Средна основа (отсечка) на трапец 8 клас

Определение 1: Средна основа (отсечка) на трапец, ще наричаме отсечката, която съединява средите на бедрата на трапеца.

В сила са следните две теореми:

Теорема 1: Правата, която минава през средата на едното бедро на трапеца и е успоредна на една от неговите основи, разполовява и другото му бедро.

Теорема 2: Средната отсечка на един трапец е успоредна на основите му и е равна на полусбора им. 

С други думи, ако имаме, че $ABCD$ е трапец, в който $AB\parallel CD$ и $AM=MD$, също така и $BN=NC$, тогава $MN\parallel AB\parallel CD$ и освен това $MN=\frac{AB+CD}{2}$.

Нека да разгледаме следните няколко примера:

1 Задача Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по $14$ $cm$, а единият от ъглите му е $120^{\circ}$. Да се намери средната основа на трапеца.

Решение:

Тай като $\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ}$ и $\sphericalangle C=120^{\circ}$ (по условие) следва, че $\sphericalangle B=60^{\circ}$. Но по условие от $AC=AB\implies \triangle ABC$ e равнобедрен триъгълник с ъгъл от $60^{\circ}$ от където можем да кажем, че $\triangle ABC$ е равностранен и $AC=AB=BC=14$ $cm$ (повече за равнобедрения и равностранен триъгълник може да намерите тук). Освен това $\sphericalangle CAB=60^{\circ}\implies \sphericalangle CAD=30^{\circ}$. Като приложим теоремата за катет срещу остър ъгъл от $30^{\circ}$ в правоъгълен триъгълник следва, че $CD=\frac{1}{2}AC$ и $CD=7$ $cm$. Сега прилагаме формулата за средна основа в трапец т.е. $MN=\frac{AB+CD}{2}$ и $MN=\frac{14+7}{2}=10,5$ $cm$.

2 Задача Диагоналите на равнобедрен трапец $ABCD$ ($AB\parallel CD$) се пресичат в точка $O$. Ъглополовящата на $\sphericalangle OAB$ е перпендикулярна на $BO$. Ако $AC=18$ $cm$, намерете дължината на средната основа на трапеца

Решение:

Тъй като $AL$ е ъглополовяща и $AL\perp BO$ следва, че $\triangle ABO$ е равнобедрен и $AO=AB$ (триъгълник, в който ъглополовящата и височината към една от страните му съвпадат е равнобедрен триъгълник, може да се докаже, като се разгледат $\triangle ALO$ и $\triangle ALB$ и се докаже, че те са еднакви) и $\sphericalangle AOB=\sphericalangle ABO$. От това, че $ABCD$ е равнобедрен трапец знаем, че $\sphericalangle OAB=\sphericalangle OBA$ (от $\sphericalangle A=\sphericalangle B$ и от $\triangle ACD\cong \triangle BCD\implies \sphericalangle DAC=\sphericalangle CBD$) следователно $\triangle ABO$ има три равни ъгъла по $60^{\circ}$ и $\sphericalangle OAL=\sphericalangle LAB=30^{\circ}$. От тук можем да кажем и, че $\triangle DOC$ също е равностранен и $DO=CO=DC$ ($\sphericalangle AOB=\sphericalangle DOC=60^{\circ}$ - връхни ъгли, $\sphericalangle OAB=\sphericalangle OCD=60^{\circ}$ - кръстни ъгли и $\sphericalangle OBA=\sphericalangle ODC=60^{\circ}$ - кръстни ъгли). Знаем, че средната основа $MN=\frac{AB+CD}{2}$. Нека $MN\cap AC=P$ и $MN\cap BD=Q$. Сега да означим $CO=CD=x$, следователно $AO=AB=14-x$, тогава $MN=\frac{14-x+x}{2}=7$ $cm$.

3 Задача В трапеца $ABCD$ ъглополовящите на външните ъгли при върховете $A$ и $D$ се пресичат в точка $P$, а тези при върховете $B$ и $C$ - в точка $Q$. Докажете, че $P_{ABCD}=2PQ$.

Решение:

Нека $\sphericalangle SAP=\sphericalangle PAD=\alpha$, следователно $\sphericalangle DAB=180^{\circ}-2\alpha$ (съседни ъгли). Аналогично $\sphericalangle TBQ=\sphericalangle QBC=\beta$ и $\sphericalangle ABC=180^{\circ}-2\beta$ (съседни ъгли). Така получаваме, че $\sphericalangle ADC=2\alpha$ и $\sphericalangle BCD=2\beta$ (това още може да се докаже, като се вземе в предвид, че $\sphericalangle SAB=\sphericalangle ADC$, като кръстни ъгли, аналогично и $\sphericalangle TBC=\sphericalangle BCD$). Така от тук имаме, че $\sphericalangle ADP=\sphericalangle PDF=90^{\circ}-\alpha$ (от $\sphericalangle ADC=2\alpha\implies \sphericalangle ADF=180^{\circ}-2\alpha - съсeдни ъгли$) $\implies \sphericalangle DPA=\sphericalangle DPF=90^{\circ}$ ($DP$ - ъглополовяща). Аналогично $\sphericalangle BCQ=\sphericalangle QCR=90^{\circ}-\beta\implies \sphericalangle CQR=\sphericalangle CQB=90^{\circ}$. Така получаваме, че $DP$ и $CQ$ са височини и ъглополовящи, следователно $\triangle FAD$ и $\triangle RBC$ са равнобедрени и $DF=DA$, и $CR=CB$. Освен това точките $P$ и $Q$ са седи съответно на $FA$ и $BR$ ($DP$ и $CQ$ - медиани в равнобедрени триъгълници). 

Тъй като $\triangle SAP\cong \triangle DAP\implies SP=DP$, аналогично $\triangle CQB\cong \triangle BTQ\implies TQ=CQ$ $\implies PQ$ е средна отсечка в трапеца $STCD$. Също така от $PK\parallel FD$ и $P$ - среда на $FA\implies$ $PK$  e средна отсечка в $\triangle FAD$ и $PK=\frac{1}{2}FD\implies PK=\frac{1}{2}AD$. Аналогично $QL$ - средна отсечка в $\triangle BRC$ и $QL=\frac{1}{2}CR\implies QL=\frac{1}{2}CB$. Освен това от $K$ и $L$ - среди на $AD$ и $BC$ следва, че $KL$ е средна отсечка в трапеца $ABCD$ (виж Определение 1 от този урок) и $KL=\frac{AB+CD}{2}$. Така получаваме, че $PQ= PK+KL+LQ=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}BC$ следователно $PQ=\frac{1}{2}P_{ABCD}$ т.е. $P_{ABCD}=2PQ$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Средната отсечка на един трапец е $16$ $cm$. Единият от диагоналите му дели средната отсечка на части, разликата на които е $4$ $cm$. Да се намерят основите на трапеца.

2. Даден е равнобедреният трапец $ABCD$ $(AB\parallel CD)$. Едното му бедро е $36$ $cm$, а единият му диагонал разделя средната му основа на части съответно $12$ $cm$ и $30$ $cm$. Да се намерят ъглите на трапеца.

3. Даден е равнобедрен трапец с остър ъгъл $60^{\circ}$ и средна отсечка $15$ $cm$. Да се намерят страните на трапеца, ако средната му отсечка се разделя от диагоналите на три равни части.

4. Даден е равнобедреният трапец $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ с взаимноперпендикулярни диагонали и средна основа, равна на $8$ $cm$. Да се намери лицето на трапеца.

5. Даден е равнобедрен трапец $ABCD$ $(AB\parallel CD)$. Ъглополовящите на ъглите при бедрото $AD$ се пресичат в точка $M$, а ъглополовящите на ъглите при бедрото $BC$ - в точка $K$. Да се намери сборът на основите на трапеца, ако $BC=10$ $cm$ и $MK=4$ $cm$.

6. Диагоналите на трапец образуват с голямата основа ъгли $60^{\circ}$. Да се докаже, че средната отсечка на трапеца е два пъти по-малка от диагонала.

7. Диагоналите $AC$ и $BD$ на равнобедрения трапец $ABCD$ се пресичат в точка $O$. Да се докаже, че ако $AB$ е голямата му основа и $\sphericalangle AOB=60^{\circ}$, то средите на отсечките $AO$, $DO$ и $BC$ са върхове на равностранен триъгълник.

8. Единият от диагоналите и едната основа на правоъгълен трапец са по $14$ $cm$, а единият от ъглите му е $120^{\circ}$. Да се намери средната основа на трапеца. 

9. Средната основа на равнобедрен трапец има дължина $5$ $cm$, а малката основа - $2$ $cm$, а лицето му е $15$ $cm^{2}$. Намерете:

а) дължината на височината на трапеца;

б) ъглите на трапеца.

10. Върху бедрото $AD$ на трапеца $ABCD$ ($AB>CD$) са взети точки $K$ и $M$, които го разделят на три равни части, като $K$ е между $A$ и $M$. През точките $K$ и $M$ са построени съответно прави $k$ и $m$, успоредни на основите на трапеца, които пресичат диагоналите $AC$, $BD$ и другото му бедро съответно в точките $P$, $Q$, $L$ и $T$, $R$, $N$. Да се намерят дължините на малката основа, на отсечките от правите $k$ и $m$, заключени между бедрата на трапеца, и на частите, на които те се делят от диагоналите му, ако се знаят дължините на голямата основа и на отсечката $KP$, съответно $21,6$ $cm$ и $3,6$ $cm$.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеото ми по-долу посветено на средната основа на трапец: