Геометрична прогресия 10 клас

Определение 1: Числова редица (основните факти за числовите редици може да намерите тук), в която всеки член, след първия, се получава, като предходният член се умножи с едно и също число, се нарича геометрична прогресия.

Числото, с което се умножава всеки член след първия за да получим следващият се нарича частно на геометричната прогресия и се означава с $q$. С $a_1$ и $a_n$ ще означаваме първият и $n$-тият член (общият член) на геометричната прогресия. Както и при аритметичната прогресия с $n$ ще означаваме броят на членовете на една геометрична прогресия, а с $S_n$ сумата на първите $n$ члена на геометрична прогресия.

Една крайна геометрична прогресия е определена, ако знаем $a_1$, $q$ и $n$, докато една безкрайна прогресия е определена, ако знаем само $a_1$ и $q$.

Формулата за намиране на $n$-тият член на една геометрична прогресия е $a_n=a_1.q^{n-1}$. Освен това в сила са и следните формули за сумата на първите $n$ члена на една геометрична прогресия $S_n$=\frac{a_1-a_nq}{1-q}=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$.

Нека разгледаме следната геометрична прогресия:

$\underbrace{a_1,a_2,\ldots a_k,}_{\text k-члена}$ $a_{k+1},\ldots,$ $\underbrace{a_{s},\ldots ,\ldots ,a_n.}_{\text k-члена}$. За нея имаме, че:

1) $a^2_k=a_{k-1}a_{k+1}$ (всеки среден член е средногеометричен на съседните си два);

2) $a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_ka_s$.

Нека сега разгледаме някои примери.

1 Задача Да се намерят първият член и сумата от членовете на геометрична прогресия, ако $n=5$, $q=3$ и $a_n=162$. 

Решение: Тъй като $n=5$ имаме, че $a_n=a_5=162$. От формулата за общият член на геометрична прогресия имаме, че $a_5=a_1.q^{4}$, следователно $162=a_1.3^4$, от където намираме, че $a_1=\frac{162}{81}=2$. Сега остава да намерим сумата от членовете на тази геометрична прогресия. Търсим $S_5$. Прилагаме, коя да е от двете дадени по-горе формули (и за едната и за другата формула имаме всичко необходимо за да намерим сумата на нашата прогресия), от където получаваме, че $S_5=\frac{2-162.3}{1-3}=\frac{-484}{-2}=242$.

2 Задача Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която $a_5=2$ и $a_7=32$.

Решение: Прилагайки формулата за общият член, изразяваме $a_5$ и $a_7$ чрез $a_1$ и $q$, така получаваме, че $a_5=a_1q^4=2$ и $a_7=a_1q^6=32$. Така имаме следната система от две уравнения, с неизвестни $a_1$ и $q$: $$\begin{cases} a_1q^4=2\\ a_1q^6=32. \end{cases}$$ За да решим тази система, делим лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто и дясната страна на първото с дясната страна на второто уравнение, така имаме, че $\frac{a_1q^4}{a_1q^6}=\frac{2}{32}\iff \frac{1}{q^2}=\frac{1}{16}\iff q=\pm 4$. Сега заместваме $q$ съответно с $4$ и $-4$ в първото уравнение на системата и намираме, че при $q=4$ $a_1=\frac{2}{4^4}=\frac{2}{2^8}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$. Същият резултат бихме получили и при $q=-4$. Сега представяме чрез формулата за общият член на на геометрична прогресия $a_4=a_1q^3=\frac{1}{2^7}.\frac{2^6}{1}=\frac{1}{2}$ ($4^3=(2^2)^3=2^6$). Съответно за $q=-4$ имаме, че $a_4=-\frac{1}{2}$.

3 Задача Намерете $x$, ако числата $x+3$, $x+\frac{1}{2}$ и $x-\frac{3}{4}$ образуват геометрична прогресия.

Решение: За решаването на тази задача ще приложим свойство 1) - всеки среден член на геометрична прогресия е средногеометричен на съседните си два, следователно имаме, че $(x+\frac{1}{2})^2=(x+3)(x-\frac{3}{4})\iff x^2+x+\frac{1}{4}=x^2-\frac{3}{4}x+3x-\frac{9}{4}\iff $ $-2x+\frac{3}{4}x=-\frac{10}{4}\iff -8x+3x=-10\iff x=2$, с което задачата е решена.

4 Задача Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равна на $1$. Намерете катетите на триъгълника, ако страните му образуват геометрична прогресия.

Решение: Ще използваме стандартните означения за страни на триъгълник. Нека катетите на правоъгълният триъгълник са $a$ и $b$, а хипотенузата е $c=1$. Ще считаме, че без ограничение можем да считаме, че $a<b$. Тъй като в условието на задачата ни е казано, че страните на триъгълника образуват геометрична прогресия, и като вземем в предвид формулата за общият член на геометрична прогресия можем да кажем, че $b=aq$ и $c=aq^2=1$, където с $q$ сме означили частното на прогресията. Тъй като $a$, $b$ и $c$ са страни на правоъгълен триъгълник от Питагоровата теорема имаме, че $a^2+b^2=c^2$, т.е. $a^2+(aq)^2=1^2\iff a^2+a^2q^2=1$. От равенството $aq^2=1$ можем да кажем, че $q^2=\frac{1}{a}$ ($a>0$ тъй като е страна на триъгълник и можем да делим на $a$). Сега заместваме $q^2$ с $\frac{1}{a}$ в равенството $a^2+a^2q^2=1$ и получаваме $a^2+a^2.\frac{1}{a}=1\iff a^2+a-1=0$. Корените на това квадратно уравнение са $a_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и $a_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Като вземем в предвид, че $a>0$ следва, че $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Така намираме и, че $q^2=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$ и $q_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}$. Отново вземаме в предвид, че $q>0$ (не може $q<0$, защото катетът $b=aq$ и ако $a>0$, а $q<0$ то $b<0$, което е невъзможно), следователно $q=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}$. Сега остава да намерим и катетът $b$. Заместваме и получаваме, че $b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Задачи за самостоятелна работа:

1. Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която $a_7=3$ и $a_{10}=24$.

2. Намерете $x$ и $y$, ако числата $x$, $2x$, $y+10$ и $4y$ образуват геометрична прогресия.

3. Пресметнете сбора $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$.

4. Намерете геометрична прогресия за която $a_3-a_1=16$ и $a_5-a_3=144$.

5. Намерете геометрична прогресия, за която при всяко естествено число $n$ сумата от първите $n$ члена е $S_n=4-\frac{4}{2^n}$.

6. Вторият и петият член на геометрична прогресия са съответно равни на $14$ и $112$. Да се намери сборът на първите $6$ члена.

7. Да се реши системата $$\begin{cases} x+4y=3\\ \frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3. \end{cases}$$ Нека $(x,y)$ е такова решение на системата, за което $x>y$. Разглеждаме геометричната прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_n,\ldots$, като $a_1=x$ и $a_2=y$. Да се намерят всички стойности на $n$, за които $a_n<0,001$.

8. Дадена е геометрична прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_n$, за която $a_2=2$, $a_5=16$ и $a_1.a_2.\ldots.a_n=1024$. Да се намери $n$. 

9. Дадена е крайна геометрична прогресия $a_1,a_2,\ldots,a_n$, за която:

$$\begin{cases} a_5-a_1=15\\ a_4-a_2=6\\ S_n=255. \end{cases}$$

Да се определят първият член $a_1$, частното $q$ и броят на членовете $n$, ако прогресията е растяща. Да се пресметне сумата $U_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots +\frac{1}{a_n}$, където $a_1,a_2,\ldots, a_n$ са членовете на дадената прогресия, а $n$ е техният брой.

10. Дадена е геометрична прогресия, на която $S_{10}=33.S_5$, където $S_n$ е сумата на първите $n$ члена на прогресията. Намерете частното на тази прогресия.

11. Намерете частното на намаляваща геометрична прогресия, за която $a_3=32\sqrt{2}$ и $a_5=\frac{16}{\sqrt{2}}$.

12. Да се намери геометрична прогресия от седем члена, ако сумата от първите три члена е равна на $14$, а сумата от последните три е равна на $224$.

13. Намерете частното на геометрична прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_9$, ако $\frac{a_9}{a_2}=-\frac{1}{128}$.

14. Вторият и петият членове на крайна геометрична прогресия са съответно равни на $10$ и $-80$. Да се намерят:

а) първите пет члена на геометричната прогресия;

б) броят на членовете й, ако сумата на всичките й членове е равна на $425$.

15. Да се намерят първият член $ a_1$ и частното $q$ на геометрична прогресия за която:

$$\begin{cases} a_2+a_5-a_4=10\\ a_3+a_6-a_5=20. \end{cases} $$

16. Дадена е геометрична прогресия $a_1,a_2,a_3,\ldots $, за която $a_1=-4\sqrt{2}$ и $a_4=16$. Да се намери $a_8$.

17. Разликата на петия и четвъртия член на геометрична прогресия е $576$, а разликата на втория и първия член е $9$. На колко е равна сумата на първите $4$ члена на прогресията?

18. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, в която сумата от крайните членове е $-49$, а сумата от средните членове е $14$.

19. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, за която вторият член е с $35$ по-малък от първият, а третият е с $560$ по-голям от четвъртият.

20. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, за която третият член е с $9$ по-голям от първия, а вторият е с $18$ по-голям от четвъртият.

21. Дадена е геометрична прогресия с частно равно на $\frac{1}{3}$, четвърти член равен на $\frac{1}{54}$ и сумата на всички членове равна на $\frac{121}{162}$. Намерете броя на членовете на тази прогресия.

22. Намерете първият член и частното на геометрична прогресия за която е известно, че $a_4-a_2=-\frac{45}{32}$ и $a_6-a_4=-\frac{45}{512}$.

23. Намерете първия и петия член на геометрична прогресия, ако е известно, че частното на тази прогресия е равно на $3$, а сумата на първите шест члена на прогресията е равна на $1820$.

24. Произведението на първите три члена на геометрична прогресия е равно на $1728$, а сумата им е равна на $63$. Намерете първият член и разликата на тази прогресия.

25. Намерете броя на членовете на крайна геометрична прогресия, за която първият, вторият и последният член са съответно равни на $3$, $12$ и $3072$.

26. Броят на членовете на една геометрична прогресия е нечетен. Да се докаже, че произведението от сбора на членовете на тази прогресия със сбора на членовете на геометрична прогресия със същия брой членове, първият член на която е равен на първия член на дадената прогресия, а частното й е равно на частното на дадената прогресия, но взето с обратен знак, е равно на сбора от квадратите на членовете на дадената прогресия.

27. Да се намери общият член на редицата $5, 11, 29,\ldots,$ ако разликите между съседните й членове образуват геометрична прогресия.

28. Дадена е геометричната прогресия $a_1,a_2,\ldots, a_n$ със сума $S_n$ на първите й $n$ члена и частно $q$. Да се намерят:

а) $a_1$ и $a_5$, ако $q=\frac{1}{2}$, $n=5$ и $S_5=3\frac{7}{8}$;

б) $q$ и $n$, ако $a_1=3$, $a_n=96$, $S_n=189$;

в) $a_1$ и $q$, ако $\frac{a_10}{a_8}=9$ и $a_4+a_6=540$;

г) $n$, ако $a_6-a_4=216$, $a_3-a_1=8$ и $S_n=40$. 

29. Дадена е геометричната прогресия $b_1,b_2,\ldots, b_n,\ldots$.

а) Да се намерят първият член и частното на тази прогресия ако $b_2+b_5-b_4=10$ и $b_3+b_6-b_5=20$.

б) Да се докаже, че редицата $b_2-b_1, b_3-b_2,\ldots, b_n-b_{n-1},\ldots$ е също геометрична прогресия.

Още решени и обяснени задачи по темата може да намерите във видеото ми по-долу: