Общи задачи по алгебра от изучения материал през учебната година - 7 клас

1. Дадени са полиномите $A=a^4-3a^2+1$ и $B=a^4-a^2-2a-1$.
а) да се разложат полиномите $A$ и $B$ на множители;

б) да се разложи полиномът $M=A+B$ на множители и след това да се намери числената му стойност, като $a$ се замести със стойността на израза $N=(-2)^{-2}.2^2(-1)^7$. Отг. б) $M=0$.

2. Да се разложи на множители полиномът $P=x^2+4x-y^2-8y-12$. Да се намери числената му стойност, като $x$ се замести със стойността на израза $Q=\frac{-8^4.(-32)^2}{(-16)^5}$, а $y$ - с $0$. Отг.: $20$.

3. Да се разложи на множители полиномът $C=2a^2+b^2+3ab-2a-b$ и след това да се докаже, че при $b=4$ и $a$ цяло число, тоя се дели на $4$.

4. Да се реши уравнението $7(mx+3)=3(2mx+9)$, където $m$ е параметър. Да се намери за кои стойности на $x$ уравнението има за корен естествено число. 

5. Кое от числата е по-голямо: стойността на израза $P=[\frac{(8^0+2^{-3})6^{-2}}{2^{-15}}-24]:0,1^{-3}-1$ или решението на уравнението $(3x-1)^2-15x^2+6=x(x+3)(x-3)-(x+2)^3$?

6. Дадени са полиномите $P=x^2+ax+a^2$ и $Q=x^2-ax+a^2$. С $P(1)$ означаваме числената стойност на $P$ за $x=1$. За кои стойности на $a$ $P(2)=2Q(1)+2$? Отг.: $a=0$ и $a=4$.

7. Дадени са полиномите $M=(xy+1)^2-(x+y)^2$ и $N=x^2+y^2-x^2y^2+xy-x-y$:

а) да се разложат на множители полиномите $M$ и $N$;

б) да се разложи полиномът $P=M+N$ на множители, а след това да се намери числената му стойност, като $x$ и $y$ се заместят съответно с $1$ и $-4$.

8. Да се докаже тъждеството

$(\frac{1}{3}ab-\frac{1}{6}cd)(\frac{1}{3}cd+\frac{1}{6}ab)-(\frac{1}{3}ab+\frac{1}{6}cd)(\frac{1}{3}cd-\frac{1}{6}ab)=\frac{1}{9}(ab+cd)(ab-cd)$.

9. Да се докаже, че при всички стойности на $x$ е изпълнено неравенството $(x+5)^3<x(x+7)^2+(x+13)^2$.

10. Да се намерят всички цели отрицателни числа, които удовлетворяват неравенството $\frac{7x-3}{4}+\frac{5x-1}{5}-\frac{x-21}{3}>1$.

11. Да се докаже, че ако $ab+ac+bc=1$, то $a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+c(1-a^2)(1-b^2)=4abc$.

12. Даден е полиномът $F=(x^2-4)^2-(x-2)^2$:

а) да се приведе $F$ в нормален вид;

б) да се разложи $F$ на прости множители;

в) да се пресметне стойността на $F$ за $x=(\frac{1}{2})^{-1}$.

13. Да се разложи на произведение от множители полиномът $N=3a^2+ab+15a+4b+12$. Да се докаже, че като се замести $b$ с $6$, то за всяко цяло число $a$, $N$ се дели на $6$.

14. Дадени са полиномите $A=15x+15$, $B=9x^3-6x+9x^2-6$ и $C=4x^3-6x^2-6x+4$.

а) да се разложат полиномите $A$, $B$ и $C$ на прости множители;

б) полиномът $D=A+B-C$ да се разложи на прости множители, а след това да се намери числената му стойност, като $x$ се замести със стойността на израза $E=[\frac{2^{-3}.(-1)^{-2}.3^4}{(-\frac{1}{2})^3.(-\frac{1}{9})^{-2}.(-50)^0}]^{-1}$. Отг.: $D=5(x+1)^3$; $E=-1$.

15. Да се разложи на произведение от множители изразът $M=x^5+x+a$, където $a=[\frac{2^{-3}.(-1)^{-2}.3^4}{(\frac{1}{2})^3(-\frac{1}{9})^{-2}(-49)^0}]^{-1}$.

16. Да се намери числената стойност на:

а) $(\frac{1}{3}a-2)^2-(32a^7-44a^6+68a^5):(\frac{4}{5}a^5)$ за $a=-3$;

б) $(28b^3+21b^2-56b):(-14b)-(25b^8+60b^6-45b^5):(\frac{1}{2}b^5)$ за $b=0,2$. Отг.: а) $-601$; б) $69,22$.

