Функция, дефиниционно множество на функция. Начини на задаване на функции 9 клас

Понятието функция е едно от най-фундаменталните в цялата математика. С помощта на функциите можем да моделираме ситуации от реалния живот.

Нека да разгледаме добре познатата формула $S=V.t$, където $S$ е изминатият път, $V$ е скоростта, а $t$ е времето. Така се оказва, че пътят $S$ е функция на две променливи - $V$ и $t$ (тъй като $S$ зависи от $V$ и $t$). Тази формула ни дава връзката между трите величини $V$, $t$ и $S$. 

Нека си представим един правоъгълник със страни $a$ и $b$. Ясно е, че неговият периметър можем да пресметнем по формулата $P_{ABCD}=2a+2b$. Тази формула моделира връзката между периметъра, дължината и широчината на правоъгълника. Тъй като $P_{ABCD}$ се определя от стойностите на $a$ и $b$ казваме, че $P_{ABCD}$ е функция на $a$ и $b$.

Определение 1: Ако на всяко число $x$ от едно числово множество по определено правило (закон) съпоставим единствено число $y$, казваме, че е зададена числова функция. 

Числото $x$ ще наричаме аргумент или още независима променлива, а числото $y$ - зависима променлива. Функция ще записваме по следният начин $y=f(x)$, където $f$ е правилото, по което на стойностите на аргумента $x$ съпоставяме стойностите на зависимата променлива $y$.

Множеството от стойности, които може да приема независимата променлива се нарича дефиниционна област (може да се срещне още като дефиниционно множество, допустими стойности), а множеството от стойностите на функцията, които се получават за аргумента се нарича множество от функционалните стойности.

Определение 2: Множеството от всички точки в координатната равнина с координати $(x;f(x)=y)$ за $x\in D$ ($D$-дефиниционна област на $f(x)$), се нарича графика на функцията $y=f(x)$.

Една функция може да бъде зададена по няколко начина:

1) чрез нейната графика - тогава казваме, че сме задали функцията графично, например:

2) чрез формула - казваме, че сме задали функцията аналитично, например:

 $y=f(x)=2x-1$

3) чрез таблица - казваме, че сме задали функцията таблично, например:

4) чрез думи - казваме, че сме задали функцията описателно, например:

"$n$-тата стойност на аргумента е $n$-тото просто число".

Определение 3: Нека е дадена функцията $f(x)$, като $x\in D$, а $f(x)\in Y$. Ще казваме, че функцията $f(x)$ е монотонно растяща (още се казва ненамаляваща), ако за всеки $x_1,x_2\in D$, за които $x_1\leq x_2$ е изпълнено, че $f(x_1)\leq f(x_2)$. 

Определение 4: Нека е дадена функцията $f(x)$, като $x\in D$, а $f(x)\in Y$. Ще казваме, че функцията $f(x)$ е монотонно намаляваща (още се казва нерастяща), ако за всеки $x_1,x_2\in D$, за които $x_1\leq x_2$ е изпълнено, че $f(x_1)\geq f(x_2)$. 

Определение 5: Нека е дадена функцията $f(x)$, като $x\in D$, а $f(x)\in Y$. Ще казваме, че функцията $f(x)$ е строго растяща, ако за всеки $x_1,x_2\in D$, за които $x_1< x_2$ е изпълнено, че $f(x_1)<f(x_2)$. 

Определение 6: Нека е дадена функцията $f(x)$, като $x\in D$, а $f(x)\in Y$. Ще казваме, че функцията $f(x)$ е строго намаляваща, ако за всеки $x_1,x_2\in D$, за които $x_1<x_2$ е изпълнено, че $f(x_1)>f(x_2)$. 

Нека сега да разгледаме някои задачи.

1 Задача Намерете дефиниционната област на следните функции:
а) $f(x)=\frac{3}{4x-5}$; б) $f(x)=\frac{2x-1}{7x^2+5}$; в) $f(x)=\frac{3x^2}{x^3-64}+\frac{3-5x}{x^2-9}$; г) $\frac{x^2-4}{x-2}+\frac{1}{x^2-3}$.

Решение: а) Имаме функцията $f(x)=\frac{3}{4x-5}$, която представлява една дроб. Добре знаем, че дробната черта означава деление и тъй като на нула не се дели е необходимо знаменателят на тази дроб да е различен от нула, следователно: ДО: $4x-5\neq 0\implies x\neq\frac{5}{4}$. Така за допустимите стойности можем да запишем и още: ДО: $x\in \left(-\infty;\frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4};+\infty\right)$.

б) Дадена е функцията $f(x)=\frac{2x-1}{7x^2+5}$. По аналогичен начин на подточка а) тъй като функцията е дроб, нейният знаменател трябва да е различен от нула, т.е. търсим онези $x$, за които $7x^2+5\neq 0$. Не е трудно да съобразим, чe тъй като $x^2\geq 0$ за всяко $x\in\mathbb{R}$, то $7x^2+5>0$ за всяко $x$. Така вече сме сигурни, че знаменателят няма как да бъде нула, следователно нямаме никакви ограничения за това какво число може да бъде $x$ и записваме ДО: $x\in (-\infty;+\infty)$. 

в) Разглеждаме функцията $f(x)=\frac{3x^2}{x^3-64}+\frac{3-5x}{x^2-9}$, която се състои от две събираеми всяко, от което е дроб. Следователно дефиниционната област на нашата функция ще бъде онези числа $x$, за които знаменателите на двете дроби са различни от нула т.е. ДО: $x^3-64\neq 0$ и $x^2-9\neq 0$. Така имаме $x^3-4^3\neq 0$ $\implies$ $(x-4)(x^2+4x+16)\neq 0$. Тъй като множителят $x^2+4x+16$ е по-голям от нула остава само $x-4\neq 0$ т.е. $x\neq 4$. Освен това $x^2-9\neq 0$ $\implies (x-3)(x+3)\neq 0$ $\implies$ $x\neq 3$ и $x\neq -3$. Така окончателно за дефиниционната област можем да запишем $x\in (-\infty, -3)\cup (-3,3)\cup (3,4)\cup (4,+\infty)$.

г) Функцията $\frac{x^2-4}{x-2}+\frac{1}{x^2-3}$ се състои от две дроби. Както вече видяхме знаменателите на дробите трябва да бъдат различни от нула. Следователно можем да запишем, че ДО: $x-2\neq 0$ и $x^2-3\neq 0$. От първото условие получаваме, че $x\neq 2$, а от второто лесно забелязваме, че $x^2-(\sqrt{3})^2=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ и следователно $x\neq\pm \sqrt{3}$. Още може да запишем, че $x\in (-\infty, -2)\cup (-2,-\sqrt{3})\cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty)$.

2 Задача Намерете дефиниционната област на функциите:

а) $f(x)=\sqrt{x-5}$; б) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}$; в) $f(x)=\frac{11}{x-3}+\sqrt{4x+5}$.

Решение: а) Тъй като в дадената функция имаме квадратен корен от 8 клас знаем, че подкоренната величина трябва да е по-голяма или равна на нула. Следователно ДО: $x-5\geq 0$ от където получаваме, че $x\geq 5$ и $x\in [5,+\infty)$.

б) Забелязваме, че дадената функция е дроб, на която знаменателят и квадратен корен. Следователно от едно страна $\sqrt{2x-3}\neq 0$, а от друга $2x-3\geq 0$. Като вземем в предвид и двете условие и факта, че $\sqrt{2x-3}=0\iff 2x-3=0$ т.е. когато $x=\frac{3}{2}$ за ДО получаваме, че ДО: $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$ или записано с интервал $x\in (\frac{3}{2},+\infty)$. 

в) В дадената функция имаме две събираеми, като първото е дроб и нейният знаменател трябва да бъде различен от нула, а второто събираемо е израз с квадратен корен и подкоренната величина трябва да бъде различна от нула. Тогава от казаното до тук за ДО можем да запишем, че ДО: $x-3\neq 0$ и $4x+5\geq 0$, от където следва, че $x\neq 3$ и $x\geq -\frac{5}{4}$. Или записано с интервал имаме, че $x\in (-\infty, -\frac{5}{4})\cup (-\frac{5}{4}, 3)\cup (3,+\infty)$.

3 Задача Дадена е функцията $f(x)=4x^2+\frac{2}{3x}$, където $x\neq 0$. Да се пресметне стойността на израза: 

а) $f(1)+f(-1)$; б) $\frac{f(2)}{f(1)}$; в) $f(x+1)$.

Решение: а) За да пресметнем даденият израз е достатъчно да намерим стойностите на функцията $f$ при $x=1$ и $x=-1$. За целта пресмятаме $f(1)=4.1^2+\frac{2}{3.1}$ (просто на мястото на $x$ в дадената функция пишем $1$ и пресмятаме) така получаваме, че $f(1)=4+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$. сега по аналогичен начин пресмятаме $f(-1)=4.(-1)^2+\frac{2}{3.(-1)}=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$. Сега вече можем да заместим в даденият израз, от където намираме, че $f(1)+f(-1)=\frac{14}{3}+\frac{10}{3}=\frac{24}{3}=8$.

б) Намираме $f(2)=4.2^2+\frac{2}{3.2}=16+\frac{1}{3}=\frac{49}{3}$. От подточка а) видяхме, че $f(1)=\frac{14}{3}$, следователно $\frac{f(2)}{f(1)}=\frac{\frac{49}{3}}{\frac{14}{3}}$, от където $\frac{f(2)}{f(1)}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$.

в) За да намерим на колко е равно $f(x+1)$ навсякъде в дадената функция заместваме $x$ с $x+1$, следователно $f(x+1)=4(x+1)^2+\frac{2}{3(x+1)}$.

4 Задача Напишете лицето на окръжност $S$, като функция на нейната дължина $C$.

Решение: Добре известни са формулите за лице на окръжност $S=\pi.r^2$ и $C=2.\pi.r$. И в двете формули лицето и дължината зависят от радиуса т.е. те са функции на $r$. От формулата ли дължина на окръжност лесно се вижда, че $r=\frac{C}{2.\pi}$. Сега нека да заместим $r$ с $\frac{C}{2.\pi}$ във формулата за $S$. Така получаваме, че $S=\pi.\left(\frac{C}{2.\pi}\right)^2$, от където $S=\pi.\frac{C^2}{4.\pi^2}$ и $S=\frac{1}{4\pi}.C^2$. Както се вижда в последното равенство, тъй като $S$ зависи само и единствено от $C$ (защото $\pi$ е константа) имаме, че $S$ е функция на $C$. Записваме $S(C)=\frac{1}{4\pi}.C^2$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Намерете дефиниционнатата област на следните функции:
а) $f(x)=\frac{1}{x^2+15}$; б) $f(x)=\frac{2x-3}{1-4x^2}$; в) $f(x)=\frac{3x}{(x^3-64)(x-1)}$; г) $f(x)=\frac{5}{x^2+4}+\frac{11x-9}{x^3-3x}$.

2. Намерете дефиниционната област на следните функции:
а) $f(x)=\sqrt{3x-1}$; б) $f(x)=\frac{2x-3}{\sqrt{3x+4}}$; в) $f(x)=\sqrt{7x-2}+\frac{1}{3x-11}$.

3. Дадена е функцията $f(x)=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{4}$. Намерете на колко е равно $f(1)$; $f(0)$, $f(1)+f(2)$; $\frac{f(3)}{f(2)}$; $f(x+1)+1$.

4. Дадена е функцията $f(x)=\sqrt{x+8}+2$. Намерете на колко е равно $f(-8)$; $f(1)$ и $f(x-8)$.

5. Запишете лицето на равностранен триъгълник като функция от дължината $m$ на неговите страни.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: