поради която тази стойност е толкова важна.

И така, ето я сумата на Рамануджан, която е открита в началото на 1900 г., която почти 100 години по-късно все още оказва влияние в много различни клонове на физиката и все още може да спечели залог срещу хора, които не са по-умни от Вас.