Уравнения от по-висока степен, които се свеждат до квадратни уравнения 8 клас

В този урок ще разгладаме приложението на теорията за квадратните уравнения при решаването на уравнения от по-висока степен. Един от най-честите подходи, когато решаваме уравнения от степен по-голяма от втора е да разложим многочлена, който участва в уравнението на линейни и/или квадратни множители. Така решаването на даденото уравнение ще се сведе до решаването на линейни и/или квадратни уравнения, за които ние вече сме подготвени и можем да решим. 

Ако в уравнението от по-висока степен забележим, че неизвестното участва в някакъв повтарящ израз, тогава е удачно да положим (да заменим неизвестното с ново неизвестно и така да получим по-просто уравнение от даденото относно новата променлива, виж урока за биквадатни уравнения).

Нека да разгледаме някои примери.

1 Задача Решете уравнението $(2x-1)^4-25(2x-1)^2+144=0$.

Решение: Ако започнeм да разкриваме скобите в това уравнение ще достигнем до уравнение което ще е много сложно за решаване, ето какво ще е уравнението, което бихме получили ако разкрием скобите и извършим привиденията $16x^4-32x^3-76x^2+92x+120=0$. Това уравнение би било доста трудоемко за решаване и изискващо и допълнителни знания, които на този етап нямаме. По-наблюдателните от вас, обаче може би забелязват, че изразът $(2x-1)$, в който участва променливата $x$ се повтаря. Тогава можем да го заменим с нова променлива. Нека да положим $2x-1=s$. Така получаваме едно биквадратно уравнение относно новата променлива $s$, т.е. $s^4-25s^2+144=0$. Вече видяхме, как можем да решим биквадратно уравнение. Нека отново да положим, но този път полагането да е $s^2=t$. Така получаваме квадратното уравнение $t^2-25t+144=0$. След решаването му намираме, че $t_1=16$, а $t_2=9$. Връщаме се в положеното, от където имаме, че $s^2=16$ или $s^2=9$. След решаването на двете непълни квадратни уравнения относно променливата $s$ имаме, че $s_1=4$, $s_2=-4$, $s_3=$ и $s_4=-3$. Сега се връщаме и в положеното за $s$, от където имаме следните четири линейни уравнения: $2x-1=4$, $2x-1=-4$, $2x-1=3$ и $2x-1=-3$, които след решаването им намираме и търсените решения относно променливата $x$, т.е. $x_1=\frac{5}{2}$, $x_2=-\frac{3}{2}$, $x_3=2$ и $x_4=-1$.

2 Задача Решете уравнението $(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0$.

Решение: Забелязваме, че изразът $(x^2-2x)$ се повтаря, за това е удачно да положим $x^2-2x=t$. Така получаваме квадратното уравнение $t^2-2t-3=0$ относно новата променлива $t$. След решаването му намираме, че $t_1=3$ и $t_2=-1$. Сега се връщаме в положеното и имаме, че $x^2-2x=3$ от една страна и от друга $x^2-2x=-1$. Така достигаме до две квадратни уравнение $x^2-2x+3=0$ и $x^2-2x+1=0$. Първото от тях няма реални корени, а второто уравнение има един двоен корен тъй като $x^2-2x+1=0\iff (x-1)^2=0\iff x_{1,2}=1$. 

3 Задача Решете уравнението $2x^4+x^3+4x^2+x+2=0$.

Решение: Забелязваме, че даденото уравнение можем да запишем във вида $2x^4+4x^2+2+x^3+x=0$. От първите три събираеми забелязваме, че можем да изнесем общ множител $2$, а от последните две събираеми можем да изнесем общ множител $x$, следователно $2(x^4+2x^2+1)+x(x^2+1)=0\iff 2(x^2+1)^2+x(x^2+1)=0$, така получаваме, че $(x^2+1)(2x^2+x+2)=0\iff x^2+1=0\cup 2x^2+x+2=0$. И двете уравнения нямат реални корени, от където следва, че и даденото уравнение няма реални корени.

4 Задача Решете уравнението $12(x^2+3)-12(x^2+2)=(x^2+2)(x^2+3)$.

Решение: Даденото уравнение можем да запишем във вида $12(x^2+2+1)-12(x^2+2)=(x^2+2)(x^2+2+1)$. Забелязваме, че изразът $x^2+2$ се повтаря и за това полагаме $x^2+2=t$ и така получаваме уравнението $12(t+1)-12t=t(t+1)\iff 12t+12-12t=t^2+t\iff t^2+t-12=0$, от където намираме, че $t_1=3$ и $t_2=-4$. Сега се връщаме в положеното, така получаваме, че $x^2+2=3$ или $x^2+2=-4$. Първото уравнение има два корена $x_{1,2}=\pm 1$, а второто уравнение $x^2=-6$ няма реални корени.

5 Задача Решете уравнението $(x^2+x-2)^2-4x^2-4x+8=0$.

Решение: Забелязваме, че даденото уравнение можем да запишем във вида $(x^2+x-2)^2-4(x^2+x-2)=0$. Полагаме $x^2+x-2=t$. Така получаваме уравнението $t^2-4t=0$, от където намираме, че $t_1=0$ и $t_2=4$. Сега се връщаме в положеното и решаваме квадратните уравнения $x^2+x-2=0$ и $x^2+x-6=0$. Първото има корени $x_1=1$ и $x_2=-2$, а второто има корени $x_3=2$ и $x_4=-3$.

6 Задача Решете уравнението $y^6-7y^3-8=0$.

Решение: Забелязваме, че даденото уравнение можем да запишем във вида $(y^3)^2-7y^3-8=0$. Сега полагаме $y^3=t$ и получаваме уравнението $t^2-7t-8=0$. След като го решим намираме, че $t_1=8$ и $t_2=-1$. Връщаме и имаме, че $y^3=8$ или $y^3=-1$ от където намираме, от първото уравнение, че $y^3-2^3=0\iff (y-2)(y^2+2y+4)=0\iff y_1=2$ и $y^3+1=0\iff (y+1)(y^2-y+1)=0\iff y_2=-1$.

7 Задача Решете уравнението $x^4+6x^3-8x=48$.

Решение: Записваме уравнението във вида $x^4+6x^3-8x-48=0$. Сега разлагаме дясната му страна чрез групиране и получаваме $x^3(x+6)-8(x+6)=0\iff  (x^3-8)(x+6)=0\iff$ 

$ (x-2)(x^2+2x+4)(x+6)=0$. Не е трудно да забележим, че квадратният тричлен $x^2+2x+4$ приема само положителни стойности, защото дискриминантата му е по-малка от нула. Следователно даденото уравнение е еквивалентно на уравнението $(x-2)(x+6)=0$, което след като решим получаваме, че $x_1=2$ и $x_2=-6$.

Задача за самостоятелна работа:

1. Решете чрез подходящо полагане уравнението:

а) $(x^2-x)^2+2(x^2-x)-8=0$; б) $(x^2-2x)(x^2-2x-3)=4$;

в) $(2y+3)^4-20(2y+3)^2+64=0$; г) $(x-\sqrt{3})^4-30(y-\sqrt{3})^2+216=0$.

2. Решете уравнението $(z^2-16z)^2-2(z^2-16z)-63=0$.

3. Решете уравнението $y^4+y^3+2y+2+3y^2=0$.

4. Решете уравнението $x^8-8x^4-128=0$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу: