Системи линейни уравнения с две неизвестни. Решаване на системи линейни уравнения с две неизвестни чрез заместване 9 клас
Системите линейни уравнения намират изключително широко приложение в реалния свят.
Във физиката системи линейни уравнения могат да се използват за моделиране на различни процеси и явления. Например, в електричеството можем да използваме система от уравнения, наречена закони на Кирхоф, за да анализираме сложни електрически вериги.
В механиката можем да използваме системи от линейни уравнения за анализ на сили и моменти в статични и динамични системи. Ако имаме система от три уравнения, които описват равновесие на сили в статична система
$$\begin{cases} 2F_1+2F_2-F_3=0 \\[2ex] F_1-4F_2+2F_3=0 \\[2ex] 3F_1+F_2+5F_3=10, \end{cases}$$
където първото уравнение е равновесие по оста $O_x$, второто по оста $O_y$ и третото по оста $O_z$. След като решим тази система можем да намерим стойностите на силите $F_1$, $F_2$ и $F_3$, които осигуряват равновесие на системата.
В икономиката системите от линейни уравнения се използват за моделиране на икономически взаимодействия и прогнозиране. Например, в моделите на производство и потребление можем да използваме системи от линейни уравнения, които писват връзката между производството на дадена стока и потреблението й. Една проста система от уравнения която описва такава връзка може да изглежда по следният начин
$$\begin{cases} 2x+y=10 \\[2ex] x+3y=15, \\[2ex] \end{cases} $$
където първото уравнение ни дава производство на стоката $x$, а второто уравнение потреблението на стока $y$. Чрез решаването на тази система можем да намерим равновесието на производството и потреблението на стоките $x$ и $y$.
В транспорта и логистиката системите от линейни уравнения могат да се използват за оптимално разпределение на ресурси, като например транспортни маршрути или брой транспортни средства.
Във финансовата сфера системи от линейни уравнения могат да се използват за анализ на финансови потоци и прогнозиране на пазарни трендове. Например, можем да използваме система от линейни уравнения за моделиране на портфейл от инвестиции.
В биоинформатиката системи от линейни уравнения могат да се използват за анализ на генетични данни и моделиране на биологични процеси. Например, можем да използваме система от уравнения, за да определим вероятността за наследяване на дадена генетична характеристика. Нека да разгледаме следната система от линейни уравнения
В транспорта и логистиката системите от линейни уравнения могат да се използват за оптимално разпределение на ресурси, като например транспортни маршрути или брой транспортни средства.
Във финансовата сфера системи от линейни уравнения могат да се използват за анализ на финансови потоци и прогнозиране на пазарни трендове. Например, можем да използваме система от линейни уравнения за моделиране на портфейл от инвестиции.
В биоинформатиката системи от линейни уравнения могат да се използват за анализ на генетични данни и моделиране на биологични процеси. Например, можем да използваме система от уравнения, за да определим вероятността за наследяване на дадена генетична характеристика. Нека да разгледаме следната система от линейни уравнения
$$\begin{cases} 0,5x+0,3y=0,8 \\[2ex] 0,2x+0,4y=0,6. \\[2ex] \end{cases} $$
където първото уравнение е вероятност за наследяване от родител $x$, а второто уравнение е вероятност за наследяване от родител $y$. Решаването на тази система може да ни даде информация за вероятността за наследяване на генетичната характеристика от родителите.
Това са само една много малка част от приложението на системите линейни уравнения в различни сфери от живота. Ето защо е важно тяхното изучаване и по-специално методите за тяхното решаване.
Това са само една много малка част от приложението на системите линейни уравнения в различни сфери от живота. Ето защо е важно тяхното изучаване и по-специално методите за тяхното решаване.
В този урок ще разгледаме решаването на системи линейни равнения с две неизвестни прилагайки два метода: чрез заместване и чрез събиране. Нека преди това да се запознаем с понятието система от линейни уравнения.
Система от линейни уравнения с две неизвестни има вида:
където $x$ и $y$ са неизвестни, а $a_1,a_2,b_1$ и $b_2$ са дадени коефициенти.
За да решим една система от линейни уравнения с две неизвестни чрез заместване ще следваме следните стъпки:
За да решим една система от линейни уравнения с две неизвестни чрез заместване ще следваме следните стъпки:
1) Изразяваме едно от неизвестните $x$ или $y$ от едно от уравненията.
2) Заместваме полученият от стъпка 1) израз за $x$ или $y$ в другото уравнение.
3) Решаваме полученото линейно уравнение уравнение в което неизвестното вече е само едно (само $x$ или само $y$)
4) Връщаме се към първото уравнение за да намерим стойността на другото неизвестно.
Нека отбележим, че решението на една от линейни уравнения с две неизвестни (ако има такива) е наредена двойка от числа $(m;n)$ такива, че като ги поставим на мястото на $x$ и $y$ в двете уравнения на системата ги превръща във верни числови равенства.
2) Заместваме полученият от стъпка 1) израз за $x$ или $y$ в другото уравнение.
3) Решаваме полученото линейно уравнение уравнение в което неизвестното вече е само едно (само $x$ или само $y$)
4) Връщаме се към първото уравнение за да намерим стойността на другото неизвестно.
Нека отбележим, че решението на една от линейни уравнения с две неизвестни (ако има такива) е наредена двойка от числа $(m;n)$ такива, че като ги поставим на мястото на $x$ и $y$ в двете уравнения на системата ги превръща във верни числови равенства.
Определение 1: Две системи линейни уравнения се наричат равносилни или още еквивалентни, ако имат едни и същи решения или и двете нямат решение.
Определение 2: Една система линейни уравнения се нарича съвместима, ако има поне едно решение.
Определение 3: Една система линейни уравнения се нарича несъвместима, ако няма решение.
Определение 4: Една система линейни уравнения се нарича неопределена, ако има безброй много решения.
Определение 2: Една система линейни уравнения се нарича съвместима, ако има поне едно решение.
Определение 3: Една система линейни уравнения се нарича несъвместима, ако няма решение.
Определение 4: Една система линейни уравнения се нарича неопределена, ако има безброй много решения.
1 Задача Решете чрез заместване системата:
$$\begin{cases} 2x+3y=12 \\[2ex] x-y=1. \\[2ex] \end{cases} $$
$$\begin{cases} 2x+3y=12 \\[2ex] x-y=1. \\[2ex] \end{cases} $$
Решение: Забелязваме, че от второто уравнение $x-y=1$ можем да изразим едно от двете неизвестни много лесно, например можем да кажем, че $x=1+y$ или пък $y=x-1$ (кое от двете ще предпочетем няма абсолютно никакво значение). Да речем, че се спираме на варианта $x=1+y$. Сега навсякъде в първото уравнение където имаме $x$ го заместваме с израза $1+y$. Така получаваме уравнението $2(1+y)+3y=12$, в което неизвестното вече е само едно и ние можем лесно да го решим, така имаме $2+2y+3y=12\iff 5y=10$ и следователно $y=2$. Сега се връщаме в уравнението за $x$ т.е. $x=1+y$, и следователно $x=1+2=3$. Таза намираме, че решението на тази система линейни уравнения е наредената двойка $(3;2)$. С бърза проверка (наум) всеки може да установи, че ако заместим $x$ и $y$ съответно с $3$ и $2$ в двете уравнения ще получим верни числови равенства. Също така е важно да отбележим и защо е удачно да изразим $x$ или $y$ от второто уравнение, но не казахме нищо за първото. Едно от двете неизвестни можем да изразим и от първото уравнение например $x=\frac{12-3y}{2}$ или $y=\frac{12-2x}{3}$ и да заместим с него във второто, но в този случай бихме имали знаменател и това би ни създало малко повече неудобства (ако в този случай изразим $y$ чрез $x$ и заместим във второто уравнение бихме получили за решаване уравнението $x-\frac{12-2x}{3}=1$ ).
2 Задача Решете чрез заместване системата:
$$\begin{cases} 2x+y=5 \\[2ex] x-y=3. \\[2ex] \end{cases} $$
Решение: От второто уравнение лесно можем да изразим $x$ чрез $y$, като прехвърлим неизвестното $y$ отдясно на знака за равенство, така получаваме, че $x=3+y$. Сега заместваме в първото уравнение $x$ с $3+y$ и получаваме уравнението $2(3+y)+y=5$ (линейно уравнение с неизвестно $y$). Сега го решаваме $6+2y+y=5\iff 3y=-1$, от където намираме, че $y=-\frac{1}{3}$. Така с получената стойност за $y$ заместваме в уравнението $x=3+y$ и намираме, че $x=3-\frac{1}{3}$ и следователно $x=\frac{8}{3}$. За отговор записваме наредената двойка числа $\left ( \frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right )$.
3 Задача Решете чрез заместване системата:
$$\begin{cases} 3x-2y=4 \\[2ex] 4x+y=9. \\[2ex] \end{cases} $$
Решение: Изразяваме от второто уравнение неизвестното $y$ чрез $x$ и така получаваме, че $y=9-4x$. Сега заместваме в първото уравнение $y$ с $9-4x$ и получаваме уравнението $3x-2(9-4x)=4\iff 3x-18+8x=4$
$\iff 11x=22$ от където намираме, че $x=2$. Сега остава да намерим и неизвестното $y$ като заменим $x$ с $2$ т.е. $y=9-4.2=1$. За отговор записваме наредената двойка числа $(2;1)$.
4 Задача Намерете стойностите на параметрите $a$ и $b$, така че наредената двойка числа $(4;-2)$ да е решение на системата:
$$\begin{cases} \frac{a+x}{3}-\frac{y-b}{2}=\frac{x+y}{6} \\[2ex] (a+b)x=3a-2by. \\[2ex] \end{cases} $$
$$\begin{cases} \frac{a+x}{3}-\frac{y-b}{2}=\frac{x+y}{6} \\[2ex] (a+b)x=3a-2by. \\[2ex] \end{cases} $$
Решение: За да бъде решение на системата наредената двойка $(4;-2)$ трябва, след като заменим $x$ и $y$ в двете уравнения на системата съответно с $4$ и $-2$ да получим верни числови равенства. Така получаваме нова система, в която неизвестните ще бъдат параметрите $a$ и $b$ и след нейното решаване ще получим и исканите в условието на задачата стойности (ако има решение). Следователно имаме системата
$$\begin{cases} \frac{a+4}{3}-\frac{-2-b}{2}=\frac{4-2}{6} \\[2ex] (a+b)4=3a-2b(-2)\\[2ex]\end{cases}\iff$$
$$\begin{cases} \frac{a+4}{3}-\frac{-(2+b)}{2}=\frac{1}{3} \\[2ex] 4a+4b=3a+4b\\[2ex]\end{cases}\iff$$
$$\begin{cases} \frac{a+4}{3}+\frac{2+b}{2}=\frac{1}{3} \\[2ex] a=0.\\[2ex]\end{cases}$$
Сега заместваме с $a=0$ в първото уравнение и получаваме
$8+3(2+b)=2\iff 8+6+3b=2$ и следователно $b=-4$. Така намерихме, че решението на системата за $a$ и $b$ е наредената двойка числа $(0;-4)$ и следователно търсените стойности на параметрите $a$ и $b$ са $a=0$ и $b=-4$.
Сега заместваме с $a=0$ в първото уравнение и получаваме
$8+3(2+b)=2\iff 8+6+3b=2$ и следователно $b=-4$. Така намерихме, че решението на системата за $a$ и $b$ е наредената двойка числа $(0;-4)$ и следователно търсените стойности на параметрите $a$ и $b$ са $a=0$ и $b=-4$.
5 Задача Решете системата:
$$\begin{cases} |x+2y|=7 \\[2ex] x+7y=-2. \\[2ex] \end{cases} $$
$$\begin{cases} |x+2y|=7 \\[2ex] x+7y=-2. \\[2ex] \end{cases} $$
Решение: Забелязваме, че от второто уравнение на дадената система можем да изразим неизвестното $x$ чрез $y$, т.е. $x=-2-7y$. Сега заместваме в първото уравнение $x$ с $-2-7y$ и получаваме уравнението $|-2-7y+2y|=7$. Последното уравнение е модулно уравнение от вида $|ax+b|=c$ и повече за неговото решаване може да намерите тук. Така имаме:
$|-2-7y+2y|=7$
$|-2-5y|=7$
$-2-5y=7\cup -2-5y=-7$
$|-2-7y+2y|=7$
$|-2-5y|=7$
$-2-5y=7\cup -2-5y=-7$
$-5y=9\cup -5y=-5$
$y_1=-\frac{9}{5}\cup y_2=1$.
