Квадратна функция и графиката й. Растене, намаляване, най-голяма и най-малка стойност на квадратна функция 9 клас
Определение 1: Функция от вида $f(x)=ax^2+bx+c$, където $a\neq 0$ се нарича квадратна функция.
Графиката на квадратната функция е парабола, която е симетрична относно ос, която се нарича ос на симетрия. Оста на симетрията е права, която минава през $x$ координатата на върха на параболата. От своя страна във върха на параболата квадратната функция достига своята най-голяма или най-малка стойност.
Ако коефициентът $a>0$, параболата е отворена нагоре. Следващият чертеж илюстрира този случай. Това е графиката на функцията $f(x)=x^2$ (a=1>0).
Ако пък коефициентът $a<0$, тогава параболата е отворена надолу. Следващият чертеж ни показва и този случай. Това е графиката на функцията $f(x)=-x^2$ (a=-1<0).
Така вече ясно можем да кажем, че например графиката на функцията $f(x)=4x^2-3x-1$ е парабола, която е отворена нагоре, защото $a=4>0$, както и разбира се, ако имаме функцията $f(x)=-3x^2-4x-1$ за нея можем да твърдим, че графиката й е парабола, която е отворена надолу, защото $a=-3<0$.
За да намерим върха на параболата можем да използваме формулата $V:\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{a}\right)\right)$.
Координатата по $x$ на нейния връх ни дава и оста на симетрия на параболата. Тя представлява вертикална права, която минава през координатата по $x$ на върха и нейното уравнение е $x=-\frac{b}{2a}$.
1 Задача Намерете координатите на върха на квадратната функция $f(x)=2x^2+8x+7$.
1 Задача Намерете координатите на върха на квадратната функция $f(x)=2x^2+8x+7$.
Решение: Координатата по $O_x$ на върха е $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{4}=-2$. Координатата по $O_y$ на върха е $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=f(-2)=2(-2)^2+8(-2)+7=-1$. Следователно координатите на върха са $(-2,-1)$, а правата $x=-2$ е ос на симетрия за тази парабола.
2 Задача Намерете координатите на върха, пресечните точки с оста $O_x$ на графиката на квадратната функция $f(x)=-x^2+6x-8$. Нагоре или надолу е отворена параболата? Начертайте графиката на тази функция.
Решение: Координатата по $O_x$ на върха е $-\frac{b}{2a}=\frac{-6}{2(-1)}=\frac{-6}{-2}=3$. Координатата на върха по $O_y$ е $y=f(3)=-(3)^2+6.3-8=1$. Следователно координатите на върха са $(3;1)$, а оста на симетрия е $x=3$.
Пресечните точки на графиката на разглежданата функция с $O_x$ ще намерим като решим уравнението $y=f(x)=0$, т.е. $-x^2+6x-8=0$. Пресмятаме дискриминантата $D=6^2-4(-1)(-8)=36-32=4$. Сега намираме и корените на това уравнение $x_{1,2}=\frac{-6\pm 2}{-2}$ от където $x_1=4$, а $x_2=2$ (повече за решаването на квадратни уравнения може да видите тук), следователно пресечните точки с оста $O_x$ са $(4;0)$ и $(2;0)$. Сега за да намерим координатите на пресечната точка с оста $O_y$ вземаме $x=0$ и заместваме във функцията, така получаваме $y=-0^2+6.0-8$ и следователно $y=-8$, т.е. координатите на търсената точка са $(0;-8)$.
Тъй като старшият коефициент пред $x^2$ е равен на $-1$ от казаното по-горе следва, че графиката на тази функция е парабола, която е отворена надолу. Сега като вземем в предвид цялостната информация, която получихме не е трудно да начертаем и графиката на тази функция, която изглежда така:
Най-голямата стойност на квадратната функция се нарича максимум. Той също зависи от знака на старшия коефициент $a$. Ако $a$ е отрицателно число функцията има максимум и той се достига при $x=-\frac{b}{2a}$. Например, ако имаме функцията $f(x)=-x^2+2x+1$, то най-голямата стойност (максимумът ) й ще е $f(1)=2$, както се вижда и от графиката й:
Когато търсим най-малка и най-голяма стойност на квадратна функция в затворен интервал $[m;n]$ извършваме следното:
1) Ако $m<n<-\frac{b}{2a}$, т.е. затвореният интервал $[m;n]$ е преди числото $-\frac{b}{2a}$, то:
При $a>0$ $f(m)=f_{НГС}$, а $f(n)=f_{НМС}$.
