Формули на Виет 8 клас

Теорема 1: Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$), то са изпълнени следните равенства: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и $x_1.x_2=\frac{c}{a}$.

Зависимостите между корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение от Теорема 1 и неговите коефициенти се наричат формули на Виет (последните две равенства от Теорема 1).

Важно е да споменем, че формулите на Виет не ни гарантират наличието на реални решения на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$.

Със следващата теорема, която се нарича обратна теорема на Виет можем да възстановим едно квадратно уравнение, ако знаем неговите корени. 

Теорема 2 (обратна теорема на Виет): Ако за числата $x_1$ и $x_2$ са в сила равенствата $x_1+x_2=-p$ и $x_1.x_2=q$, то $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+px+q=0$.

Преди да преминем към разглеждането на задачите, нека кажем и някои важни следствия от формулите за съкратено умножение, които съществено ще използваме в някои от примерите.

Сборът $x_1^2+x_2^2$ можем да представим като сбор и произведение на корените $x_1$ и $x_2$ по следният начин: $x_1+x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ (лесно се вижда, че като развием формулата от дясната страна на това равенство ще получим $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=x_1^2-x_2^2$). 

Сборът $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$ представяме израза ($x_1^2+x_2^2$ по вече описаният по-горе начин).

Разликата $|x_1-x_2|$ можем да представим като сума и произведение на корените $x_1$ и $x_2$ по следният начин:

$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$. Ссега след като коренуваме първата и третата част на последното двойно равенство получаваме, че $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$.

Нека да разгледаме някои примери, в които ще прилагаме формулите на Виет.

1 Задача Проверете дали числата $-3$ и $4$ са корени на квадратното уравнение $x^2+x-12=0$ без да го решавате.

Решение: В даденото уравнение $a$=1, $b=1$ и $c=-12$. Като приложим формулите на Виете на Виет имаме, че $-3+4=-1=-\frac{b}{a}$ и $-3.4=-12=\frac{c}{a}$, следователно дадените числа са корени на квадратното уравнение $x^2+x-12=0$.

2 Задача Съставете квадратно уравнение с корени числата:

а) $x_1=1$ и $x_2=-3$; б) $x_1=9$ и $x_2=4$; в) $x_1=-3$ и $x_2=-5$.

Решение: а) За решаването на тази задача ще използваме обратната теорема на Виет. От нея знаем, че $x_1+x_2=-p$ т.е. $1-3=-p\iff p=2$ и $x_1.x_2=q$ т.е. $1.(-3)=q\iff q=-3$. Следователно търсеното уравнение има вида $x^2+2x-3=0$.

б) Прилагаме обратната теорема на Виет. Следователно $9+4=-p\iff p=-13$. Освен това $9.4=q\iff q=36$, от където търсеното уравнение е $x^2-13x+36=0$.

в) Имаме, че $-3-5=-p\iff p=8$ и $-3.(-5)=q\iff q=15$, следователно търсеното уравнение има вида $x^2+8x+15=0$.

3 Задача Без да решавате даденото квадратно уравнение определете дали то има корени и ако има корени, определете техните знаци:

а) $2x^2+7x+3=0$; б) $3x^2-7x+2=0$; в) $x^2-37x-17=0$; г) $2x^2+\sqrt{5}x-3=0$.

Решение: а) Първо за да определим дали това уравнение има реални корени трябва да пресметнем неговата дискриминанта т.е. $D=7^2-4.3.2=49-24=25>0$ следователно уравнението има два реални и различни корена $x_1$ и $x_2$. Когато търсим знаците на корените на дадено квадратно уравнение винаги започваме от произведението на двата корена. Така имаме, че $x_1.x_2=\frac{3}{2}$. Вземаме в предвид факта, че едно произведение от два множителя е по-голямо от нула, тогава и само тогава, когато множителите имат или положителни знаци или отрицателни знаци. Следователно имаме, че $x_1>0$ и $x_2>0$ или $x_1<0$ и $x_2<0$. Сега вече разглеждаме и сумата от двата корена. Тъй като $x_1+x_2=-\frac{7}{2}$ можем да направим и извода, че няма как двата корена да са по-големи от $0$ и в същото време тяхната сума да бъде отрицателно число, следователно заключаваме, че $x_1<0$ и $x_2<0$. 

б) Разглеждаме произведението $x_1.x_2$. От формулите на Виет $x_1.x_2=\frac{2}{3}$. Следователно имаме два случая, първият е $x_1>0$ и $x_2>0$ или $x_1<0$ и $x_2<0$. Като вземем в предвид обаче, че $x_1+x_2=\frac{7}{3}$ можем да направим извода, че $x_1>0$ и $x_2>0$.

в) Разглеждаме произведението на двата корена $x_1.x_2=-17$, следователно имаме два случая, първо $x_1>0$ и $x_2<0$ или $x_1<0$, а $x_2>0$.

г) Разглеждаме $x_1.x_2=-\frac{3}{2}$. Следователно имаме два случая, единият е $x_1>0$ и $x_2<0$ или $x_1<0$ и $x_2>0$. И тук, както и в подточка в) не можем да направим извод за това, кой от двата корена е положителен, и кой отрицателен.

4 Задача Дадено е квадратното уравнение $4x^2-x-8=0$ с корени $x_1$ и $x_2$. Без да решавате даденото уравнение пресметнете стойността на израза:

a) $x_1+4x_1x_2+x_2$; б) $7x_1+3x_1x_2+7x_2$; в) $x_1(16-x_2)+2x_2(x_1+8)$.

Решение: а) От формулите на Виет за даденото уравнение намираме, че $x_1+x_2=\frac{1}{4}$, а $x_1x_2=-2$. Сега разглеждаме даденият израз $x_1+4x_1x_2+x_2$ и забелязваме, че можем да го запишем във вида $x_1+x_2+4x_1x_2$. Сега заместваме $x_1+x_2$ с $\frac{1}{4}$ и $x_1x_2$ с $-2$ и получаваме, че $x_1+x_2+4x_1.x_2=\frac{1}{4}+4(-2)=\frac{1}{4}-8=-\frac{31}{4}$.

б) Даденият израз $7x_1+3x_1x_2+7x_2$ можем да запишем във вида $7x_1+7x_2+3x_1x_2=7(x_1+x_2)+3x_1x_2$. Сега заместваме в даденият израз $x_1+x_2$ с $\frac{1}{4}$ и $x_1x_2$ с $-2$ и получаваме, че $7x_1+7x_2+3x_1x_2=7.\frac{1}{4}+3(-2)=\frac{7}{4}-6=-\frac{14}{4}=-\frac{7}{2}$.

в) Разкриваме скобите в разглеждания израз и получаваме $16x_1-x_1x_2+2x_1x_2+16x_2$, сега извършваме привиденията и за дадения израз получаваме, че той е равен на $16(x_1+x_2)+x_1x_2$. Сега заместваме $x_1+x_2=\frac{1}{4}$ и $x_1x_2=-2$ от където имаме, че $16(x_1+x_2)+x_1x_2=16.\frac{1}{4}-2=2$.

5 Задача Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2-px+\frac{p^2}{3}=0$, където $p$ е реален параметър, да се докаже, че изразът $x_1^3+x_2^3$ не зависи от $p$.

Решение: Както видяхме в началото на този урок изразът $x_1^3+x_2^3$ можем да представим във вида (1)$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$. От формулите на Виет за даденото уравнение имаме, че $x_1+x_2=p$, а $x_1x_2=\frac{p^2}{3}$. Сега заместваме сбора и произведението в дясната страна на (1) и получаваме, че $x_1^3+x_2^3=p(p^2-3.\frac{p^2}{3})=p.0=0$. Следователно стойността на израза $x_1^3+x_2^3$ не зависи от стойностите на параметъра $p$. 

6 Задача За уравнението $x^2-ax+a-1=0$ с реален параметър $a$ и корени $x_1$ и $x_2$ намерете най-малката стойност на израза $x_1^2+x_2^2$ и за коя стойност на $a$ се получава тя.

Решение: Първо изразът $x_1^2+x_2^2$ можем да представим във вида $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$. От формулите на Виет за даденото уравнение имаме, че $x_1+x_2=a$, а $x_1x_2=a-1$. Заместваме в израза $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ $x_1+x_2=a$ и $x_1x_2=a-1$ и получаваме, че $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2(a-1)=a^2-2a+2$. Лесно се вижда, че дясната страна на последното двойно равенство можем да запишем във вида $(a-1)^2+1$. Сега не е трудно да преценим, че последният израз ще има най-малка стойност равна на $1$, когато $(a-1)^2=0$ т.е. когато $a=1$.