Сега се връщаме и за всяко $y$ намираме и съответното му $x$, така при $y=-\frac{9}{5}$ за $x$ имаме $x=-2-7\left(-\frac{9}{5}\right)$, следователно $x=\frac{53}{5}$. Така намираме първата наредена двойка, която е решение на системата $\left(\frac{53}{5};-\frac{9}{5}\right)$. При $y=1$ за $x$ получаваме, че $x=-2-7.1=-9$. От тука намираме и втората наредена двойка числа, която е решение на системата $(-9;1)$.
6 Задача Решете системата:
$$\begin{cases} x-y+2z=2 \\[2ex] 2x+5y+3z=-5 \\[2ex] x-2y+4z=7.\\[2ex] \end{cases} $$
Решение: Забелязваме, че например от първото уравнение можем да изразим неизвестното $x$ чрез $y$ и $z$. Така получаваме, че $x=y-2z+2$. Сега заместваме във второто и третото уравнение $x$ с $y-2z+2$ и получаваме системата
$$\begin{cases} x=y-2z+2 \\[2ex] 2(y-2z+2)+5y+3z=-5 \\[2ex] y-2z+2-2y+4z=7.\\[2ex] \end{cases}$$
Във второто и третото уравнение вече имаме само две неизвестни и можем да ги обособим, като нова система само че с две уравнения и две неизвестни, така получаваме
$$\begin{cases} 2y-4z+4+5y+3z=-5 \\[2ex] -y+2z=5\\[2ex] \end{cases}\iff$$
$$\begin{cases} 2y-4z+4+5y+3z=-5 \\[2ex] -y+2z=5\\[2ex] \end{cases}\iff$$
$$\begin{cases} 7y-z=-9 \\[2ex] y=2z-5.\\[2ex] \end{cases}$$
Сега заместваме $y$ с $2z-5$ в първото уравнение и получаваме $7(2z-5)-z=-9$ и след решаването на това уравнение намираме, че $z=2$. Тогава $y=2.2-5=-1$ и накрая $x=-1-2.2+2=-3$. Така за решение получаваме наредената тройка числа $(-3;-1;2)$.
Задачи за самостоятелна работа:
1. Решете системите линейни уравнения чрез заместване:
а) $$\begin{cases} 2x+3y=8 \\[2ex] x-2y=-3;\\[2ex] \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 4x-2y=10 \\[2ex] 3x+y=7;\\[2ex] \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} x+y+z=6 \\[2ex] 2x-3y+2z=-1\\[2ex] 3x-2y-3z=7;\\[2ex] \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} 2x+y-z=4 \\[2ex] x-3y+2z=0\\[2ex] 3x+2y-4z=1;\\[2ex] \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} x+y=2 \\[2ex] 5(x-3)-3(x-y)=-9,5;\\[2ex] \end{cases}$$
e) $$\begin{cases} \frac{x+2y}{9}=2 \\[2ex] \frac{x}{2}+\frac{y}{5}=1;\\[2ex] \end{cases}$$
ж) $$\begin{cases} 4x(x+2)-(2x-1)^2=y\\[2ex] (y-3)(y+3)=y(y+7)-14x-4.\\[2ex] \end{cases}$$
2. Равносилни ли са системите:
$$\begin{cases} 4x+5y=11 \\[2ex] x-y=5\\[2ex] \end{cases}$$ и
$$\begin{cases} 4x-5y=11 \\[2ex] 2x+y=9.\\[2ex] \end{cases}$$
$$\begin{cases} 4x+5y=11 \\[2ex] x-y=5\\[2ex] \end{cases}$$ и
$$\begin{cases} 4x-5y=11 \\[2ex] 2x+y=9.\\[2ex] \end{cases}$$
3. Решете системата:
$$\begin{cases} 5y-x=-9 \\[2ex] |x+4y|=9.\\[2ex] \end{cases}$$
$$\begin{cases} 5y-x=-9 \\[2ex] |x+4y|=9.\\[2ex] \end{cases}$$
Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу:
Коментари
Публикуване на коментар