Квадратна функция и графиката й. Растене, намаляване, най-голяма и най-малка стойност на квадратна функция 9 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 9 клас › Алгебра › Квадратна функция
Квадратна функция
Парабола, минимум и максимум
Определение, парабола, ос на симетрия, връх, минимум и максимум в затворен интервал — 6 разработени задачи и 11 задачи за самостоятелна работа
Графика — парабола, ос на симетрия и връх; намиране на минимум и максимум в затворен интервал в три случая
Теория
Определение 1: Функция от вида \(f(x)=ax^2+bx+c\), където \(a\neq 0\), се нарича квадратна функция.
Графиката на квадратната функция е парабола, симетрична относно оста на симетрия — вертикална права, минаваща през \(x\)-координатата на върха. Във върха функцията достига своята най-малка или най-голяма стойност.
Наклон на параболата:
• \(a>0\) → параболата е отворена нагоре (пример: \(f(x)=x^2\)).
• \(a<0\) → параболата е отворена надолу (пример: \(f(x)=-x^2\)).
• \(a>0\) → параболата е отворена нагоре (пример: \(f(x)=x^2\)).
• \(a<0\) → параболата е отворена надолу (пример: \(f(x)=-x^2\)).
Връх и ос на симетрия:
\[V:\left(-\frac{b}{2a},\; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right).\]
Оста на симетрия: \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Минимум и максимум:
• \(a>0\) → функцията има минимум \(f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\).
• \(a<0\) → функцията има максимум \(f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\).
• \(a>0\) → функцията има минимум \(f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\).
• \(a<0\) → функцията има максимум \(f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\).
Намиране на НМС и НГС в затворен интервал \([m;n]\):
Нека \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
Случай 1: \(m\lt n\lt x_0\) (интервалът е изцяло вляво от върха):
При \(a>0\): \(f(m)=f_{\text{НГС}}\), \(f(n)=f_{\text{НМС}}\); при \(a<0\): \(f(m)=f_{\text{НМС}}\), \(f(n)=f_{\text{НГС}}\).
Случай 2: \(m\lt x_0\lt n\) (върхът е вътре в интервала):
При \(a>0\): \(f(x_0)=f_{\text{НМС}}\), \(f_{\text{НГС}}=\max\{f(m),f(n)\}\); при \(a<0\): \(f(x_0)=f_{\text{НГС}}\), \(f_{\text{НМС}}=\min\{f(m),f(n)\}\).
Случай 3: \(x_0\lt m\lt n\) (интервалът е изцяло вдясно от върха):
При \(a>0\): \(f(m)=f_{\text{НМС}}\), \(f(n)=f_{\text{НГС}}\); при \(a<0\): \(f(m)=f_{\text{НГС}}\), \(f(n)=f_{\text{НМС}}\).
Нека \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
Случай 1: \(m\lt n\lt x_0\) (интервалът е изцяло вляво от върха):
При \(a>0\): \(f(m)=f_{\text{НГС}}\), \(f(n)=f_{\text{НМС}}\); при \(a<0\): \(f(m)=f_{\text{НМС}}\), \(f(n)=f_{\text{НГС}}\).
Случай 2: \(m\lt x_0\lt n\) (върхът е вътре в интервала):
При \(a>0\): \(f(x_0)=f_{\text{НМС}}\), \(f_{\text{НГС}}=\max\{f(m),f(n)\}\); при \(a<0\): \(f(x_0)=f_{\text{НГС}}\), \(f_{\text{НМС}}=\min\{f(m),f(n)\}\).
Случай 3: \(x_0\lt m\lt n\) (интервалът е изцяло вдясно от върха):
При \(a>0\): \(f(m)=f_{\text{НМС}}\), \(f(n)=f_{\text{НГС}}\); при \(a<0\): \(f(m)=f_{\text{НГС}}\), \(f(n)=f_{\text{НМС}}\).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Намерете координатите на върха на квадратната функция \(f(x)=2x^2+8x+7\).
▼
Решение
\[x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{4}=-2;\quad f(-2)=2(-2)^2+8(-2)+7=8-16+7=-1.\]
Отговор: Върхът е \(V(-2;\,-1)\). Оста на симетрия: \(x=-2\).
2
Намерете координатите на върха, пресечните точки с \(O_x\) и \(O_y\) на \(f(x)=-x^2+6x-8\). Нагоре или надолу е параболата? Начертайте.
▼
Решение
\[x_V=-\frac{6}{-2}=3;\quad f(3)=-(9)+18-8=1 \implies V(3;\,1),\quad x=3 \text{ — ос на симетрия}.\]
Тъй като \(a=-1<0\), параболата е отворена надолу.
Пресечни точки с \(O_x\) (\(f(x)=0\)): \(-x^2+6x-8=0\), \(D=36-32=4\), \(x_{1,2}=\dfrac{-6\pm2}{-2}\) → \(x_1=4,\; x_2=2\). Точки: \((4;0)\) и \((2;0)\).