7 Задача Без да намирате корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $x^2+6x-3=0$, съставете квадратно уравнение, чиито корени са $\frac{1}{x_{1}^{2}}$ и $\frac{1}{x_{2}^{2}}$.

Решение: От обратната теорема на Виет търсим квадратно уравнение $y^2+py+q=0$, чиито корени са $y_1=\frac{1}{x_{1}^{2}}$ и $y_2=\frac{1}{x_{2}^{2}}$. Така имаме, че $y_1+y_2=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=-p$. Тогава

$\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^2+x_2^2}{(x_1.x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$.

От формулите на Виет за уравнението $x^2+6x-3=0$ имаме, че $x_1+x_2=-6$ и $x_1x_2=-3$, следователно:

$y_1+y_2=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(-6)^2-2(-3)}{(-3)^2}=\frac{14}{3}\implies -p=\frac{14}{3}\implies p=-\frac{14}{3}$.

Знаем, че $q=y_1y_2=\frac{1}{x_1^2}.\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{(x_1x_2)^2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$. Така получаваме уравнението $y^2-\frac{14}{3}y+\frac{1}{9}=0$ и след като преведем под общ знаменател $9$ окончателно търсеното уравнение има вида $9y^2-42y+1=0$.

Задача за самостоятелна работа:

1. Като се използват теоремите на Виет, да се провери дали посочените числа са корени на уравнението:

а) $x^2-8x+15$, $3$ и $5$; б) $x^2+9x+18=0$, $-3$ и $-6$. 

2. Като се използва обратната теорема на Виет, да се състави квадратно уравнение с корени:

а) $x_1=2$ и $x_2=13$; б) $x_1=-4$ и $x_2=-9$; в) $x_1=-8$ и $x_2=6$.

3. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+19x-25=0$, то намерете стойността на израза $\frac{1}{2x_2}+\frac{1}{2x_1}+3$ (ДЗИ 02.06.2003 г.).

4. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2-30x+11=0$, то намерете стойността на израза $x_1(1+x_2)+x_2$ (ДЗИ 12.06.2003 г.).

5.  Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $2x^2-8x=5x-20$, то намерете стойността на израза B=$2x_1+2x_2+\frac{x_1x_2}{2}$ (ДЗИ 2004 г.).

6. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+2x-7=0$, то намерете стойността на израза $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ (ДЗИ 02.2008 г.).

7. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2-10x+18=0$, то намерете стойността на израза $3(x_1+x_2)-x_1x_2$ (ДЗИ 04.06.2008 г.).

8. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+10x+20=0$, то намерете стойността на израза $\frac{x_1x_2^2+x_1^2x_2}{30+x_1+x_2}$ (ДЗИ 04.06.2008 г.).

9. Без да намирате корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $x^2-4x+2=0$, съставете квадратно уравнение, чиито корени са:

а) $-5x_1$ и $-5x_2$; б) $3-x_1$ и $3-x_2$; в) $-\frac{2}{x_1}$ и $\frac{-2}{x_2}$; г) $3x_1-2$ и $3x_2-2$.

10. Без да намирате корените $y_1$ и $y_2$ на квадратното уравнение $y^2-6y+4=0$, съставете квадратно уравнение, чиито корени са:

а) $3y_1+1$ и $3y_2+1$; б) $2y_1-1$ и $2y_2-1$; в) $y_1^2+2$ и $y_2^2+2$; г) $\frac{y_1^2}{y_2}$ и $\frac{y_2^2}{y_1}$.

11. Докажете, че ако едно число е корен на уравнението $ax^4+bx^2+c=0$, то и противоположното му число е корен на това уравнение.

12. Докажете, че ако $y_1$ и $y_2$ са два различни по абсолютна стойност корена на биквадратното уравнение $ay^4+by^2+c=0$, то $y_1^2+y_2^2=-\frac{b}{a}$ и $y_1^2.y_2^2=\frac{c}{a}$.

13. Без да решавате квадратното уравнение, намерете степенните сборове $S_m=x_1^m+x_2^m$ на корените $x_1$ и $x_2$ при $m=2;3;4$.

а) $x^2-5x+6=0$; б) $x^2-3x-4=0$; в) $2x^2-3x-5=0$; г) $5x^2-x-4=0$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеата ми по-долу: