Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресии 10 клас

Както вече знаем в определени задачи имаме дадена аритметична или геометрична прогресия и след като извършим дадени аритметични действия с техните членове получаваме съответно геометрична или аритметична прогресия. Много често се налага търсенето на членовете им, техните суми и т.н. Ето защо за решаването на такъв тип задачи е много важно да знаем всички свойства, както на аритметичната, така и на геометричната прогресия. Нека сега разгледаме някои примери.

1 Задача Числата $a_1$, $a_2$ и $a_3$ образуват намаляваща геометрична прогресия, а числата $a_1$, $a_2+2$ и $a_3$ са последователни членове на аритметична прогресия. Намерете $a_1$, $a_2$ и $a_3$, ако произведението $a_1.a_2.a_3=512$.

Решение: За членовете на геометричната прогресия изразени чрез $a_1$ и $q$ имаме, че $a_2=a_1q$, а $a_3=a_1q^2$. Следователно членовете на аритметичната прогресия можем да запишем по следният начин $a_1$, $a_1q+2$, $a_1q^2$. От свойствата на аритметичната прогресия знаме, че всеки среден член е средноаритметичен на съседните си два, следователно $a_1+2=\frac{a_1+a_1q^2}{2}$. От тук получаваме, че $2a_1q+4=a_1+a_1q^2$. Сега вземаме в предвид, че $a_1.a_2.a_3=512$, като заместим $a_2$ и $a_3$ съответно с $a_1q$ и $a_1q^2$ получаваме равенството $(a_1q)^3=512$, т.е. $(a_1q)^3=8^3$ от където следва, че $a_1q=8$. Така получаваме системата $$\begin{cases} 2a_1-a_1-a_1q^2+4=0\\ a_1q=8. \end{cases}$$ Заместваме $a_1q$ с $8$ в първото уравнение от системата, и тъй като $a_1=\frac{8}{q}$, като заменим и $a_1$ в първото уравнение от системата получаваме уравнението $\frac{8}{q}+\frac{8}{q}q^2-20=0$. След като приведем под общ знаменател $q$ в последното уравнение и умножим числителите с $q$ там където е нужно получаваме следното квадратно уравнение относно $q$: 8q^2-20q+8=0, което след решаването му получаваме, $q_1=2$ и $q_1=\frac{1}{2}$. Сега вземаме в предвид, че в условието на задачата ни е казано, че геометричната прогресия е намаляваща, следователно $q=\frac{1}{2}$. Като знаем вече на колко е равно $q$, намираме и, че $a_1=16$, $a_2=8$ и $a_3=4$. 

2 Задача За аритметичната прогресия $\{a_n\}$ и геометричната прогресия $\{b_n\}$ са в сила равенствата $a_1=b_1$, $a_4=b^3$ и $a_2a_3=8+b_2^2$. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Решение: От свойството на геометричната прогресия, че всеки среден член е средногеометричен на съседните си два имаме, че $b^2_2=b_1.b_3$, следователно (тъй като $b^2_2=a_2.a_3-8$) $a_2.a_3-8=a_1.a_4$ (тъй като $b_1=a_1$ и $b_3=a_4$). Последното равенство записваме по следният начин $a_2.a_3-a_1.a_4=8$. Заместваме $a_2$ с $a_1+d$, $a_3$ с $a_1+2d$ и $a_4$ с $a_1+3d$, от където получаваме уравнението $(a_1+d)(a_1+2d)-a_1(a_1+3d)=8\iff a_1^2+2a_1d+a_1d+2d^2-a_1^2-3a_1d=8$ $\iff 2d^2=8\iff d_{1,2}=\pm 2$.

3 Задача Три числа, които образуват геометрична прогресия, имат сбор $93$. Те са първи, втори и седми член на аритметична прогресия. Намерете тези три числа.

Решение: Нека геометричната прогресия е $\{a_n\}$, а аритметичната е $\{b_n\}$. От казаното в условието на задачата имаме, че сумата на първите три члена на геометричната прогресия е 93, т.е. $a_1+a_2+a_3=97$. От друга страна от свойствата на геометричната прогресия имаме, че $a^2_2=a_1.a_3$ (всеки среден член е средногеометричен на съседните си два), следователно $b_2^2=b_1.b_7$. Така получаваме, че $(b_1+d)^2=b_1(b_1+6d)$, но $b_1=a_1$, от където следва равенството $(a_1+d)^2=a_1(a_1+6d)$. Разкриваме скобите в последното равенство и получаваме уравнението $d^2-4a_1d=0\iff d(d-4a_1)=0$ и следователно $d=0$ или $d=4a_1$. При $d=0$ лесно се вижда, че $b_1+b_2+b_7=93$ и следователно $b_1=b_2=b_7=31$, от където $a_1=a_2=a_3=31$. В случай, че $d=4a_1$, от $a_1+a_2+a_3=93 \implies b_1+b_1+b_1+6d=93$ от където $3b_1+7d=93$. Тъй като обаче $d=4a_1$ и $a_1=b_1$ получаваме $3b_1+7.4b_1=93$ и $31b_1=93\implies b_1=a_1=3$, $d=12$. Сега намираме $a_2=b_2=a_1+d=15$ и $a_3=b_7=a_1+6d=75$ с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа:

1.  Числата $a$, $b$ и $c$ образуват аритметична прогресия.

а) Да се докаже, че числата $2$, $a^2+4b^2+c^2$ и $a^4+16b^4+c^4$ образуват геометрична прогресия.

б) Да се намерят числата $a$, $b$ и $c$, ако сумата им е $15$ и сумата от квадратите им е $83$.

2. Ако към четири числа, образуващи растяща аритметична прогресия, се прибавят съответно $5$, $6$, $9$ и $15$, то се получават четири последователни члена на геометрична прогресия. Да се намерят числата.

3. Дадена е аритметична прогресия с пети член $-5$ и единадесети член $19$. Растяща геометрична прогресия има първи член, равен на разликата на аритметичната прогресия. Ако сумата на първите три члена на геометричната прогресия е с $20$ по-малка от сумата на първите $16$ члена на аритметичната прогресия, намерете частното на геометричната прогресия.

4. Три числа, на които сумата е $21$, са последователни членове на растяща аритметична прогресия. Като се прибавят към тях съответно числата $1$, $5$ и $15$, се получават последователни членове на геометрична прогресия. Да се намерят тези числа.

5. Дадени са аритметична прогресия с първи член $a_1=100$ и разлика $d=100$ и геометрична прогресия с първи член $b_1=2$ и частно $q=2$. Намерете най-малката стойност на $n$ за която $a_n<b_n$.

6. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е $12$. Ако към третото число се прибави $2$, ще получим геометрична прогресия. Да се намерят тези три числа.

7. За членовете на аритметична прогресия $a_1,a_2,\ldots$ и геометрична прогресия $b_1,b_2,\ldots$ са в сила равенствата: $a_1=2b_1=2$, $a_6=3b_2$, $a_{15}=4b^3$. Намерете първите три члена на двете прогресии.

8. За членовете на аритметична прогресия $a_1,a_2,\ldots$ и растяща геометрична прогресия $b_1,b_2,\ldots$ са в сила равенствата $a_1=b_1$, $a_2=b_2+1$, $a_3=b_3-1$, $b_1+b_2+b_3=21$. Намерете броя $n$ на членовете на аритметичната прогресия, ако тяхната сума e $S_n=55$.

9. Сборът на първите десет члена в дена аритметична прогресия е $155$, а сборът от първите два члена в геометрична прогресия е $9$. Да се намерят двете прогресии, ако първият член и разликата в аритметичната прогресия са равни съответно на частното и първия член в геометричната прогресия.

10. Три числа образуват геометрична прогресия. Ако третия член на тази прогресия намалим с $64$, а първия и втория запазим, новополучените три числа ще образуват аритметична прогресия. Ако втория член на тази аритметична прогресия намалим с $8$, а първия и третия запазим, новополучените три числа ще образуват геометрична прогресия. Да се намерят първоначалните три числа.

11. Да се намери трицифрено число, което отговаря на следните условия:

1) цифрите му образуват геометрична прогресия;

2) ако от числото извадим $297$, ще получим число, написано със същите цифри, но в обратен ред;

3) ако към цифрата на търсеното число се прибави съответно $8$, $5$, $1$, получените числа образуват аритметична прогресия.

12. Естествените числа $a_1, a_2, a_3$ са първите три члена на една аритметична прогресия, а естествените числа $b_1, b_2, b_3$ са първите три члена на една геометрична прогресия. Да се намерят тези шест числа, ако се знае, че:

1) сборът им е равен на $192$;

2) $b_1=a_2$;

3) $b_3-a_1=102$;

4) $b_3-a_3=90$.

13. Четири числа $a_k, a_l, a_m, a_n$, които са членове на една аритметична прогресия, образуват геометрична прогресия. Да се докаже, че числата $k-l$, $l-m$, $m-n$ също образуват геометрична прогресия.

14. Да се намерят четири числа, първите три от които образуват геометрична прогресия,  а последните три - аритметична прогресия. Сборът от крайните числа е равен на $14$, а този на средните е $12$.

15. Сборът на три числа, които образуват растяща аритметична прогресия, е $51$. Ако от тези числа извадим съответно $1$, $7$, $8$ ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. 

а) Намерете тези числа. 

б) Колко последователни члена (като се започне от първия) трябва да се вземат от аритметичната прогресия така, че сборът им да бъде равен на $555$?

16. Първият, третият и петият член на геометрична прогресия са съответно първи, четвърти и шестнадесети член на аритметична прогресия. Да се намери четвъртият член на аритметичната прогресия, ако нейният първи член е $5$.

17. Първият, третият и петият член на геометрична прогресия са съответно първи, четвърти и шестнадесети член на аритметична прогресия. Да се намери четвъртия член на аритметичната прогресия, ако нейната разлика е $d=3$.

18. Три числа образуват аритметична прогресия. Ако увеличим третото от тях с $9$ или намалим второто с $2$, ще получим геометрична прогресия. Да се намерят тези числа.

19. Три положителни числа образуват геометрична прогресия. Ако към второто число прибавим $8$, трите числа ще образуват аритметична прогресия. Ако след това към третото число прибавим $64$, получените числа отново ще образуват геометрична прогресия. Да се намерят тази числа.

Още решени и обяснени задачи може да намерите във видеата ми по-долу: