Квадратен корен. Свойства на квадратните корени 8 клас

Преди да преминем към разглеждането на квадратният корен е редно да споменем някои важни факти от теорията на числовите множества. Добре известно е, че:

Множеството на естествените числа $\mathbb{N}$ се състои от всички цели положителни числа, т.е. $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$.

Множеството на целите числа $\mathbb{Z}$ се състои от всички цели числа (положителни, неотрицателни и отрицателни), т.е. $\mathbb{Z}=\{\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$.

Множеството на рационалните числа $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}$. Всяко рационално число може да се запише като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Множеството на ирационалните числа $\mathbb{I}=\{\text{множеството на всички безкрайни непериодични десетични дроби}\}$. Такива са например числата $\pi$ (отношението на дължината на окръжност към нейният диаметър), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и т.н.

Множество на реалните числа $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$, т.е. множеството на реалните числа представлява обединението на множествата на рационалните и ирационалните числа.

Още за числовите множества може да прочетете тук.

Освен познатите ни действия с числа - събиране, изваждане, умножение и деление важно място заема и действието коренуване.

Определение 1: Квадратен корен (или още наричан корен втори) на дадено неотрицателно число $a$ е неотрицателно число, което повдигнато на втора степен дава числото $a$. 

Т.е. при $a\geq 0$ имаме, че $\sqrt{a}=x\iff$ $x\geq 0$, $x^2=a$.

Нека сега да разгледаме и правилата за действие с квадратни корени, които ще прилагаме в задачите, които ще разгледаме по-долу:

1) Коренуване на произведение $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$, при $a\geq 0$, $b\geq 0$. Вярно е разбира се и обратното, че $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$ за $a\geq 0$, $b\geq 0$.

2) Коренуване на частно $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, при $a\geq 0$ и $b>0$. И тук е вярно и обратното, че $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ за $a\geq 0$ и $b>0$.

3) Коренуване на степен $\sqrt{a^2}=|a|$, при $a\in\mathbb{R}$.

4) Степенуване на корен $(\sqrt{a})^n=\sqrt{a^n}$, $a\geq 0$.

5) Внасяне на множител под корен $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$, $a\geq 0$, $b\geq 0$.

6) Изнасяне на множител пред корен $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$, $a\in\mathbb{R}$, $b\geq 0$.

7) Сравняване на корени $0\leq a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

8) Рационализиране на знаменателя на дроб $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$ и $\frac{a}{\sqrt{b}\pm\sqrt{c}}=\frac{a(\sqrt{b}\mp\sqrt{c})}{b-c}$, за $b>0$, $c>0$ и $b\neq c$.

Сега нека да разгледаме някои задачи.

1 Задача Дадени са числата $1,2(1)$; $\frac{3}{2,1}$; $\sqrt{121}$ и $\sqrt{122}$. Посочете кое от тези дадени числа не е рационално и обосновете отговорът си.

Решение: Ще разгледаме всяко едно от дадените числа поотделно. Първото число $1,2(1)$ представлява една десетична периодична дроб. Тъй като всяко рационално число може да се запише, като крайна или безкрайна периодична десетична дроб, то следва, че числото $1,2(1)$ е рационално. Второто число $\frac{3}{2,1}$ можем да запишем, като $\frac{3}{\frac{21}{10}}=\frac{30}{21}=\frac{10}{7}$. Това число отново е рационално, защото множеството на рационалните числа се състоеше от всички числа от вида $\frac{m}{n}$, където $m\in\mathbb{Z}$, а $n\in\mathbb{N}$ и, тъй като $10\in\mathbb{Z}$, а $7\in\mathbb{N}$ следва, че това число е рационално. Третото число $\sqrt{121}$ е точен квадрат, т.е. $\sqrt{121}=11$, което също е рационално число, защото $11\in \mathbb{Z}$, а $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ (с други думи казано - всички естествени числа са цели, а всички цели числа са рационални). Накрая остана единствено числото $\sqrt{122}$, което е ирационално. 

2 Задача Намерете квадратните корени на: 

а) $\sqrt{16}$, $\sqrt{25}$, $\sqrt{64}$ и $\sqrt{100}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{25}}$, $\sqrt{\frac{4}{81}}$, $\sqrt{\frac{9}{100}}$, $\sqrt{\frac{49}{9}}$;

в) $\sqrt{0,09}$, $\sqrt{0,04}$, $\sqrt{0,49}$, $\sqrt{0,81}$.

Решение: а) $\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$, $\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$, $\sqrt{64}=\sqrt{8^2}=8$, $\sqrt{100}=\sqrt{10^2}=10$;

б) $\sqrt{\frac{1}{25}}=\sqrt{(\frac{1}{5})^2}=\frac{1}{5}$, $\sqrt{\frac{4}{81}}=\sqrt{(\frac{2}{9})^2}=\frac{2}{9}$, $\sqrt{\frac{9}{100}}=\sqrt{(\frac{3}{10})^2}=\frac{3}{10}$, $\sqrt{\frac{49}{9}}=\sqrt{(\frac{7}{3})^2}=\frac{7}{3}$;

в) $\sqrt{0,09}=\sqrt{0,3^2}=0,3$, $\sqrt{0,04}=\sqrt{0,2^2}=0,2$, $\sqrt{0,49}=\sqrt{0,7^2}=0,7$, $\sqrt{0,81}=\sqrt{0,9^2}=0,9$.

3 Задача Запишете като степен подкоренната величина и извършете коренуването:

а) $\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}$; б) $\sqrt{1,2.1,2}$; в) $\sqrt{3\frac{2}{3}.3\frac{2}{3}}$.

Решение: а) $\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}$;

б) $\sqrt{1,2.1,2}=\sqrt{(1,2)^2}=1,2$;

в) $\sqrt{3\frac{2}{3}.3\frac{2}{3}}=\sqrt{(\frac{11}{3})^2}=\frac{11}{3}$.

4 Задача Да се определят допустимите стойности на $x$ в израза:

а) $\sqrt{x-5}$; б) $\sqrt{2x-7}$; в) $\sqrt{\frac{5}{4x-11}}$; г) $\sqrt{3x+4}-\frac{1}{11x-14}$ 

Решение: а) Както видяхме по-горе за да можем да извършим действието коренуване е необходимо подкоренната величина да бъде по-голяма или равна на нула (т.е. да е неотрицателна) следователно подкоренната величина в израза $\sqrt{x-5}$, която е $x-5$ трябва да бъде по-голяма или равна на $0$. Тогава за да намерим допустимите стойности на израза трябва да разгледаме линейното неравенство $x-5\geq 0\iff x\geq 5$ (как се решават линейни неравенства може да прочетете в статията ми посветена на тази тема тук), следователно за допустими стойности на разглежданият израз получаваме, че $x\in [5,+\infty$).

б) За да намерим допустимите стойности на израза трябва да решим неравенството $2x-7\geq 0\iff 2x\geq 7\iff x\geq\frac{7}{2}$. Така получаваме, че $x\in [\frac{7}{2},+\infty)$.

в) Подкоренната величина на даденият израз $\sqrt{\frac{5}{4x-11}}$ представлява дроб. Както знаем дробната черта означава деление, а добре известно е, че на нула не се дели. Следователно можем да направим първият извод, а именно, че знаменателят $4x-11$ трябва да бъде различен от $0$, т.е. $4x-11\neq 0\iff x\neq\frac{11}{4}$. Освен това разглежданата дроб трябва да бъде по-голяма или равна на нула. Ясно, е че тя няма как да бъде равна на нула, защото нейният числител е $5$ (една дроб може да бъде равна на нула само, когато нейният числител е равен на нула). Остава да преценим кога $\frac{5}{4x-11}>0$. Добре известно е, че $\frac{+}{+}=+$ и $\frac{-}{-}=+$. Тъй като нашият числител е положителен (равен е на $5$), за да бъде цялата дроб положителна е необходимо и нейният знаменател да е положителен (така ще имаме $\frac{+}{+}=+$) т.е. $4x-11>0\iff x>\frac{11}{4}$. Така за допустими стойности на израза имаме $x\in (\frac{11}{4},+\infty)$.

г) За тази подточка трябва да съобразим две неща. Първото е наличието на квадратен корен и това, че подкоренната величина трябва да бъде по-голяма или равна на нула. Второто е наличието на дроб, и както знаем нейният знаменател трябва да бъде различен от нула. Така получаваме, че $3x+4\geq 0$ и $11x-14\neq 0$. За $3x+4\geq 0$ имаме, че $3x\geq -4\iff x\geq -\frac{4}{3}$ от една страна, и от друга за $11x-14\neq 0$ - $x\neq \frac{14}{11}$. Така за допустими стойности получаваме, че $x\in [-\frac{4}{3},\frac{14}{11})\cup (\frac{14}{11},+\infty)$.

5 Задача Пресметнете:

а) $\sqrt{9.36}$; б) $\sqrt{25.81.100}$; в) $\sqrt{\frac{81}{25}}$; г) $\sqrt{\frac{16}{49}}$; д) $\sqrt{\frac{121}{144}}$.

Решение: а) $\sqrt{9.36}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=\sqrt{3^2}.\sqrt{6^2}=3.6=18$;

б) $\sqrt{25.81.100}=\sqrt{25}.\sqrt{81}.\sqrt{100}=\sqrt{5^2}.\sqrt{9^2}.\sqrt{10^2}=5.9.10=450$;

в) $\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{9}{5}$;

г) $\sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{7^2}}=\frac{4}{7}$; 

д) $\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{11^2}}{\sqrt{12^2}}=\frac{11}{12}$.

6 Задача Пресметнете:

а) $\frac{\sqrt{49}-\sqrt{25}}{\sqrt{225}}$; б) $\frac{\sqrt{144}+\sqrt{169}}{\sqrt{36}}$; в) $\sqrt{30^2-18^2}$; г) $\frac{\sqrt{625}-\sqrt{196}}{\sqrt{25}+\sqrt{49}}$.

Решение: а) $\frac{\sqrt{49}-\sqrt{25}}{\sqrt{225}}=\frac{\sqrt{7^2}-\sqrt{5^2}}{\sqrt{15^2}}=\frac{7-5}{15}=\frac{2}{15}$;

б) $\frac{\sqrt{144}+\sqrt{169}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{12^2}+\sqrt{13^2}}{\sqrt{6^2}}=\frac{12+13}{6}=\frac{25}{6}$;

в) $\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{(30-18)(30+18)}=\sqrt{12.48}=\sqrt{576}=\sqrt{24^2}=24$;

7 Задача Внесете множител под знака на квадратния корен:

а) $3\sqrt{7}$; б) $5\sqrt{2}$; в) $6\sqrt{6}$; г) $4\sqrt{9}$.

Решение: а) $3\sqrt{7}=\sqrt{3^2.7}=\sqrt{9.7}=\sqrt{63}$; 

б) $5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{25.2}=\sqrt{50}$; 

в) $6\sqrt{6}=\sqrt{6^2.6}=\sqrt{36.6}=\sqrt{216}$; 

г) $4\sqrt{9}=\sqrt{4^2.9}=\sqrt{16.9}=\sqrt{144}$.

8 Задача Изнесете множител пред квадратния корен:

а) $\sqrt{50}$; б) $\sqrt{72}$; в) $\sqrt{108}$; г) $\sqrt{405}$.

Решение: а) $\sqrt{50}=\sqrt{25.2}=\sqrt{25}.\sqrt{2}=5\sqrt{2}$; 

б) $\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=\sqrt{36}.\sqrt{2}=6\sqrt{2}$; 

в) $\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=\sqrt{36}.\sqrt{3}=6\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{405}=\sqrt{81.5}=\sqrt{81}.\sqrt{5}=9\sqrt{5}$.

9 Задача Рационализирайте знаменателите на следните дроби:

а) $\frac{3}{\sqrt{5}}$; б) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$; в) $\frac{5}{2\sqrt{3}}$; г) $\frac{11}{\sqrt{5}+3}$; д) $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$; е) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}$.

Решение: а) $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$; б) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}.\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{42}}{6}$; 

в) $\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{2\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2.3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$;

 г)  Тук ще умножим и разделим по спрегнатото на знаменателя. Припомняме, че спрегнатото на $a-b$ е $a+b$ и обратно, спрегнатото на $a+b$ е $a-b$. Целта ни е в знаменателя да получим формулата за сбор по разлика, от където $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Така повдигайки на втора степен $a$ и $b$ корените ще изчезнат. Да реализираме казаното по-горе за даденият пример. Така имаме, че $\frac{11}{\sqrt{5}+3}=\frac{11}{\sqrt{5}+3}.\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3}$. Сега умножаваме числителите и знаменателите на двете дроби. Не е трудно да се види, че в този случай като произведение на двата знаменателя ще получим формулата за сбор по разлика от където имаме, че $\frac{11(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5})^2-3^2}=\frac{11(\sqrt{5}-3)}{5-9}=-\frac{11(\sqrt{5}-3)}{4}$. 

д) $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$; 

е) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}.\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}{(2\sqrt{5})^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{2\sqrt{10}-6}{20-6}=\frac{2(\sqrt{10}-3)}{14}$ $=\frac{\sqrt{10}-3}{7}$.

10 Задача Сравнете числата:

а) $\sqrt{17}$ и $\sqrt{13}$; б) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{14}$; в) $6\sqrt{3}$ и $5\sqrt{4}$; г) $\frac{5}{3}\sqrt{3}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$; д) $-3$ и $-\sqrt{8}$. 

Решение: а) За да сравняваме квадратни корени ще използваме факта, че ако $a<b$, то и $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. В този случай, тъй като $17>13$ то и $\sqrt{17}>\sqrt{13}$; 

б) За да може да сравним числата в този случай трябва да внесем числото $2$ под корен, така получаваме, че $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2.3}=\sqrt{12}$. Сега сравняваме $\sqrt{12}$ и $\sqrt{14}$ и така можем да кажем, че $\sqrt{12}<\sqrt{14}$ т.е. $2\sqrt{3}$<$\sqrt{14}$; 

в) Внасяме $6$ и $5$ под знака за квадратен корен величини и получаваме $6\sqrt{3}=\sqrt{6^2.3}=\sqrt{108}$ и $5\sqrt{4}=\sqrt{5^2.4}=\sqrt{100}$, следователно $6\sqrt{3}>5\sqrt{4}$; 

г) Внасяме $\frac{5}{3}$ и $\frac{1}{2}$ под знака за коренуване и получаваме, че $\sqrt{(\frac{5}{3})^2.3}=\sqrt{\frac{25}{3}}$ и $\sqrt{(\frac{1}{2})^2.8}=\sqrt{2}$. Сега ясно се вижда, че $\frac{25}{3}>2$ и следователно г) $\frac{5}{3}\sqrt{3}$<$\frac{1}{2}\sqrt{8}$; 

д) За да сравним дадените числа записваме $-3$ като $-\sqrt{9}$ и $-\sqrt{8}$. Сега лесно съобразяваме, че двете числа са отрицателни и тогава по-голямото от двете е по-малкото по модул т.е. $-\sqrt{9}<-\sqrt{8}$ или $-3<-\sqrt{8}$.

11 Задача Извършете действията:

а) $2\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{75}$; б) $3\sqrt{20}-\sqrt{3}+\sqrt{75}$; в) $(\sqrt{3}-\sqrt{18})(\sqrt{3}+3\sqrt{2})$; г) $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2+\sqrt{3}.\sqrt{125}$.

Решение: а) $2\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{75}=2\sqrt{3}-\sqrt{4.3}+\sqrt{25.3}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=5\sqrt{3}$;

б) $3\sqrt{20}-\sqrt{3}+\sqrt{75}=3\sqrt{4.5}-\sqrt{3}+\sqrt{3.25}=6\sqrt{5}-\sqrt{3}+5\sqrt{3}=6\sqrt{5}+4\sqrt{3}$;

в) $(\sqrt{3}-\sqrt{18})(\sqrt{3}+3\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{18})^2=3-18=-15$; 

г) $(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2+\sqrt{3}.\sqrt{125}=(2\sqrt{3})^2-2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2+\sqrt{3}.\sqrt{25.5}=$ $=12-4\sqrt{15}+5+5\sqrt{15}=17+\sqrt{15}$.

12 Задача Като отделите точен квадрат в подкоренната величина, извлечете корен от:

а) $\sqrt{14+6\sqrt{5}}$; б) $\sqrt{28-10\sqrt{3}}$.