При $a<0$ $f(m)=f_{НМС}$, а $f(n)=f_{НГС}$.
1) Ако $m<n<-\frac{b}{2a}$, т.е. затвореният интервал $[m;n]$ е преди числото $-\frac{b}{2a}$, то:
При $a>0$ $f(m)=f_{НГС}$, а $f(n)=f_{НМС}$.
При $a<0$ $f(m)=f_{НМС}$, а $f(n)=f_{НГС}$.
2) Ако $m<-\frac{b}{2a}<n$, то:
При $a>0$ $f(-\frac{b}{2a})=f_{НМС}$, а най-голямата й стойност е по-голямото от двете числа $f(m)$ и $f(n)$.
При $a<0$ $f(-\frac{b}{2a})=f_{НГС}$, а най-малката й стойност е по-малкото от двете числа $f(m)$ и $f(n)$.
При $a>0$ $f(-\frac{b}{2a})=f_{НМС}$, а най-голямата й стойност е по-голямото от двете числа $f(m)$ и $f(n)$.
При $a<0$ $f(-\frac{b}{2a})=f_{НГС}$, а най-малката й стойност е по-малкото от двете числа $f(m)$ и $f(n)$.
3) Ако $-\frac{b}{2a}<p<q$, то:
При $a>0$ $f(m)=f_{НМС}$, а $f(n)=f_{НГС}$.
При $a>0$ $f(m)=f_{НМС}$, а $f(n)=f_{НГС}$.
При $a<0$ $f(m)=f_{НГС}$, а $f(n)=f_{НМС}$.
Да разгледаме следващите няколко примера:
3 Задача Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията $f(x)=x^2-4x+3$ в интервала $[0;5]$.
Решение: За да преценим в кой от трите по-горе случай се намираме трябва да намерим координатата по оста $O_x$ на върха на параболата т.е. $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-4)}{2.1}=2$. Тъй като числото $2$ e между числата $0$ и $5$ следва че се намираме във вторият случай. Тъй като за нас $a=1>0$ следва, че $f(2)=f_{НМС}=2^2-4.2+3=-1$ а най-голямата й стойност е по-голямото от двете числа $f(0)=0^2-4.0+3=3$ или $f(5)=5^2-4.5+3=8$. Следователно $f_{НГС}=f(5)=8$.
Да разгледаме следващите няколко примера:
3 Задача Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията $f(x)=x^2-4x+3$ в интервала $[0;5]$.
Решение: За да преценим в кой от трите по-горе случай се намираме трябва да намерим координатата по оста $O_x$ на върха на параболата т.е. $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-4)}{2.1}=2$. Тъй като числото $2$ e между числата $0$ и $5$ следва че се намираме във вторият случай. Тъй като за нас $a=1>0$ следва, че $f(2)=f_{НМС}=2^2-4.2+3=-1$ а най-голямата й стойност е по-голямото от двете числа $f(0)=0^2-4.0+3=3$ или $f(5)=5^2-4.5+3=8$. Следователно $f_{НГС}=f(5)=8$.
4 Задача Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията $f(x)=x^2+4x+1$ в интервала $[-1;3]$.
Решение: За да преценим в кой от трите по-горе случай се намираме трябва да намерим координатата по оста $O_x$ на върха на параболата т.е. $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(4)}{2.1}=-2$. Тъй като числото $-2$ e по-малко от числата $-1$ и $3$ следва, че се намираме в третия случай. Тъй като за нас $a=1>0$ следва, че $f(-1)=(-1)^2+4(-1)+1=f_{НМС}=-2$ а най-голямата й стойност е $f(3)=3^2+4.3+1=f_{НГС}=22$.
5 Задача Да се намери най-голямата и най-малката стойност на функцията $f(x)=-x^2+8x+3$ в интервала $[1;3]$.
Решение: За да преценим в кой от трите по-горе случай се намираме трябва да намерим координатата по оста $O_x$ на върха на параболата т.е. $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{(8)}{2.(-1)}=4$. Тъй като числото $4$ e по-голямо от числата $1$ и $3$ следва, че се намираме в първия случай. Тъй като за нас $a=-1<0$ следва, че $f(1)=-1^2+8(1)+3=f_{НМС}=10$ а най-голямата й стойност е $f(3)=-3^2+8.3+3=f_{НГС}=18$.
6 Задача При проектиране на мост над река трябва да се определи максималната му височина, за да се осигури достатъчно място за преминаването на плавателни съдове по реката, които да минават свободно под моста. Функцията, описваща формата на моста, е $f(x)=-0,1x^2+4x$, където $f(x)$ e височината на моста в метри, а $x$ е разстоянието в метри от началото на моста. Намерете каква е максималната височина на моста.
Решение: За да намерим максималната височина на моста, трябва да намерим върха на параболата, описваща функцията $f(x)$. Понеже функцията е квадратна и $a<0$ то следва, че тя е обърната с върха нагоре и координатата на върха по $x$ е $x=-\frac{b}{2a}$, следователно $x=\frac{-4}{2.(0,1)}=20$. За да намерим и максималната височина на моста трябва да пресметнем $f(20)=-0,1.20^2+4.20=-0,1.400+80=40$. Така получихме, че максималната височина на моста е $40$ метра.
Задачи за самостоятелна работа:
1. Нека е дадена квадратната функция $f(x)=2x^2-3x+1$. Намерете:
а) стойността на функцията при $x=2$;
б) пресечните точки на графиката на $f(x)$ с оста $O_x$ и $O_y$;
в) координатите на върха на параболата на функцията $f(x)$.
2. Нека е дадена квадратната функция $f(x)=x^2+4x-5$. Намерете:
а) стойността на функцията при $x=-2$;
2. Нека е дадена квадратната функция $f(x)=x^2+4x-5$. Намерете:
а) стойността на функцията при $x=-2$;
б) пресечните точки на графиката на $f(x)$ с оста $O_x$ и $O_y$;
в) координатите на върха на параболата на функцията $f(x)$.
3. Дадена е квадратната функция $f(x)=x^2-6x+9$. Намерете най-малката и най-голямата й стойност, като използвате свойствата на графиката й.
4. Дадена е функцията $f(x)=-2x^2+8x-5$ в затворения интервал $[1;4]$. Намерете най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ в този интервал.
5. Дадена е функцията $f(x)=x^2+4x-3$ в затворения интервал $[-2;-2]$. Намерете най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ в този интервал.
5. Дадена е функцията $f(x)=x^2+4x-3$ в затворения интервал $[-2;-2]$. Намерете най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ в този интервал.
6. Дадена е функцията $f(x)=-3x^2+12x-8$ в затворения интервал $[0;5]$. Намерете най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ в този интервал.
7. Дадена е функцията $f(x)=2x^2-4x+6$ в затворения интервал $[-3;3]$. Намерете най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ в този интервал.
8. Една ракета се изстрелва от земята и се движи по параболична траектория, описвана от квадратната функция $f(x)=-2x^2+4x+3$, където $x$ представлява времето в секунди от изстрелването, а $f(x)$ е височината на ракетата в метри в момента $x$. Намерете максималната височина, на която се е издигнала ракетата и момента в който е станало това.
10. Графиката на функцията $f(x)=9x^2+bx+c$ е симетрична относно ординатната ос и минава през точката с координати $(1;5)$. Намерете коефициентите $b$ и $c$ и най-малката стойност на функцията в интервала:
а) $\left [ -1\frac{1}{3};-1\right ]$; б) $[10;15]$; в) $[-5;7]$.
а) $\left [ -1\frac{1}{3};-1\right ]$; б) $[10;15]$; в) $[-5;7]$.
11. Намерете стойностите на параметъра $a$, за които най-малката стойност на функцията $y=ax^2+(a+1)x-\frac{2}{3}$ е $-2$.
Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу:
Коментари
Публикуване на коментар