Пресечна точка с \(O_y\) (\(x=0\)): \(f(0)=-8\). Точка: \((0;-8)\).
Графиката:
Пресечни точки с \(O_x\) (\(f(x)=0\)): \(-x^2+6x-8=0\), \(D=36-32=4\), \(x_{1,2}=\dfrac{-6\pm2}{-2}\) → \(x_1=4,\; x_2=2\). Точки: \((4;0)\) и \((2;0)\).
Пресечна точка с \(O_y\) (\(x=0\)): \(f(0)=-8\). Точка: \((0;-8)\).
Графиката:
3
Намерете НМС и НГС на \(f(x)=x^2-4x+3\) в интервала \([0;\,5]\).
▼
Решение
\(x_V=\dfrac{4}{2}=2\). Тъй като \(0<2<5\) → Случай 2, \(a=1>0\).
\[f(2)=4-8+3=-1 \implies f_{\text{НМС}}=-1.\]
\[f(0)=3;\quad f(5)=25-20+3=8 \implies f_{\text{НГС}}=f(5)=8.\]
4
Намерете НМС и НГС на \(f(x)=x^2+4x+1\) в интервала \([-1;\,3]\).
▼
Решение
\(x_V=-\dfrac{4}{2}=-2\). Тъй като \(-2<-1<3\) → Случай 3, \(a=1>0\).
\[f(-1)=1-4+1=-2 \implies f_{\text{НМС}}=-2;\quad f(3)=9+12+1=22 \implies f_{\text{НГС}}=22.\]
5
Намерете НМС и НГС на \(f(x)=-x^2+8x+3\) в интервала \([1;\,3]\).
▼
Решение
\(x_V=-\dfrac{8}{-2}=4\). Тъй като \(4>3>1\) → Случай 1, \(a=-1<0\).
\[f(1)=-1+8+3=10 \implies f_{\text{НМС}}=10;\quad f(3)=-9+24+3=18 \implies f_{\text{НГС}}=18.\]
6
При проектиране на мост над река функцията, описваща формата му, е \(f(x)=-0{,}1x^2+4x\), където \(f(x)\) е височината в метри, а \(x\) е разстоянието от началото в метри. Намерете максималната височина на моста.
▼
Решение
Тъй като \(a=-0{,}1<0\), параболата е отворена надолу — максимумът е в върха:
\[x_V=-\frac{4}{2\cdot(-0{,}1)}=-\frac{4}{-0{,}2}=20.\]
\[f(20)=-0{,}1\cdot400+4\cdot20=-40+80=40 \text{ м}.\]
Отговор: Максималната височина на моста е \(40\) метра.
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Нека е дадена \(f(x)=2x^2-3x+1\). Намерете:
а) стойността при \(x=2\); б) пресечните точки с \(O_x\) и \(O_y\); в) координатите на върха.
а) стойността при \(x=2\); б) пресечните точки с \(O_x\) и \(O_y\); в) координатите на върха.
Задача 2Нека е дадена \(f(x)=x^2+4x-5\). Намерете:
а) стойността при \(x=-2\); б) пресечните точки с \(O_x\) и \(O_y\); в) координатите на върха.
а) стойността при \(x=-2\); б) пресечните точки с \(O_x\) и \(O_y\); в) координатите на върха.
Задача 3Дадена е \(f(x)=x^2-6x+9\). Намерете НМС и НГС, използвайки свойствата на графиката.
Задача 4Дадена е \(f(x)=-2x^2+8x-5\) в \([1;\,4]\). Намерете НМС и НГС.
Задача 5Дадена е \(f(x)=x^2+4x-3\) в \([-2;\,-2]\). Намерете НМС и НГС.
Задача 6Дадена е \(f(x)=-3x^2+12x-8\) в \([0;\,5]\). Намерете НМС и НГС.
Задача 7Дадена е \(f(x)=2x^2-4x+6\) в \([-3;\,3]\). Намерете НМС и НГС.
Задача 8Ракета се изстрелва и се движи по траектория \(f(x)=-2x^2+4x+3\), където \(x\) е времето в секунди, а \(f(x)\) е височината в метри. Намерете максималната височина и момента, в който е достигната.
Задача 10Графиката на \(f(x)=9x^2+bx+c\) е симетрична относно ординатната ос и минава през \((1;\,5)\). Намерете \(b\) и \(c\) и НМС в: а) \(\left[-1\tfrac{1}{3};\,-1\right]\); б) \([10;\,15]\); в) \([-5;\,7]\).
Задача 11Намерете стойностите на параметъра \(a\), за които НМС на \(y=ax^2+(a+1)x-\dfrac{2}{3}\) е \(-2\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Квадратна функция
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по квадратна функция:
Видео урок — Квадратна функция. Минимум и максимум. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар