Класическа вероятност. Вероятност на сума на несъвместими събития 9 клас

Определение 1: Случайно събитие ще наричаме събитие, което при дадени условия може да настъпи или да не настъпи.

Събитията може да са резултат от някакво наблюдие над процес или явление или пък да са следствие от някакъв проведен експеримент и т.н.

Когато две събития могат да се сбъднат при едно и също провеждане на някакъв опит, тогава те се наричат съвместими събития. 

Пример: При хвърлянето на стандартен зар могат едновременно да се случат двете събития "броят на точките да е $5$" и "броят на точките да е нечетно число".

Обратно на понятието съвместими събития - несъвместими са събития, които при провеждане на даден опит сбъдването на едното събитие автоматично изключва сбъдването на второто събитие.

Пример: При хвърлянето на стандартен зар не могат едновременно да се сбъднат двете събития "броят на точките да е $5$" и "броят на точките да е четно число". 

Ясно е, че ако се сбъдне първото събитие няма как да се сбъдне второто, защото $5$ не е четно число и обратно, ако се падне четно число, то няма как то да е $5$.

Включване ще наричаме отношение между събитията $A$ и $B$, при което, ако настъпи събитието $A$, настъпва и събитието $B$, но от настъпването на събитието $B$ невинаги се сбъдва събитието $A$. Казано с други думи $A$ е частен случай на $B$. Ще бележим с $A\subset B$ или $B\supset A$.

Пример: Ако $A$ е събитието при хвърляне на зар да се падне $5$, а $B$ е събитието да се падне нечетно число, то ясно виждаме, че щом се сбъдне $A$, се сбъдва и $B$, но невинаги, когато се сбъдне $B$, се сбъдва $A$.

Ще казваме, че две събития $A$ и $B$ са еквивалентни, ако $A\subset B$ и $B\subset A$.

Определение 2: Обединение на две събития $A$ и $B$ ще наричаме събитието $C$, което се сбъдва, когато се сбъдва събитието $A$ или събитието $B$. Ще пишем $C=A\cup B$ или $C=A+B$.

Определение 3: Сечение на две събития $A$ и $B$ ще наричаме събитието $D$, което се сбъдва, когато се сбъдват едновременно както събитието $A$, така и събитието $B$. Ще пишем $D=A\cap B$ или $D=A.B$.

Когато $A\cap B=\emptyset$ събитията $A$ и $B$ се наричат несъвместими събития.

Повече за свойствата обединение и сечение на множества може да прочетете в статията посветена на тази тема тук.

Определение 4: Класическа вероятнот $P$ за настъпване на едно събитие в следствие на даден опит наричаме отношението на броя на благоприятните случаи на $A$ към броя на всички възможни случаи.

Класическата вероятност притежава следните свойства:

1) $0\leq P(A)\leq 1$.

2) Ако $P(A)=0$, тогава събитието $A$ със сигурност няма да настипи (невъзможно събитие).

3) Ако $P(A)=1$, тогава събитието $A$ със сигурност ще настъпи.

4) Ако $0<P(A)<1$, тогава събитието $A$ има случаен характер.

5) Ако събитието $B$ следва от събитието $A$, т.е. $A\subset B$, то $P(A)\leq P(B)$.

В сила е следната:

Теорема 1: Ако две събития $A$ и $B$ са несъвместими, то $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Преди да преминам към разглеждането на някои примерни задачи е добре да споменем, че за ясното разбиране на следващите примери е необходимо да се познава материала по комбинаторика изучаван в 8 клас. Уроци по тази тематика може да намерите тук и тук.

1 Задача В урна има $4$ бели, $3$ зелени и $6$ червени топки. Каква е вероятността случайно извадена топка да е:

а) бяла; б) зелена; в) червена?

Решение: а) Нека с $P(A)$ означим вероятността случайно извадената топка да е бяла. Тъй като броят на белите топки в урната е $4$ тогава благоприятните възможности за събитието $A$ (събитието $A$ е извадената топка да е бяла) са $4$. Общо в урната има $13$ топки. Следователно от формулата за класическа вероятност получаваме, че $P(A)=\frac{4}{13}$.

б) Нека с $P(B)$ означим вероятността случайно извадената топка да е зелена. Тъй като броят на зелените топки в урната е $3$ тогава благоприятните възможности за събитието $B$ (събитието $B$ е извадената топка да е зелена) са $3$. Общо в урната има $13$ топки. Следователно от формулата за класическа вероятност получаваме, че $P(B)=\frac{3}{13}$.

в) Нека с $P(C)$ означим вероятността случайно извадената топка да е червена. Тъй като броят на червените топки в урната е $6$ тогава благоприятните възможности за събитието $C$ (събитието $C$ е извадената топка да е червена) са $6$. Общо в урната има $13$ топки. Следователно от формулата за класическа вероятност получаваме, че $P(C)=\frac{6}{13}$.

2 Задача В урна има $4$ бели, $3$ зелени и $6$ червени топки. Каква е вероятността случайно извадена топка да е:

а) бяла или зелена; б) зелена или червена; в) бяла или червена?

Решение: а) Нека с $P(A)$ означим вероятността случайно извадената топка да е бяла, а с $P(B)$ вероятността топката да е зелена. Тогава вероятността случайно извадената топка да бъде бяла или зелена е $P(A\cup B)$. Тъй като събитията $A$ и $B$ са несъвместими (няма как извадената топка да бъде хем бяла, хем зелена), тогава прилагаме формулата от Теорема 1 от настоящият урок и получаваме, че $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ или в нашитя случай (вземайки в предвид и 1 Задача) $P(A\cup B)=\frac{4}{13}+\frac{3}{13}=\frac{7}{13}$.

б) Нека с $P(B)$ означим вероятността случайно извадената топка да е зелена, а с $P(C)$ вероятността топката да е червена. Тогава вероятността случайно извадената топка да бъде зелена или червена е $P(B\cup C)$. Тъй като събитията $B$ и $C$ са несъвместими (няма как извадената топка да бъде хем зелена, хем червена), тогава прилагаме формулата от Теорема 1 от настоящият урок и получаваме, че $P(B\cup C)=P(B)+P(C)$ или в нашитя случай (вземайки в предвид и 1 Задача) $P(B\cup C)=\frac{3}{13}+\frac{6}{13}=\frac{9}{13}$.

в) Нека с $P(A)$ означим вероятността случайно извадената топка да е бяла, а с $P(C)$ вероятността топката да е червена. Тогава вероятността случайно извадената топка да бъде бяла или червена е $P(A\cup C)$. Тъй като събитията $A$ и $C$ са несъвместими (няма как извадената топка да бъде хем бяла, хем червена), тогава прилагаме формулата от Теорема 1 от настоящият урок и получаваме, че $P(A\cup C)=P(A)+P(C)$ или в нашитя случай (вземайки в предвид и 1 Задача) $P(A\cup C)=\frac{4}{13}+\frac{6}{13}=\frac{10}{13}$.

3 Задача Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът на точките да бъде по-малък от $5$?

Решение: Нека да запишем всички възможности, които можем да получим при хвърлянето на два зара:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);

(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);

(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6);

(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6);

(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);

(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6).

Получихме общо $36$ наредени двойки. Сега нека от тях отделим тези, в които сборът на точките е по-малък от $5$. Това са:

(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (3,1). Техният брой е $6$. Тогава ако $P(A)$ е вероятността при хвърляне на зар да получим сбор по-малък от $5$ имаме, че $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

4 Задача Кръгова мишена е разделена на $3$ непресичащи се зони. Вероятността да се улучи първата, втората или третата зона е съответно $0,12$; $0,21$ и $0,37$. Каква е вероятността при изстрел мишената да се улучи?

Решение: За да улучим мишената трябва да улучим или първата зона или втората зона или третата зона. Нека с $P(A)$ да означим вероятността да улучим първата зона, следователно $P(A)=0,12$. Нека с $P(B)$ да означим вероятността да улучим втората зона, следователно $P(B)=0,21$. Накрая, нека с $P(C)$ да означим вероятността да улучим третата зона, следователно $P(C)=0,37$. Тогава вероятността да улучим мишената ще бъде $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$ (прилагаме формулата за сума от несъвместими събития, тъй като зоните на мишената са непресичащи се, т.е. няма как при изстрел да улучим едновременно две или повече зони с един изстрел), така получаваме че $P(A\cup B\cup C)=0,12+0,21+0,37=0,7$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. В една кутия има $9$ бели, $6$ червени и $5$ зелени топки. Изваждат се по случаен начин $5$ от тях. Намерете верооятността да са извадени:

а) $2$ бели, $2$ червени и $1$ зелена топки; б) $1$ бяла, $3$ червени и $1$ зелена топки.

2. Кодът на сейф се състои от $4$ цифри. Крадецът имал сведение, че четирите цифри са различни нечетни и една от тях е $5$. Намерете вероятността той да отвори сейфа от първия опит.

3. Имаме тесте от $52$ карти. Без да гледаме, теглим шест от тях. Намерете вероятността да са изтеглени:

а) $2$ аса, $3$ попа и $1$ вале; б) $3$ пики, $1$ купа и $2$ спатии.

4. Дадени са $6$ отсечки с дължина $1$ dm, $2$ dm, $3$ dm, $5$ dm, $7$ dm и $9$ dm. Намерете вероятността три, случайно избрани от тези, отсечки да могат да образуват триъгълник.

5. Иван трябвало да направи преговор по математика от $10$ урока, като учителят ще го изпита на един от тях. Тъй като не му стигнало времето той успял да подготви $7$ от тях. Каква е вероятността на Иван да му се падне един от подготвените от него уроци?

6. От тесте с $52$ карти е изтеглена една карто. Каква е вероятността тази карта да е:

а) каро; б) поп; в) да е червена?

7. От числата $1, 2, 3,\ldots , 69, 70$ е избрано едно произволно число. Каква е вероятността това число:

а) да се дели на $2$; б) да се дели на $5$; в) да се дели на $3$; г) да е по-голямо от $10$ и по-малко от $35$.

8. В кутия има $30$ лотарийни билета, като $7$ от тях са печеливши. Каква е вероятността при случайно избрани два билета и двата да са печеливши?

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: