Вероятност на противоположно събитие, на обединение и сечение на събития. Вероятност на сума на съвместими събития 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 9 клас › Статистика и вероятности › Противоположно събитие

Противоположно събитие
Вероятност на обединение

Противоположно събитие \(\overline{A}\), Теорема 1 за \(P(A\cup B)\) при съвместими и несъвместими събития, 5 разработени задачи и 8 задачи за самостоятелна работа

9 клас Вероятности Противоположно събитие \(P(A\cup B)\) 5 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Противоположно събитие, обобщена формула за вероятност на обединение и нейното приложение при задачи с карти, монети, лотарийни билети и мишени

Теория

Противоположно събитие: Ако при провеждането на даден опит събитието \(A\) не се случва, ще казваме, че се е случило противоположното събитие на \(A\), което бележим с \(\overline{A}\).
В сила е: \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Пример: Ако \(A\) е „при хвърляне на зар да се падне \(1\)", то \(\overline{A}\) е „да не се падне \(1\)".

Определение 1 (напомняне): Обединение на две събития \(A\) и \(B\) е събитието \(C=A\cup B\), което се сбъдва, когато се сбъдва \(A\) или \(B\).

Нека да припомним с два примера кои събития са съвместими и кои — несъвместими.

Несъвместими: \(A\) = „пада 3, 4 или 5" и \(B\) = „пада 2 или 6" — ако настъпи \(A\), не може да настъпи \(B\) и обратно.
Съвместими: \(A\) = „пада 3, 4 или 5" и \(B\) = „пада 4, 5 или 6" — може и двете да настъпят едновременно (напр. 4 или 5).

Теорема 1: За всеки две събития \(A\) и \(B\) е в сила: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\] Тази теорема обобщава теоремата за несъвместими събития: при \(A\cap B=\emptyset\) получаваме \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Каква е вероятността, ако хвърлим четири монети, и на четирите да се падне герб?

▼

Решение Нека \(P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=\dfrac{1}{2}\) са вероятностите да се падне герб на всяка от четирите монети (двете равновероятни изхода: герб или ези). Нека \(P(K)\) е вероятността и на четирите монети да се падне герб. Тогава: \[P(K)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\cdot P(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}.\]

2

Всички букви от азбуката (\(30\) на брой) са написани на отделни картончета. Каква е вероятността случайно избрано картонче да не съдържа буква от думата ПИТАГОР?

▼

Решение Нека \(A\) е събитието „извадено картонче съдържа буква от ПИТАГОР". Думата ПИТАГОР има \(7\) различни букви, следователно: \[P(A)=\frac{7}{30}.\] Търсим вероятността за противоположното събитие \(\overline{A}\): \[P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}.\]

3

В кутия има \(70\) лотарийни билета, от които \(10\) са печеливши. Каква е вероятността от \(8\) изтеглени билета \(3\) да са печеливши?

▼

Решение Намираме всички начини да изберем \(8\) от \(70\) билета: \[C_{70}^{8}=\frac{70\cdot69\cdot68\cdot67\cdot66\cdot65\cdot64\cdot63}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8}=9\,440\,350\,920.\] Тройките печеливши от \(10\): \[C_{10}^{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{1\cdot2\cdot3}=120.\] Петиците непечеливши от останалите \(60\): \[C_{60}^{5}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=5\,461\,512.\] Търсената вероятност: \[P(A)=\frac{C_{10}^{3}\cdot C_{60}^{5}}{C_{70}^{8}}=\frac{120\cdot5\,461\,512}{9\,440\,350\,920}\approx 0{,}07.\]

4

От тесте, съдържащо \(52\) карти, случайно се изважда една карта. Каква е вероятността тази карта да е купа или да е поп от произволен цвят?

▼

Решение \(A\) = „купа" (\(13\) карти): \(P(A)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\).
\(B\) = „поп" (\(4\) карти): \(P(B)=\dfrac{4}{52}\).
Събитията \(A\) и \(B\) са съвместими (може да е поп купа). Прилагаме Теорема 1.
\(A\cap B\) = „поп купа" (1 карта): \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{52}\). \[P(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}.\]

5

Една мишена е разделена на \(5\) зони, като вероятностите да се улучи всяка от тях са \(P(A)=0{,}1\), \(P(B)=0{,}3\), \(P(C)=0{,}2\), \(P(D)=0{,}05\), \(P(E)=0{,}01\). Каква е вероятността да не се улучи мишената?

▼

Решение Зоните са непресичащи се — събитията са несъвместими. Вероятността да се улучи мишената: \[P(A\cup B\cup C\cup D\cup E)=0{,}1+0{,}3+0{,}2+0{,}05+0{,}01=0{,}66.\] Вероятността да не се улучи: \[P(\overline{A\cup B\cup C\cup D\cup E})=1-0{,}66=0{,}34.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1В една урна има \(10\) червени и \(15\) сини топки. Каква е вероятността случайно избрана топка да не е червена?

Задача 2Една мишена е разделена на четири непресичащи се зони. Вероятностите да се улучи всяка са \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}3\) и \(0{,}01\). Каква е вероятността стрелецът да не улучи мишената?

Задача 3В кутия има \(90\) лотарийни билета, от които \(12\) са печеливши. Каква е вероятността от \(9\) изтеглени билета \(5\) да са печеливши?

Задача 4В склад за компютри има \(150\) компютъра, като \(16\) от тях са дефектни. Каква е вероятността при проверка на случайно избрани \(6\) компютъра поне един да е повреден?

Задача 5В кашон има \(50\) сборника по математика. Оказало се, че шестнадесет от тях са за \(9\) клас, а останалите за \(10\) клас. Каква е вероятността от \(12\) случайно избрани сборника \(7\) да са за \(9\) клас?

Задача 6Имаме тесте от \(52\) карти. Теглим една. Намерете вероятността изтеглената карта да е:
а) черна или поп;  б) черна, но не и поп;  в) черна и поп;  г) поп, но не и черна.

Задача 7На един рафт трябва да се подредят \(m\) книги на немски език и \(n\) книги на български език. Намерете вероятността книгите от един и същ език да не са подредени една до друга.

Задача 8Една компания от \(4p\) приятели, от които \(3p\) са мъже и \(p\) са жени, се подреждат по случаен начин в редица. Намерете вероятността:
а) жените да са една до друга;  б) мъжете да са един до друг.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Противоположно събитие и вероятност на обединение

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Противоположното събитие \(\overline{A}\) се случва, когато:

\(A\) се е случило \(A\) не се е случило \(A\) и \(B\) са се случили едновременно

2Формулата \(P(\overline{A})\) е:

\(P(A)-1\) \(1-P(A)\) \(1+P(A)\)

3Теорема 1 за вероятност на обединение гласи:

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) \(P(A\cup B)=P(A)\cdot P(B)\)

4При несъвместими събития \(P(A\cap B)\) е:

\(P(A)+P(B)\) \(0\) \(1\)

5В Задача 1: вероятността и на четирите монети да е герб е:

\(\dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{1}{4}\)

6В Задача 2: \(P(A)=\frac{7}{30}\). Следователно \(P(\overline{A})\) е:

\(\dfrac{7}{30}\) \(\dfrac{23}{30}\) \(\dfrac{30}{7}\)

7В Задача 3: \(C_{10}^3\) е равно на:

\(30\) \(120\) \(720\)

8В Задача 3: \(P(A)\approx\):

\(0{,}03\) \(0{,}07\) \(0{,}7\)

9В Задача 4: събитията „купа" и „поп" са:

Несъвместими Съвместими Противоположни

10В Задача 4: \(P(A\cap B)\) (поп купа) е:

\(\dfrac{4}{52}\) \(\dfrac{1}{52}\) \(\dfrac{13}{52}\)

11В Задача 4: \(P(A\cup B)\) е:

\(\dfrac{17}{52}\) \(\dfrac{4}{13}\) \(\dfrac{1}{4}\)

12В Задача 5: вероятността мишената да се улучи е:

\(0{,}34\) \(0{,}66\) \(1{,}00\)

13В Задача 5: вероятността мишената да НЕ се улучи е:

\(0{,}66\) \(0{,}34\) \(0{,}01\)

14Формулата \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) е частен случай на Теорема 1, когато:

\(P(A)=P(B)\) \(A\cap B=\emptyset\) (несъвместими) \(P(A\cup B)=1\)

15Ако \(P(A)=0{,}4\), то \(P(\overline{A})\) е:

\(0{,}4\) \(0{,}6\) \(1{,}4\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по противоположно събитие и вероятност на обединение:

Видео урок — Противоположно събитие. Вероятност на обединение. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