Магията делителите
Спомняте ли си кои са били първите операции с числа, на които се учехте в училище? Това са събиране и изваждане, които сега вероятно вече ви се виждат толкова елементарни, че сякаш сте ги знаели цял живот. След събирането и изваждането, научаваме и че числата могат да се умножават и съответно делят. Делението, особено на по-големи числа, за повечето от нас си остава трудна задача. Но в неговата сложност се крие и магията.
Ако се захванем да откриваме всички делители на всяко
число, ще станем свидетели на много скрити и любопитни закономерности. Да
разгледаме делителите на първите няколко числа:
$2$ се дели на $1$ и на $2$;
$3$ се дели на $1$ и $3$;
$4$ се дели на $1$, $2$ и $4$;
$5$ се дели на $1$ и $5$;
$6$ се дели на $1$, $2$, $3$ и $6$;
$7$ се дели на $1$ и $7$;
$8$ се дели на $1$, $2$, $4$ и $8$;
$9$ се дели на $1$, $3$ и $9$;
$10$ се дели на $1$, $2$, $5$ и $10$;
$11$ се дели на $1$ и $11$ и т.н.
Прости числа
Първото, което ни прави впечатление е, че има числа, които
се делят само на $1$ на самите себе си (като $2$, $5$, $7$, $11$). С тях, разбира се, деленето
е най-лесно и всички числа, които се делят само на 1 и на себе си наричаме прости числа.
Сега нека към първоначалния списък прибавим още няколко
прости числа:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53\ldots$
На пръв поглед изглежда, че простите числа нямат никаква
логическа последователност или формула, с която да можем да предвидим кое би
било следващото просто число. И наистина, ако изобщо има такава формула, то тя
все още не ни е известна.
Колко на брой са простите числа и къде да ги намерим е
въпрос, който още от древността мъчи умовете на гениални математици. Известно
ни е, че простите числа са безкрайно много. Доказателство за това дава
древногръцкия математик Евклид, живял IV-III в.пр.н.е, чрез метода на допускане на
противното - тоест, ако простите числа имаха краен брой. За да обясним
доказателството, ще обозначим последното от тях с $n$, а произведението на
всички прости числа ще обозначим с $p$. Прибавяйки към него 1, ще получим
числото $(p+1)$, което съответно се състои от две събираеми, първото от
които се дели на всяко просто число, а второто е $1$. Следователно числото $(р +1)$ не може да бъде разделено на никое просто число, защото разделено на кое да е
просто число винаги ще дава остатък $1$. Откъдето следва, че или то самото е просто
число, или се дели на просто число по-голямо от $n$, но ние допуснахме, че $n$ е най-голямото просто число и стигаме до противоречие. Следователно
няма най-голямо просто число и простите числа са безкрайни.
За съжаление, търсенето на формула, по която се получават
прости числа, няма същия успех като откриването на броя им, а опитите за това
са също толкова стари. Отново в Древна Гърция откриваме един от методите за
определяне на прости числа, известен като решето на Ератостен. За да
приложим метода, взимаме произволен интервал от числа - например от $1$ до $50$.
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
21. 22. 23.
24. 25. 26.
27. 28. 29.
30. 31. 32.
33. 34. 35.
36. 37. 38.
39. 40. 41.
42. 43. 44.
45. 46. 47.
48. 49. 50.
Нека първо отбележим, че числото $1$ не считаме нито за просто
число, нито за съставно, защото много от свойствата на простите числа са
по-лесно за посочване и имат по-малко изключения, ако $1$ не е съставно.
За да приложим метода за откриване на простите числа на
Ератостен, ще започнем да делим последователно числата от избрания интервал,
започвайки с $2$ и ще задраскаме всички числа кратни на $2$.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
После задраскване всяко число кратно на 3.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.
47. 48. 49. 50.
Задраскване всяко число кратно на $5$.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.
47. 48. 49. 50.
Задраскваме всяко число кратно на $7$.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.
47. 48. 49. 50.
Така, освен вече посочените $2$, $3$, $5$ и $7$, всички останали
числа са прости.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
Този метод за откриване на простите числа придобива името си
Решето на Ератостен, защото гръцкият математик Ератостен записвал
числата върху папирус, опънат на рамка, но вместо да ги задрасква, той
пробождал всяко от тях, така че в крайна сметка се получавало нещо като
"решето", през което числата били "пресявани" и накрая
оставали само простите числа.
Въпреки ефикасността си обаче, този метод би бил доста
труден за прилагане при значително по-големите числа, което кара математиците
да търсят нови начини и формули за откриването на прости числа. Уви, и до днес
тези опити не са увенчани с успех. Известни са редица формули, които дават само
прости числа, но само до някакъв определен момент. Пример за такава формула е $n^2-n+41$,
чиито резултат е винаги просто число, но само когато $n$ e в интервала от $1$ до $40$; при $n=41$ вече се получава числото $1681$, което е съставно.
Числа на Ферма
Друг опит за съставяне на формула откриваща прости числа
принадлежи на френския математик Пиер Ферма. Той изказва хипотезата, че всички
числа, получени чрез формулата $2^{2^n}+1$, където $n$ принадлежи на
множеството на естествените числа, са прости числа. И наистина резултатът е
такъв, но отново само до определено число.
При $n=1$, $2^{2^1}+1=5$
$n=2$, $2^{2^2}+1=2^4+1=17$
$n=3$, $2^{2^3}+1=2^8+1=257$
$n=4$, $2^{2^4}+1=2^{16}+1=65637$
Но през 1732г. Ойлер открива, че резултатът при $n=5$ е съставно
число, с което опровергава хипотезата на Ферма.
$2^{2^5}+1=641.6700417$
Числата, получени като резултат от $2^{2^n}+1$ се наричат число
на Ферма. Въпреки че не постига желания резултат, теоремата на Ферма намира
друго интересно приложение. През 1794 седемнадесетгодишният Карл Фридрих Гаус
работел върху проблема за построяването
на правилен многоъгълник само с линийка и пергел. Той открива любопитна
зависимост между числата на Ферма и построението на правилни многоъгълници:
Гаус доказва теоремата, че с линийка и пергел могат да се построят само такива $p$-ъгълници
($p$ е просто число), броят $p$ на страните, на които е просто число
на Ферма. Ако броят на страните е просто число, но не е число на Ферма, то
построението му с линийка и пергел е невъзможно.
Така след проблемът с броя на простите числа, който доказано
е безкраен и проблемът с откриването на формула за получаване на прости числа,
чието търсене продължава и до днес, стигаме до третия проблем относно простите
числа, а именно тяхната честота и на какъв интервал ги срещаме. За
разпределението на простите числа петербургският математик Ойлер изказал
твърдението, че простите числа са безкрайно по-рядко от целите. Пълно
доказателство на това твърдение дал математикът Лежандър, който намира и една
приближена формула за пресмятане на броя на простите числа, ненадминаващи
задето естествено число.
Интересно е също да споменем и че сред простите числа се
срещат такива, които се различават само с две единици. Например $3$ и $5$, $17$ и $19$, $2087$ и $2089$, $10999949$ и $10999951$. Такива двойки числа се наричат числа-близнаци.
Приятелски числа
Много по-сложни за откриване, но пък от друга страна много
любопитна връзка намираме между т.нар. приятелски числа. Това са двойки
числа, при които сбора на делителите на числото $x$ е равен на числото $y$, както и сбора на делителите на числото $y$ е равен на числото $x$.
В сбора на делителите се включва и числото $1$, но не и самото число, което
делим. Първата такава двойка приятелски числа е $220$ и $284$:
- $220 $се дели на следните числа: $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $11$, $20$, $22$, $44$, $55$ и $110$. А сбора на
тези числа е равен на $284$.
- $284$ се дели на: $1$, $2$, $4$, $71$, $142$, чиито сбор е равен на $220$.
Най-старият известен метод за откриване на приятелски числа
откриваме в Теоремата на Табит. Табит бил прочут математик, физик и астроном,
живял в Багдат в края на IX в.сл.н.е.. Според теоремата на Табит, ако вземем
едно естествено число n и го заместим в следните уравнения:
$a=3.2^n-1$,
$b=3.2^{n-1}-1$ и
$c=9.2^{2n-1}-1$
така че $a$, $b$ и c да са прости числа, то тогава числата $2^n.ab$ и $2^n.c$ са приятелски числа. Дори да не изглежда толкова сложно,
всъщност никак не е лесно и трите $a$, $b$ и $c$ да са
едновременно прости числа. За момента са известни само три стойности на n, за
които теоремата важи и това са $2$, $4$ и $7$ и за никое друго число по-малко от $20000$.
Първата двойка приятелски числа, която споменахме по-горе
($220$ и $284$) и която е резултат от $n=2$ в теоремата на Табит, е известна още по
времето на Питагор. Втората двойка $17296$ и $18416$ при $n=4$ откриват Ибн ал-Бана и
Ферма. Третата двойка, открита от Декарт и удовлетворяваща теоремата на Табит
при $n=7$ е $9363584$ и $9437056$. В последствие Ойлер открива поне още $62$ приятелски
числа, независимо от теоремата.
Любопитно е да споменем, че въпреки труда на толкова велики
математици, двойката приятелски числа $1184$ и $1210$ остава неразкрита до 1866 г.
когато прочутият композитор и цигулар Николо Паганини я открива едва 16-годишен
и бива кръстена на него.
Днес, с помощта на компютърни програми, са открити повече от $7500$ приятелски числа.
Използвана литература
2. Prime numbers - The Most Mysterious Figures in Math, David Wells
Коментари
Публикуване на коментар