Решение: а) При решаване на задачи от този тип, ще се стремим под знака на квадратният корен да получим формулата за съкратено умножение $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$. Като вземем в предвид това, което казахме по-горе даденият ирационален израз $\sqrt{14+6\sqrt{5}}$ можем да запишем по следният начин $\sqrt{14+6\sqrt{5}}=\sqrt{14+2.3.\sqrt{5}}$. Не е трудно да забележим, че ако запишем $14$ като $9+5$ под знака на квадратният корен получаваме $\sqrt{9+2.3.\sqrt{5}+5}$. Сега вземаме в предвид, че $5=(\sqrt{5})^2$ и така имаме, че $\sqrt{9+2.3.\sqrt{5}+5}=\sqrt{3^2+2.3.\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2}=3+\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{28-10\sqrt{3}}$

13 Задача Вярно ли е равенството $\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$.

Решение: Нека да означим лявата страна на това равенство с $A$, а дясната с $B$, т.е. $A=\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$ и $B=\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$. Ще проверим, дали $A=B$. Нека да рационализираме знаменателите на дробите в $A$ и да извършим действията. Така получаваме, че 

$A=\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}.\frac{\sqrt{10}-\sqrt{7}}{\sqrt{10}-\sqrt{7}}=\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5}+\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}$. Сега привеждаме под общ знаменател $15$ и получаваме: 

$\frac{15\sqrt{7}+15\sqrt{2}+15\sqrt{10}-15\sqrt{7}}{15}=\frac{15\sqrt{2}+15\sqrt{10}}{15}=\sqrt{10}+\sqrt{2}$. Сега рационализираме знаменателят на $B$ и получаваме:

$B=\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{10-2}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{8}$.Очевидно тук $A\neq B$ и следователно равенството не е вярно.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Извършете действията:

а) $3\sqrt{17}+5\sqrt{17}+8\sqrt{3}-6\sqrt{3}-8\sqrt{17}$; б) $4\sqrt{2}-5\sqrt{2}+\sqrt{2}$; в) $\sqrt{7}(3\sqrt{3}-\sqrt{2})$.

2. Пресметнете:

а) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-2(\sqrt{6}-2)$; б) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2-(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2$; в) $\sqrt{7}(\sqrt{5}-1)-\sqrt{5}(\sqrt{7}+1)$.

3. Рационализирайте знаменателите на дробите:

а) $\frac{2}{\sqrt{11}}$; б) $\frac{2}{3\sqrt{14}}$; в) $\frac{1}{11-\sqrt{5}}$; г) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$; д) $\frac{4}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$; е) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.

4. Вярно ли е равенството: 

а) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{4}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

б) $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$;

в) $\frac{2\sqrt{18}+4\sqrt{2}-5\sqrt{8}}{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}=0$;

г) $(\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2})(\sqrt{80}+5)=\frac{11}{2}$;

д) $(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}).\frac{2}{\sqrt{3}}=2$.

5. Ако $\sqrt{27}-x=4\sqrt{3}+\sqrt{12}$, намерете стойността на израза $A=5\sqrt{3}-\sqrt{75}-x$. Да се сравнят числото $a=2\sqrt{7}$ и $A$.

6. Рационализирайте знаменателя на дробите $A=\frac{5}{2\sqrt{3}}$ и $\frac{11}{2\sqrt{5}+3}$.

7. Подредете по големина числата $a=2\sqrt{10}$, $b=\sqrt{18}$ и $c=4\sqrt{2}$.

8. Намерете стойността на израза: 

а) $P=\sqrt{(5-4\sqrt{3})^2}+(\sqrt{3}-2)^2$;

б) $M=(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+\frac{24}{\sqrt{6}}$;

в) $K=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$;

г) $A=\frac{7}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{17}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

д) $N=\sqrt{200}+(2\sqrt{96}+3\sqrt{150}-7\sqrt{54})^2$;

е) $F=(\sqrt{2\sqrt{6}+7}-\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2$.

9. Извършете означените действия:

$|5-2\sqrt{8}|+(\sqrt{162}-2)\sqrt{8}+(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}$.

10. Опростете израза:

а) $\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{19}-8\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$.

11. Даден е полиномът $A=9x-9p-x^3+3px^2-3p^2x+p^3$. Да се намерят стойностите на $p$, при които коефициентът пред първата степен на неизвестното в нормалния вид на полинома $A$, е равен на стойността на израза $B=(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}+\frac{2}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}+\frac{6\sqrt{2}}{19}):\frac{\sqrt{3}}{19}$.

 Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеата ми по-долу: