Умножение на вектор с число 8 клас

Преди да разгледаме задачите от този урок ще припомним някои свойства на умножението на вектор с число.

Произведението на вектора $\vec{a}$ с числото $\lambda$ е нов вектор $\vec{b}$, които:

1) $|\vec{b}|=|\lambda|.|\vec{a}|$;

2) $\vec{b}$ и $\vec{a}$ са еднопосочни при $\vec{a}\neq\vec{0}$ и $\lambda>0$, $\vec{b}$ и $\vec{a}$ са разнопосочни при $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ и $\lambda<0$.

Когато $\lambda=0$ или $\vec{0}$, тогава $\vec{\lambda a}=\vec{0}$.

Следствие 1: За ненулевите вектори $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ съществува число $\lambda\neq 0$ така, че $\vec{AB}=\lambda\vec{CD}$ тогава и само тогава, когато $\vec{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ лежат върху една права или върху успоредни прави.

Следствие 2: Точките $O$, $A$ и $B$ лежат на една права точно тогава, когато съществува число $\lambda$ такова, че $\vec{OA}=\lambda\vec{OB}$.

Свойства на произведението на вектор с число:

1) $\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$;

2) $(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$;

3) $1.\vec{a}=\vec{a}$;

4) $\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$.

Основна задача: Ако $O$ е произволна точка, то точка $M$ е среда на отсечката $AB$ точно тогава, когато $\vec{OM}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})$.

1 Задача Опростете израза:

а) $7\vec{a}-2(\vec{a}-0,5\vec{b})-3,5\vec{b}$;

б) $2\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\frac{3}{2}(3\vec{a}+\vec{b})$.

Решение:

а) $7\vec{a}-2(\vec{a}-0,5\vec{b})-3,5\vec{b}=7\vec{a}-2\vec{a}+\vec{b}-3,5\vec{b}=5\vec{a}-2,5\vec{b}$.

б) $2\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\frac{3}{2}(3\vec{a}+\vec{b})=2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{9}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}=$

$=2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{9}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{3}{2}\vec{b}=2\vec{a}+\frac{10}{2}\vec{a}+\frac{4}{2}\vec{b}=2\vec{a}+5\vec{a}+2\vec{b}=$

$=7\vec{a}+2\vec{b}$.

2 Задача Нека е даден $\triangle ABC$, за който $\vec{CB}=\vec{a}$ и $\vec{CA}=\vec{b}$. Ако $CC_1$ е медиана в $\triangle ABC$, то изразете чрез векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ векторите:

а) $\vec{AB}$;     б) $\vec{BC_1}$.

Решение:

а) 

 Нека да допълним $\triangle ABC$ до успоредника $ALBC$. От правилото на успоредника (виж събирането и изваждането на вектори и по-специално правилото на успоредника) ясно виждаме, че $\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{a}-\vec{b}$, от където исканото в тази подточка е направено.

б) Тъй като $\vec{AC_1}=\vec{C_1B}=\frac{1}{2}\vec{AB}$, следва че $\vec{BC_1}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$ от където получаваме, че $\vec{BC_1}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$.

3 Задача Ако точката $M$ е среда на отсечката $AB$ и точката $O$ е произволна точка, докажете, че $\vec{OM}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})$.

Решение:

Допълваме $\triangle ABO$ до успоредника $AKBO$. Тъй като $M$ е среда на $AB$ и $AB$ е диагонал на успоредника $AKBO$ то следва, че $OK$ също е диагонал и освен това $\vec{OK}=\vec{OA}+\vec{OB}$, а $\vec{OM}=\frac{1}{2}OK$. Следователно $\vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}=\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})$ 

4 Задача Ако $P$ и $Q$ са среди съответно на страните $AC$ и $BC$ на $\triangle ABC$ да се докаже, че $\vec{PQ}=\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Решение:

Тъй като точката $P$ и $Q$ са среди на $AC$ и $BC$ имаме, че $\vec{AP}=\vec{PC}$ и $\vec{CQ}=\vec{QB}$. От правилото на триъгълника имаме, че $\vec{PC}+\vec{CQ}=\vec{PQ}$. 

Освен това отново чрез правилото на триъгълника имаме, че  $\vec{AC}+\vec{CB}=\vec{AB}$, следователно $2\vec{PC}+2\vec{CQ}=\vec{AB}$, като изнесем $2$ пред скоби получаваме, че $2(\vec{PC}+\vec{CQ})=\vec{AB}$. Сега делим лявата и дясната страна на последното равенство на $2$ и получаваме, че $\vec{PC}+\vec{CQ}=\frac{\vec{AB}}{2}$, т.е. $\vec{PQ}=\frac{\vec{AB}}{2}$.    

Задачи за самостоятелна работа:

1. Да се опрости изразът:

а) $(0,5\vec{a}-\vec{b})+\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$;

б) $(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{c})-(\vec{b}-\vec{c})$.

2. Дадени са равните вектори $\overrightarrow{AB}$ и $\vec{CD}$. Ако $O$ е средата на $AD$, да се докаже, че $\vec{BO}=-\vec{CO}$.

3. В триъгълникът $ABC$ точката $M$ е средата на медианата $CP$, а точката $N$ лежи на страната $BC$, като $CN=\frac{1}{3}BC$.

а) Ако $\vec{CA}=\vec{a}$, $\vec{CB}=\vec{b}$, да се изразят $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ чрез $\vec{a}$ и $\vec{b}$;

б) Да се докаже, че точките $A$, $M$, $N$ лежат на една права.

4. Върху страните $AB$ и $AC$ на $\triangle ABC$ са взети съответно точките $P$ и $Q$ такива, че $\vec{AP}=\frac{4}{7}\vec{AB}$ и $\vec{AQ}=\frac{4}{7}\vec{AC}$. Докажете, че $PQ=\frac{4}{7}BC$ и $PQ\parallel BC$.

5. Върху страните $AB$ и $AC$ на $\triangle ABC$ са взети съответно точките $C_1$ и $B_1$ такива, че $AC_1=\frac{1}{3}AB$ и $AB_1=\frac{3}{5}AC$. Отсечките $BB_1$ и $CC_1$ се пресичат в точка $O$. Докажете, че точката $O$ е среда на отсечката $CC_1$.

6. Даден е произволен четириъгълник $ABCD$, в който $M$ и $N$ са средите на диагоналите, а $P$ е пресечната им точка. Да се докаже, че $\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=2(\vec{PM}+\vec{PN})$.

7. Даден е трапецът $ABCD$ с основи $AB$ и $CD$. Да се докаже, че $\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{DB}-\vec{CA}$.

8. Да се докаже, че ако точка $C$ дели страната $AB$ на триъгълника $ABD$ в отношение $m:n$, т.е. ако $AC:CB=m:n$, то $\vec{DC}=\frac{n\vec{DA}+m\vec{DB}}{m+n}$.

9. Нека $A_1$, $B_1$ и $C_1$ са среди съответно на страните $BC$, $CA$ и $AB$ на триъгълника $ABC$. Да се докаже, че за произволна точка $O$ е изпълнено равенството $\vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$.

10. Даден е триъгълник $ABC$ и точките $M$ и $N$, за които $\vec{AM}=\frac{1}{n}\vec{AC}$, $\vec{BN}=\vec{CB}$ и $AB\cap MN=P$. В какво отношение точката $P$ дели отсечките $AB$ и $MN$?

11. Върху отсечката $AB$ са избрани точките $M$, $P$ и $K$ по такъв начин, че $\vec{AM}=\frac{1}{4}\vec{AB}$, $\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AB}$, $\vec{KB}=\vec{AM}$. Известно е, че разстоянията от $A$ и $B$ до правата $a$ са съответно $12$ $cm$ и $32$ $cm$. Да се намерят разстоянията от $M$, $P$ и $K$ до правата $a$.

12. Нека $M$ е произволна точка в равнината на $\triangle ABC$. Точките $A_1$, $B_1$ и $C_1$ са средите съответно на $MA$, $MB$ и $MC$, а точките $B_2$ и $C_2$ са такива, че $\vec{AB}=2\vec{AB_2}$ и $\vec{AC_2}=0,5\vec{AC}$. Да се докаже, че $\vec{B_2C_2}+\vec{C_1B_1}=\vec{0}$ и $\triangle AB_2C_2\cong A_1B_1C$.

13. Даден е триъгълник $ABC$ и точка $M$ от неговата медиана $CC_1$, като $\vec{CM}=\frac{3}{4}\vec{CC_1}$, а точката $N$ лежи на страната $CB$, като $\vec{CN}=\frac{3}{5}\vec{CB}$. Ако $\vec{CA}=\vec{a}$ и $\vec{CB}=\vec{b}$, да се докаже, че:

а) $\vec{AM}=\frac{1}{8}(3\vec{b}-\vec{a})$;

б) $\vec{AN}=\frac{1}{5}(3\vec{b}-5\vec{a})$;

в) $\vec{AN}=\frac{8}{5}\vec{AM}$.

Да се докаже, че точките $A$, $M$ и $N$ лежат на една права.

14. Върху страната $AB$ на $\triangle ABC$ е избрана такава точка $K$, че $AK:KB=3:10$. Да се изрази векторът $\vec{CK}$ чрез векторите $\vec{a}=\vec{CA}$ и $\vec{b}=\vec{CB}$.

15. Точките $A_1$ и $B_1$ лежат съответно върху страните $BC$ и $AC$ на триъгълника $ABC$. Отсечките $AA_1$ и $BB_1$ се пресичат в точката $M$, като $\frac{AM}{MA_1}=\frac{BM}{MB_1}=\frac{2}{1}$. Да се докаже, че $\vec{AB}=2\vec{B_1A_1}$.

16. В четириъгълника $ABCD$ диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $M$. Да се докаже, че ако $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{0}$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми дадено по-долу: