Геометрична прогресия 10 клас
Определение 1: Числова редица (основните факти за числовите редици може да намерите тук), в която всеки член, след първия, се получава, като предходният член се умножи с едно и също число, се нарича геометрична прогресия.
Числото, с което се умножава всеки член след първия за да получим следващият се нарича частно на геометричната прогресия и се означава с q. С a_1 и a_n ще означаваме първият и n-тият член (общият член) на геометричната прогресия. Както и при аритметичната прогресия с n ще означаваме броят на членовете на една геометрична прогресия, а с S_n сумата на първите n члена на геометрична прогресия.
Една крайна геометрична прогресия е определена, ако знаем a_1, q и n, докато една безкрайна прогресия е определена, ако знаем само a_1 и q.
Формулата за намиране на n-тият член на една геометрична прогресия е a_n=a_1.q^{n-1}. Освен това в сила са и следните формули за сумата на първите n члена на една геометрична прогресия S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$.
Нека разгледаме следната геометрична прогресия:
\underbrace{a_1,a_2,\ldots a_k,}_{\text k-члена} a_{k+1},\ldots, \underbrace{a_{s},\ldots ,\ldots ,a_n.}_{\text k-члена}. За нея имаме, че:
1) a^2_k=a_{k-1}a_{k+1} (всеки среден член е средногеометричен на съседните си два);
2) a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_ka_s.
Нека сега разгледаме някои примери.
1 Задача Да се намерят първият член и сумата от членовете на геометрична прогресия, ако n=5, q=3 и a_n=162.
Решение: Тъй като n=5 имаме, че a_n=a_5=162. От формулата за общият член на геометрична прогресия имаме, че a_5=a_1.q^{4}, следователно 162=a_1.3^4, от където намираме, че a_1=\frac{162}{81}=2. Сега остава да намерим сумата от членовете на тази геометрична прогресия. Търсим S_5. Прилагаме, коя да е от двете дадени по-горе формули (и за едната и за другата формула имаме всичко необходимо за да намерим сумата на нашата прогресия), от където получаваме, че S_5=\frac{2-162.3}{1-3}=\frac{-484}{-2}=242.
2 Задача Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която a_5=2 и a_7=32.
Решение: Прилагайки формулата за общият член, изразяваме a_5 и a_7 чрез a_1 и q, така получаваме, че a_5=a_1q^4=2 и a_7=a_1q^6=32. Така имаме следната система от две уравнения, с неизвестни a_1 и q: \begin{cases} a_1q^4=2\\ a_1q^6=32. \end{cases}
За да решим тази система, делим лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто и дясната страна на първото с дясната страна на второто уравнение, така имаме, че \frac{a_1q^4}{a_1q^6}=\frac{2}{32}\iff \frac{1}{q^2}=\frac{1}{16}\iff q=\pm 4. Сега заместваме q съответно с 4 и -4 в първото уравнение на системата и намираме, че при q=4 a_1=\frac{2}{4^4}=\frac{2}{2^8}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}. Същият резултат бихме получили и при q=-4. Сега представяме чрез формулата за общият член на на геометрична прогресия a_4=a_1q^3=\frac{1}{2^7}.\frac{2^6}{1}=\frac{1}{2} (4^3=(2^2)^3=2^6). Съответно за q=-4 имаме, че a_4=-\frac{1}{2}.
3 Задача Намерете x, ако числата x+3, x+\frac{1}{2} и x-\frac{3}{4} образуват геометрична прогресия.
Решение: За решаването на тази задача ще приложим свойство 1) - всеки среден член на геометрична прогресия е средногеометричен на съседните си два, следователно имаме, че (x+\frac{1}{2})^2=(x+3)(x-\frac{3}{4})\iff x^2+x+\frac{1}{4}=x^2-\frac{3}{4}x+3x-\frac{9}{4}\iff -2x+\frac{3}{4}x=-\frac{10}{4}\iff -8x+3x=-10\iff x=2, с което задачата е решена.
4 Задача Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равна на 1. Намерете катетите на триъгълника, ако страните му образуват геометрична прогресия.
Решение: Ще използваме стандартните означения за страни на триъгълник. Нека катетите на правоъгълният триъгълник са a и b, а хипотенузата е c=1. Ще считаме, че без ограничение можем да считаме, че a<b. Тъй като в условието на задачата ни е казано, че страните на триъгълника образуват геометрична прогресия, и като вземем в предвид формулата за общият член на геометрична прогресия можем да кажем, че b=aq и c=aq^2=1, където с q сме означили частното на прогресията. Тъй като a, b и c са страни на правоъгълен триъгълник от Питагоровата теорема имаме, че a^2+b^2=c^2, т.е. a^2+(aq)^2=1^2\iff a^2+a^2q^2=1. От равенството aq^2=1 можем да кажем, че q^2=\frac{1}{a} (a>0 тъй като е страна на триъгълник и можем да делим на a). Сега заместваме q^2 с \frac{1}{a} в равенството a^2+a^2q^2=1 и получаваме a^2+a^2.\frac{1}{a}=1\iff a^2+a-1=0. Корените на това квадратно уравнение са a_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} и a_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}. Като вземем в предвид, че a>0 следва, че a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}. Така намираме и, че q^2=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1} и q_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}. Отново вземаме в предвид, че q>0 (не може q<0, защото катетът b=aq и ако a>0, а q<0 то b<0, което е невъзможно), следователно q=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}. Сега остава да намерим и катетът b. Заместваме и получаваме, че b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.
Задачи за самостоятелна работа:
1. Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която a_7=3 и a_{10}=24.
2. Намерете x и y, ако числата x, 2x, y+10 и 4y образуват геометрична прогресия.
3. Пресметнете сбора \frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}.
4. Намерете геометрична прогресия за която a_3-a_1=16 и a_5-a_3=144.
5. Намерете геометрична прогресия, за която при всяко естествено число n сумата от първите n члена е S_n=4-\frac{4}{2^n}.
6. Вторият и петият член на геометрична прогресия са съответно равни на 14 и 112. Да се намери сборът на първите 6 члена.
7. Да се реши системата \begin{cases} x+4y=3\\ \frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3. \end{cases}
Нека (x,y) е такова решение на системата, за което x>y. Разглеждаме геометричната прогресия a_1,a_2,\ldots, a_n,\ldots, като a_1=x и a_2=y. Да се намерят всички стойности на n, за които a_n<0,001.
8. Дадена е геометрична прогресия a_1,a_2,\ldots, a_n, за която a_2=2, a_5=16 и a_1.a_2.\ldots.a_n=1024. Да се намери n.
9. Дадена е крайна геометрична прогресия a_1,a_2,\ldots,a_n, за която:
\begin{cases} a_5-a_1=15\\ a_4-a_2=6\\ S_n=255. \end{cases}
Да се определят първият член a_1, частното q и броят на членовете n, ако прогресията е растяща. Да се пресметне сумата U_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots +\frac{1}{a_n}, където a_1,a_2,\ldots, a_n са членовете на дадената прогресия, а n е техният брой.
10. Дадена е геометрична прогресия, на която S_{10}=33.S_5, където S_n е сумата на първите n члена на прогресията. Намерете частното на тази прогресия.
11. Намерете частното на намаляваща геометрична прогресия, за която a_3=32\sqrt{2} и a_5=\frac{16}{\sqrt{2}}.
12. Да се намери геометрична прогресия от седем члена, ако сумата от първите три члена е равна на 14, а сумата от последните три е равна на 224.
13. Намерете частното на геометрична прогресия a_1,a_2,\ldots, a_9, ако \frac{a_9}{a_2}=-\frac{1}{128}.
14. Вторият и петият членове на крайна геометрична прогресия са съответно равни на 10 и -80. Да се намерят:
а) първите пет члена на геометричната прогресия;
б) броят на членовете й, ако сумата на всичките й членове е равна на 425.
15. Да се намерят първият член a_1 и частното q на геометрична прогресия за която:
\begin{cases} a_2+a_5-a_4=10\\ a_3+a_6-a_5=20. \end{cases}
16. Дадена е геометрична прогресия a_1,a_2,a_3,\ldots , за която a_1=-4\sqrt{2} и a_4=16. Да се намери a_8.
17. Разликата на петия и четвъртия член на геометрична прогресия е 576, а разликата на втория и първия член е 9. На колко е равна сумата на първите 4 члена на прогресията?
18. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, в която сумата от крайните членове е -49, а сумата от средните членове е 14.
19. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, за която вторият член е с 35 по-малък от първият, а третият е с 560 по-голям от четвъртият.
20. Намерете четири числа, които образуват геометрична прогресия, за която третият член е с 9 по-голям от първия, а вторият е с 18 по-голям от четвъртият.
21. Дадена е геометрична прогресия с частно равно на \frac{1}{3}, четвърти член равен на \frac{1}{54} и сумата на всички членове равна на \frac{121}{162}. Намерете броя на членовете на тази прогресия.
22. Намерете първият член и частното на геометрична прогресия за която е известно, че a_4-a_2=-\frac{45}{32} и a_6-a_4=-\frac{45}{512}.
23. Намерете първия и петия член на геометрична прогресия, ако е известно, че частното на тази прогресия е равно на 3, а сумата на първите шест члена на прогресията е равна на 1820.
24. Произведението на първите три члена на геометрична прогресия е равно на 1728, а сумата им е равна на 63. Намерете първият член и разликата на тази прогресия.
25. Намерете броя на членовете на крайна геометрична прогресия, за която първият, вторият и последният член са съответно равни на 3, 12 и 3072.
26. Броят на членовете на една геометрична прогресия е нечетен. Да се докаже, че произведението от сбора на членовете на тази прогресия със сбора на членовете на геометрична прогресия със същия брой членове, първият член на която е равен на първия член на дадената прогресия, а частното й е равно на частното на дадената прогресия, но взето с обратен знак, е равно на сбора от квадратите на членовете на дадената прогресия.
27. Да се намери общият член на редицата 5, 11, 29,\ldots, ако разликите между съседните й членове образуват геометрична прогресия.
28. Дадена е геометричната прогресия a_1,a_2,\ldots, a_n със сума S_n на първите й n члена и частно q. Да се намерят:
а) a_1 и a_5, ако q=\frac{1}{2}, n=5 и S_5=3\frac{7}{8};
б) q и n, ако a_1=3, a_n=96, S_n=189;
в) a_1 и q, ако \frac{a_10}{a_8}=9 и a_4+a_6=540;
г) n, ако a_6-a_4=216, a_3-a_1=8 и S_n=40.
29. Дадена е геометричната прогресия b_1,b_2,\ldots, b_n,\ldots.
а) Да се намерят първият член и частното на тази прогресия ако b_2+b_5-b_4=10 и b_3+b_6-b_5=20.
б) Да се докаже, че редицата b_2-b_1, b_3-b_2,\ldots, b_n-b_{n-1},\ldots е също геометрична прогресия.
Още решени и обяснени задачи по темата може да намерите във видеото ми по-долу:
Коментари
Публикуване на коментар