Вероятност на противоположно събитие, на обединение и сечение на събития. Вероятност на сума на съвместими събития 9 клас

Ако при провеждането на даден опит събитието $A$ не се случва ще казваме, че се е случило противоположното събитие на $A$, което ще бележим с $\overline{A}$.

Пример: Ако събитието $A$ е "при хвърляне на стандартен зар да се падне $1$", то $\overline{A}$ е събитието "при хвърляне на стандартен зар да не се падне $1$".

Нека да припомним следното определение:

Определение 1: Обединение на две събития $A$ и $B$ се нарича трето събитие $C$, което се сбъдва, когато се сбъдва събитието $A$ или събитието $B$.

Преди да преминем към разглеждането на някои задачи нека припомним с два примера, кои събития ще наричаме съвместими, и кои несъвместими събития.

Пример: Нека $A$ да е събитието "при хвърляне на зар да се паднат $3$, $4$ или $5$ точки", а събитието $B$ е "да се паднат $2$ или $6$ точки".

Ясно е, че ако настъпи събитието $A$ - да се паднат $3$, $4$ или $5$ точки няма как да настъпи събитието $B$ и обратно, следователно двете събития $A$ и $B$ се наричат несъвместими.

Пример: Нека $A$ да е събитието "при хвърляне на зар да се паднат $3$, $4$ или $5$ точки", а събитието $B$ е "да се паднат $4$, $5$ или $6$ точки".

В този пример виждаме, че съществуват възможности при, които ако се сбъдне събитието $A$ едновременно с това да се сбъдне и събитието $B$, следователно двете събития $A$ и $B$ се наричат съвместими.

В сила е следната теорема:

Теорема 1: За всеки две събития $A$ и $B$ е в сила формулата $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Тази теорема обобщава Теорема 1 от урока "Класическа вероятност. Вероятност на сума на несъвместими събития 9 клас", защото ако събитията $A$ и $B$ са несъвместими, тогава $A\cap B=\emptyset$ и получаваме именно формулата от Теорема 1 от въпросният урок.

Сега да се спрем на няколко примера, с които ще илюстрираме всичко казано до момента.

1 Задача Каква е вероятноста, ако хвърлим четири монети и на четирите да се падне герб?

Решение: Нака с $P(A)$ да означим вероятността при хлърляне на първата монета да се падне герб, с $P(B)$ да означим вероятността при хвърляне на втората монета да се падне герб, с $P(C)$ - да се падне герб на третата монета и с $P(D)$ - вероятонстта да се падне герб на четвъртата монета. Също така, нека с $P(K)$ да означим вероятността и на четирите монети да се падне герб. Тогава за да настъпи събитието $K$ (и на четирите монети да се падне герб) е необходимо да настъпят събитията $A$, $B$, $C$ и $D$ (събитията $A$, $B$, $C$ и $D$ са съответно - на първата монета да се падне герб, на втората монета да се падне герб, на третата монета да се падне герб и на четвъртата монета да се падне герб). Следователно $P(K)=P(A)\cap P(B)\cap P(C)\cap P(D)$. Лесно се съобразява, че $P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=\frac{1}{2}$ (тъй, като за една монета имаме две възможности или да се падне герб или да не се падне, тогава вероятността да се падне герб ще е $\frac{1}{2}$), следователно $P(K)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

2 Задача Всички букви от азбуката ($30$ на брой) са написани на отделни картончета. Каква е вероятността случайно избрано картонче да не съдържа буква от думата ПИТАГОР. 

Решение: Нека събитието $A$ е "случайно избрано картонче да съдържа буква от думата ПИТАГОР", тогава от определението за класическа вероятност можем веднага да кажем, че $P(A)=\frac{7}{30}$ (броят на благоприятните възможности върху общият брой - в случай благоприятните възможности са седем, защото седем от всички тридесет букви участват в думата ПИТАГОР). Нека с $\overline{A}$ да означим противоположното събитие на $A$, т.е. "случайно избрано картонче да не съдържа буква от думата ПИТАГОР", следователно $P(\overline{A})=1-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}$.

3 Задача В кутия има $70$ лотарийни билета, от които $10$ са печеливши. Каква е вероятността от $8$ изтеглени билета $3$ да са печеливши?

Решение: Нека първо да намерим всички възможни осморки, които можем да съставим от $70$ елемента т.е. да пресметнем $C_{70}^{8}=\frac{70.69.68.67.66.65.64.63}{1.2.3.4.5.6.7.8}=9440350920$. Тъй като търсим колко наброя тройки печеливши билети можем да имаме от десет печеливши трябва да пресметнем $C_{10}^{3}=\frac{10.9.8}{1.2.3}=120$. Сега трябва да съобразим факта, че тъй като ние теглим осем билета и три от тях са печеливши остават пет, които не са печеливши, следователно пресмятаме $C^5_{60}=\frac{60.59.58.57.56}{1.2.3.4.5}=5461512$ (това са всички петорки от непечеливши билети). Сега вече сме готови да пресметнем и търсената вероятност в условието на задачата. Нека с $P(A)$ да означим вероятността от $70$ лотарийни билета, от които $10$ са печеливши да изтеглим $8$ билета и $3$ от тях да са печеливчи. Тогава $P(A)=\frac{C_{10}^{3}.C^5_{60}}{C_{70}^{8}}=\frac{120.5461512}{9440350920}\approx 0,07$.

4 Задача От тесте, съдържащо $52$ карти, случайно се изважда една карта. Каква е вероятността тази карта да е купа или да е поп от произволен цвят?

Решение: Нека с $A$ да означим събитието "извадената карта да е купа", а с $B$ - "извадената карта да е поп". Тъй като в тестето карти има по равен брой купи, пики, кари и спатии, тогава общият брой на купите в тестето е една четвърт от всички карти т.е. броят на купите в тестето карти е $13$. Тогава $P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$. Лесно се съобразява, че $P(B)=\frac{4}{52}$ (в тестето карти има четири попа). Ясно е, че събитията $A$ и $B$ са съвместими, защото извадената карта може да бъде едновременно и купа и поп, следователно прилагаме формулата от Теорема 1 от този урок и така $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Както се забелязва в това равенство ние знаем $P(A)$ и $P(B)$. Трябва да намерим $P(A\cap B)$ т.е. изтеглената карта да бъде хем купа, хем поп. Единствената такава карта от тестето е поп купа, следователно $P(A\cap B)=\frac{1}{52}$. Сега сме готови да намерим търсената вероятност имаме, че $P(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.

5 Задача Една мишена е разделена на $5$ зони, като вероятността да се улучи първата, втората третата, четвъртата и петата зона е съответно $P(A)=0,1$, $P(B)=0,3$, $P(C)=0,2$, $P(D)=0,05$, $P(E)=0,01$. Каква е вероятността да не се улучи мишената.

Решение: За да бъде улучена мишената е необходимо да се сбъдне някое от събитията $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Нека да намерим първо каква е вероятността мишената да бъде улучена. Тъй като събитията $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ са несъвместими, защото няма как едновременно да улучим повече от една зона следва, че $P(A\cup B\cup C\cup D\cup E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=$

$=0,1+0,3+0,2+0,05+0,01=0,66$. Тогава вероятността мишената да не бъде улучена е $P(\overline{A\cup B\cup C\cup D\cup E})=1-0,66=0,34$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. В една урна има $10$ червени и $15$ сини топки. Каква е вероятността случайно избрана топка да не е червена?

2. Една мишена е разделена на четири непресичащи се зони. Вероятността да се улучи първата, втората, третата и четвъртата зона е съответно $0,1$, $0,2$, $0,3$ и $0,01$. Каква е вероятността при изстрел стрелецът да не улучи мишената?

3. В кутия има $90$ лотарийни билета, от които $12$ са печеливши. Каква е вероятността от $9$ изтеглени билета $5$ да са печеливши?

4. В склад за компютри има 150 компютъра, като 16 от тях са дефектни. Каква е вероятността при проверка на случайно избрани 6 компютъра поне един да е повреден?

5. В кашон има $50$ сборника по математика. Оказало се, че шеснадесет от тях са за $9$ клас, а останалите за $10$ клас. Каква е вероятността от $12$ случайно избрани сборника от кашона $7$ да са за $9$ клас?

6. Имаме тесте от $52$ карти. Без да гледаме, теглим една от тях. Намерете вероятността изтеглената картта да е:

а) черна или поп; б) черна, но не и поп; в) черна и поп; г) поп, но не и черна.

7. На един рахт трябва да се подредят $m$ книги на немски език и $n$ книги на български език. Намерете вероятността книгите от един и същ език да не са подредени една до друга.

8. Една компания от $4p$ приятели, от които $3p$ са мъже и $p$ са жени, се подреждат по случаен начин в редица. Намерете вероятността:

а) жените да са една до друга; б) мъжете да са един до друг. 

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: