Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране 9 клас

В миналият ни урок свързан със системите линейни уравнения вече описахме множеството им приложения в реалния свят (което мотивира и нуждата от познаване на повече методи за решаването им), а също така разгледахме и един метод за тяхното решаване - чрез заместване. В този урок ще се спрем на решаването на системи линейни уравнения чрез събиране.

Този метод включва събиране или изваждане на уравненията, така че да се елиминира едно или повече неизвестни. За да приложим този метод трябва да направим следното:

1) Привеждаме системата линейни уравнения в нормален вид т.е. във вида:

$$\begin{cases} $a_1x+b_1y=c_1$ \\[2ex] a_2x+b_2y=c_2.\\[2ex] \end{cases}$$

2) Умножаваме (ако има нужда) едното уравнение или и двете с подходящи числа, така, че коефициентите пред едното неизвестно $x$ или $y$ в двете уравнения да са противоположни числа.

3) Събираме двете уравнения (събираме левите и десните им страни) като едно от неизвестните ще изчезне (тъй като от стъпка 2 сме си осигурили коефициентите пред едно от неизвестните в двете уравнения да са противоположни числа, когато ги съберем това неизвестно ще изчезне).

4) Решаваме полученото линейно уравнение с едно неизвестно и го намираме. 

5) Заместваме в кое да е от двете първоначално дадени уравнения с вече намереното неизвестно и решаваме линейно уравнение относно другото неизвестно.

6) Записваме отговора.

Казаното по-горе ще илюстрираме със следните няколко примера.

1 Задача Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} x-y=13 \\[2ex] x+y=15. \\[2ex] \end{cases} $$

Решение: Забелязваме, че коефициентите пред неизвестното $y$ са противоположни числа. В първото уравнение коефициентът пред неизвестното $y$ е $-1$, а във второто е $1$. Сега събираме левите и десните части на двете уравнения, така получаваме $x-y+x+y=15+13$. Както може да забележим неизвестните $y$ се съкращават и имаме да решим уравнение само с едно неизвестно $2x=28$, от където намираме, че $x=14$. Сега се връщаме в което и да е от двете дадени уравнения и заместваме $x$ с $14$ за да намерим и второто неизвестно $y$. Например нека заместим във второто уравнение $x$ с $14$. Имаме $14+y=15$ и $y=1$. За отговор остава наредената двойка $(14;1)$.

2 Задача Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} 3x-y=11 \\[2ex] 8x+3y=1. \\[2ex] \end{cases} $$

Решение: Забелязваме, че коефициентите пред неизвестното $y$ са съответно $-1$ в първото и $3$ във второто. Следователно, ако умножим първото уравнение с $3$ пред неизвестното $y$ в двете уравнения ще имаме противоположни числа съответно $-3$ и $3$ (нека припомним още веднъж, че ако умножим лявата и дясната страна на едно равенство с едно и също число, равенството не се променя). Умножаваме с $3$ първото уравнение на системата и получаваме:
$$\begin{cases} 3x-y=11/.3 \\[2ex] 8x+3y=1 \\[2ex] \end{cases} \iff $$ 

$$\begin{cases} 9x-3y=33 \\[2ex] 8x+3y=1. \\[2ex] \end{cases}$$

Сега събираме левите и десните страни на уравненията от последната система и получаваме $9x+8x-3y+3y=33+1$, следователно $17x=34$ и $x=2$. За да намерим и неизвестното $y$ се връщаме в което и да е от двете дадени в началото уравнения, например в първото и заместваме $x$ с $2$. Така получаваме $3.2-y=11$ от където $y=-5$. За отговор записваме наредената двойка $(2;-5)$.

3 Задача Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} 3(5x-8)=7(y-x)+25 \\[2ex] 6x-3(1-y)=2x-4y. \\[2ex] \end{cases} $$

Решение: Първо ще приведем системата в нормален вид. За целта ще разкрием скобите и в двете уравнения и ще извършим действията с подобните едночлени:

$$\begin{cases} 15x-24=7y-7x+25 \\[2ex] 6x-3+3y=2x-4y \\[2ex] \end {cases} \iff $$

$$\begin{cases} 22x-7y=49 \\[2ex] 4x+7y=3. \\[2ex] \end {cases}$$

Не е трудно да забележим, че коефициентите пред неизвестното $y$ в двете уравнения са противоположни числа, а именно $-7$ и $7$. Сега директно събираме левите и десните страни на двете уравнения и получаваме $22x+4x-7y+7y=49+3$, следователно $26x=52$ от където $x=2$. Сега заместваме в което и да е от двете дадени уравнения за да намерим и неизвестното $y$, например в първото така имаме $3(5.2-8)=7(y-2)+25$, което след като го решим намираме, че $y=-\frac{5}{7}$. За отговор записваме наредената двойка числа $\left(2;-\frac{5}{7}\right)$.

4 Задача Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} (3x+2y)^2-(2x+3y)^2+4x=5(x-y)(x+y)-3y \\[2ex] \frac{4}{5}\left(5x-\frac{1}{4}\right)+\frac{2}{3}\left(6+\frac{9y}{2}\right)=2. \\[2ex] \end{cases} $$

Решение: Първо разкриваме скобите в двете уравнения и привеждаме системата в нормален вид:

$$\begin{cases} 9x^2+12xy+4y^2-4x^2-12xy-9y^2+4x=5x^2-5y^2-3y \\[2ex] 4x-\frac{1}{5}+4+3y=2. \\[2ex] \end{cases}\iff $$

$$\begin{cases} 4x+3y=0 \\[2ex] 4x+3y=-\frac{9}{5}. \\[2ex] \end{cases} $$

Тъй като в дадената система имаме, че и първото и второто уравнение трябва да бъдат равни едновременно съответно на $0$ и $-\frac{9}{5}$ очевидно системата няма решение. Ясно се вижда, че например, ако умножим първото уравнение с $-1$ и съберем с второто ще получим, че $0x+0y=-\frac{9}{5}$, което не е вярно, следователно за отговор записваме, че $(x;y)\in\emptyset$.

5 Задача Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} \frac{2y-5x}{12}-\frac{3x+8y}{18}=\frac{5x+y}{6} \\[2ex] (x+y)^2-(x-y)^2=2x(y-2)+2y(x+7). \\[2ex] \end{cases} $$

Решение: Първо разкриваме скобите във второто уравнение, а в първото привеждаме под общ знаменател $36$, извършваме действията и записваме системата в нормален вид:

$$\begin{cases} 3(2y-5x)-2(3x+8y)=6(5x+y) \\[2ex] x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=2xy-4x+2xy+14y \\[2ex] \end{cases} \iff$$

$$\begin{cases} 6y-15x-6x-16y=30x+6y \\[2ex] 4x-14y=0 \\[2ex] \end{cases} \iff$$

$$\begin{cases}51x+16y=0  \\[2ex] 2x-7y=0 .\\[2ex] \end{cases}$$

Лесно се вижда, че единствената наредена двойка числа, която удовлетворява системата е $(0;0)$, но все пак в условието на задачата е записано системата да бъде решена чрез събиране за това ще умножим първото уравнение с $2$, а второто с $-51$ и след това събираме двете уравнения т.е.:
$$\begin{cases}51x+16y=0/.(2)  \\[2ex] 2x-7y=0 /.(-51)\\[2ex] \end{cases}\iff$$

$$\begin{cases}102x+32y=0/.(2)  \\[2ex] -102x+357y=0, /.(-51)\\[2ex] \end{cases}$$

от където имаме $389y=0$ и следователно $y=0$. Сега като заместим, в което и да е от двете уравнения ще получим, че $x=0$. Така за отговор записваме наредената двойка числа $(0;0)$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Решете чрез събиране системата:
$$\begin{cases} 4(3x+2y)+2(2x-5y)=36 \\[2ex] 3(4x-3y)+2(6x+2y)=42. \\[2ex] \end{cases} $$

2. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases}5(5x+2y)+2(3x-4y)=100 \\[2ex] 2(2x-y)+4(4x+3y)=58. \\[2ex] \end{cases} $$

3.  Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} \frac{3x-2y}{5}+\frac{4x+y}{4}=\frac{2(x+y)}{3}+8 \\[2ex] \frac{2x+3y}{2}+\frac{x-y}{2}=5. \\[2ex] \end{cases} $$

4. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} \frac{2x+y}{2}+\frac{3x-2y}{3}=6x+3y \\[2ex] \frac{4x-3y}{4}+\frac{x+2y}{5}=3. \\[2ex] \end{cases} $$

5. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} \frac{5x+2y}{3}+\frac{3x-4y}{5}=18 \\[2ex] \frac{2x-y}{2}+\frac{4x+3y}{4}=10. \\[2ex] \end{cases} $$

6. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} (x-2)^2-(y+3)^2=(x-y)(x+y) \\[2ex] (x-2)(y+4)=xy-9. \\[2ex] \end{cases} $$

7. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} (2x+3)^2+2=(2x+5)(2x-5)-6y \\[2ex] 2(x+y)+x^2=(2+x)^2+3y. \\[2ex] \end{cases} $$

8. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} \frac{2}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{4}+2y\right)=2,8 \\[2ex] \frac{x+5}{5}-\frac{y-3}{-4}=1. \\[2ex] \end{cases} $$

9. Решете чрез събиране системата:

$$\begin{cases} x-y=\frac{\sqrt{6}}{2}(x+y) \\[2ex] (\sqrt{3}-\sqrt{2})x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})y=2. \\[2ex] \end{cases} $$

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: