Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 9 клас › Алгебра › Системи линейни уравнения

Системи линейни уравнения
Метод на събирането

Метод на събирането стъпка по стъпка — 5 разработени задачи (вкл. несъвместима система) и 9 задачи за самостоятелна работа

9 клас Системи уравнения Метод събиране 5 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Привеждане в нормален вид, умножаване на уравнения и събиране за елиминиране на неизвестно

Теория

В миналия урок разгледахме метода на заместването. В този урок ще се спрем на решаването на системи линейни уравнения чрез събиране. Методът включва събиране или изваждане на уравненията, така че да се елиминира едно от неизвестните.

Метод на събирането — стъпки:
1) Привеждаме системата в нормален вид: \(a_1x+b_1y=c_1\), \(a_2x+b_2y=c_2\).
2) Умножаваме (ако е нужно) едното или и двете уравнения с подходящи числа, така че коефициентите пред едното неизвестно в двете уравнения да са противоположни числа.
3) Събираме лявите и десните страни на двете уравнения — едно от неизвестните изчезва.
4) Решаваме полученото линейно уравнение с едно неизвестно.
5) Заместваме намереното неизвестно в кое да е от началните уравнения и намираме другото.
6) Записваме отговора.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Решете чрез събиране: \[\left|\begin{array}{l} x-y=13 \\ x+y=15 \end{array}\right.\]

▼

Решение Коефициентите пред \(y\) са \(-1\) и \(1\) — вече противоположни. Събираме директно: \[x-y+x+y=13+15 \implies 2x=28 \implies x=14.\] Заместваме в второто уравнение: \(14+y=15 \implies y=1\).
Отговор: \((14;\,1)\).

2

Решете чрез събиране: \[\left|\begin{array}{l} 3x-y=11 \\ 8x+3y=1 \end{array}\right.\]

▼

Решение Умножаваме първото уравнение по \(3\), за да получим коефициенти \(-3\) и \(3\) пред \(y\): \[\left|\begin{array}{l} 9x-3y=33 \\ 8x+3y=1 \end{array}\right.\] Събираме: \(17x=34 \implies x=2\). Заместваме в първото: \(3\cdot2-y=11 \implies y=-5\).
Отговор: \((2;\,-5)\).

3

Решете чрез събиране: \[\left|\begin{array}{l} 3(5x-8)=7(y-x)+25 \\ 6x-3(1-y)=2x-4y \end{array}\right.\]

▼

Решение Привеждаме в нормален вид: \[\left|\begin{array}{l} 15x-24=7y-7x+25 \\ 6x-3+3y=2x-4y \end{array}\right. \iff \left|\begin{array}{l} 22x-7y=49 \\ 4x+7y=3 \end{array}\right.\] Коефициентите пред \(y\) са \(-7\) и \(7\). Събираме: \(26x=52 \implies x=2\).
Заместваме в първото начално: \(3(5\cdot2-8)=7(y-2)+25 \implies 6=7y+11 \implies y=-\dfrac{5}{7}\).
Отговор: \(\left(2;\,-\dfrac{5}{7}\right)\).

4

Решете чрез събиране: \[\left|\begin{array}{l} (3x+2y)^2-(2x+3y)^2+4x=5(x-y)(x+y)-3y \\[4pt] \dfrac{4}{5}\!\left(5x-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{2}{3}\!\left(6+\dfrac{9y}{2}\right)=2 \end{array}\right.\]

▼

Решение Разкриваме скобите и привеждаме в нормален вид: \[\left|\begin{array}{l} 4x+3y=0 \\ 4x+3y=-\dfrac{9}{5} \end{array}\right.\] Едното уравнение изисква \(4x+3y=0\), другото \(4x+3y=-\dfrac{9}{5}\) — невъзможно едновременно. Умножаваме първото по \(-1\) и събираме: \(0x+0y=-\dfrac{9}{5}\) — противоречие.
Отговор: \((x;\,y)\in\emptyset\) — системата е несъвместима.

5

Решете чрез събиране: \[\left|\begin{array}{l} \dfrac{2y-5x}{12}-\dfrac{3x+8y}{18}=\dfrac{5x+y}{6} \\[6pt] (x+y)^2-(x-y)^2=2x(y-2)+2y(x+7) \end{array}\right.\]

▼

Решение Привеждаме в нормален вид (общ знаменател 36 за I, разкриване за II): \[\left|\begin{array}{l} 51x+16y=0 \\ 2x-7y=0 \end{array}\right.\] Умножаваме I по \(2\) и II по \(-51\): \[\left|\begin{array}{l} 102x+32y=0 \\ -102x+357y=0 \end{array}\right.\] Събираме: \(389y=0 \implies y=0\). Тогава \(x=0\).
Отговор: \((0;\,0)\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 \[\left|\begin{array}{l} 4(3x+2y)+2(2x-5y)=36 \\ 3(4x-3y)+2(6x+2y)=42 \end{array}\right.\]

Задача 2 \[\left|\begin{array}{l} 5(5x+2y)+2(3x-4y)=100 \\ 2(2x-y)+4(4x+3y)=58 \end{array}\right.\]

Задача 3 \[\left|\begin{array}{l} \dfrac{3x-2y}{5}+\dfrac{4x+y}{4}=\dfrac{2(x+y)}{3}+8 \\[4pt] \dfrac{2x+3y}{2}+\dfrac{x-y}{2}=5 \end{array}\right.\]

Задача 4 \[\left|\begin{array}{l} \dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3x-2y}{3}=6x+3y \\[4pt] \dfrac{4x-3y}{4}+\dfrac{x+2y}{5}=3 \end{array}\right.\]

Задача 5 \[\left|\begin{array}{l} \dfrac{5x+2y}{3}+\dfrac{3x-4y}{5}=18 \\[4pt] \dfrac{2x-y}{2}+\dfrac{4x+3y}{4}=10 \end{array}\right.\]

Задача 6 \[\left|\begin{array}{l} (x-2)^2-(y+3)^2=(x-y)(x+y) \\ (x-2)(y+4)=xy-9 \end{array}\right.\]

Задача 7 \[\left|\begin{array}{l} (2x+3)^2+2=(2x+5)(2x-5)-6y \\ 2(x+y)+x^2=(2+x)^2+3y \end{array}\right.\]

Задача 8 \[\left|\begin{array}{l} \dfrac{2}{5}\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{4}{7}\!\left(\dfrac{1}{4}+2y\right)=2{,}8 \\[4pt] \dfrac{x+5}{5}-\dfrac{y-3}{-4}=1 \end{array}\right.\]

Задача 9 \[\left|\begin{array}{l} x-y=\dfrac{\sqrt{6}}{2}(x+y) \\[4pt] (\sqrt{3}-\sqrt{2})x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})y=2 \end{array}\right.\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Системи линейни уравнения — метод на събирането

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1В метода на събирането умножаваме уравненията, така че пред едно неизвестно да получим:

Равни коефициенти Противоположни коефициенти Нулеви коефициенти

2В Задача 1: защо събираме директно без умножение?

Защото уравненията са прости Защото коефициентите пред \(y\) вече са противоположни (\(-1\) и \(1\)) Защото двете уравнения са еднакви

3В Задача 1: решението е:

\((13;\,15)\) \((14;\,1)\) \((15;\,1)\)

4В Задача 2: с колко умножаваме първото уравнение?

С \(8\) С \(3\) С \(-3\)

5В Задача 2: след събирането получаваме:

\(17y=34\) \(17x=34\) \(17x=11\)

6В Задача 2: решението е:

\((2;\,5)\) \((2;\,-5)\) \((-2;\,5)\)

7В Задача 3: нормалният вид е:

\(22x-7y=49\) и \(4x-7y=3\) \(22x-7y=49\) и \(4x+7y=3\) \(22x+7y=49\) и \(4x+7y=3\)

8В Задача 3: решението е:

\(\left(2;\,\dfrac{5}{7}\right)\) \(\left(2;\,-\dfrac{5}{7}\right)\) \(\left(-2;\,-\dfrac{5}{7}\right)\)

9В Задача 4: нормалният вид е \(4x+3y=0\) и \(4x+3y=-\frac{9}{5}\). Системата е:

Неопределена Несъвместима Съвместима с едно решение

10В Задача 4: отговорът е:

\((0;\,0)\) \((x;\,y)\in\emptyset\) Безброй решения

11В Задача 5: умножаваме I по \(2\) и II по:

\(51\) \(-51\) \(-2\)

12В Задача 5: след събирането получаваме:

\(357y=0\) \(389y=0\) \(102y=0\)

13В Задача 5: решението е:

Безброй решения \((0;\,0)\) Няма решение

14Ако след привеждане двете уравнения са идентични, системата е:

Несъвместима Неопределена (безброй решения) Съвместима с едно решение

15Резултатът \(0x+0y=k\) при \(k\neq 0\) след събиране означава:

\((0;\,0)\) е решение Системата е несъвместима \(x=k\) и \(y=k\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по метода на събирането:

Видео урок — Системи линейни уравнения. Метод на събирането

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