17. Дадени са полиномите $A=x^4-x^2$, $B=x^4+x^2-2$ и $C=x^2-4x+3$:

а) да се разложат полиномите $A$, $B$ и $C$ на прости множители;

б) да се разложи полиномът $D=B+C-A$ на прости множители, а след това да се намери числената стойност на $D$, като $x$ се замести с корена на уравнението $(9x-4)(2x+5)+39=2(3x+1)^2-1$, увеличен с $1\frac{4}{75}$. Отг.: $D=(x-1)(3x-1)$; $D=0$.

18. За кои стойности на параметъра $m$ даденото уравнение няма решение:

а) $(2mx-1)^2=2+4m^2(x^2-1)$; б) $\frac{x-1}{m}-2=x$? Отг.: а) $m=0$; б) $m=1$.

19. Да се извършат означените действия:

${3x^2(a^2+b^2)-3a^2b^2+3[x^2+(a+b)x+ab].[x(x-a)-b(x-a)]}:2x^2$. На получения израз да се намери числената стойност, като $x$ се замести с решението на уравнението $(x+1)(x-1)-(x+1)^2=5$. Отг.: $18$, $375$. 

20. Да се сравнят по големина стойността на израза $A=[\frac{(-4)^{-2}.\frac{1}{2}.(-\frac{1}{4})^{-3}}{(-1)^5.(-33)^0(-2)^2}]^{-2}$ и корена на уравнението $(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)^3+3x^2$. Отг.: Коренът на уравнението е по-голям от стойността на $A$.

21. Дадени са полиномите $M=x^3+x^2-2$ и $N=9x^2-8x-1$:

а) да се разложат на множители полиномите $M$ и $N$;

б) да се разложи на множители полиномът $P=M-2N$. Отг.: а) $M=(x-1)(x^2+2x+2)$, $N=(x-1)(9x+1)$; б) $x(x-1)(x-16)$.

22. Да се намерят целите положителни числа, които удовлетворяват едновременно неравенствата $1-\frac{3x-88}{7}>5x$ и $4x+5-\frac{1}{6}(25x+29\frac{1}{2})<0$.

23. Да се намери $S=2M-\frac{1}{3}N+P-\frac{1}{2}Q$ за $M=\frac{1}{6}ab^2-a^2$, $N=b^2-a^2+3ab$, $P=\frac{2}{3}a^2-2a^2b-\frac{3}{2}b^2-\frac{1}{3}ab^2$, $Q=\frac{1}{2}-4a^2b+2a^2-ab$ и да се пресметне числената стойност на получения израз при $a=(\frac{1}{3})^{-2}-\frac{1}{3^{-2}}-(0,2)^0$, $b=\frac{(-0,4)^{-2}}{(1\frac{1}{2})^{-1}+11\frac{5}{6}}$.

24.  Да се намерят всички естествени числа, които са решения на неравенството $\frac{x-3}{2}-\frac{x+1}{3}<\frac{1-x}{4}$. 

25. Дадени са многочлените $A=x^3-x^2+x-1$ и $B=x^3+x^2+x+1$:

а) да се разложат полиномите $A$ и $B$ на множители;

б) да се намери числената стойност на многочлена $C=A-2B$, като предварително $C$ се разложи на множители и $x$ се замести с корена на уравнението $2x-2+{-3+[2(x+1)]+2x}=-3$. Отг.: а) $(x-1)(x^2+1), (x+1)(x^2+1)$; б) -3.

26. Да се реши уравнението $5(kx-8)=3kx-28$, където $k$ е рационално число. Да се намери за кои стойности на $k$ уравнението:

а) има корен, равен на $-\frac{3}{5}$; 

б) има за корен естествено число, по-малко от $6$ или равно на $6$;

в) няма решение. Отг.: а) $k=-10$; б) $k=1;2;3;6$; в) $k=0$.

27. Да се разложи на множители многочленът $A=x^3+x+B$, където $B$ е стойността на израза $\frac{2.(\frac{1}{3})^{-3}.(0,2)^2.(-1)^{-4}}{3^3.5^{-2}.(-0,65)^0}$. Отг.: $(x+1)(x^2-x+2)$.

28. Даден е многочленът $P=(x+b)(2x^3-10x^2+7x-3)$, където $b$ е рационално число:

а) да се приведе в нормален вид многочленът $P$;

б) за кои стойности на $b$ сумата от коефициентите на полинома $P$ е равна на нула;

в) да се намери числената стойност на $P$, като $b$ се замести с $1$, а $x$ - със стойността на израза $Q=-6.[\frac{2^{-3}.(-1)^{-2}.3^2}{2^3.(-\frac{1}{2})^6.(\frac{1}{3})^{-1}}]^{-1}$. Отг.:  б) $b=-1$; в) $P=73$.

29. Да се реши уравнението $|10-2x|-|8x-24|=0$.

30. Да се докаже, че ако числата $n+1$ и $2n+1$ са квадрати на естествени числа, то $n$ се дели на $24$.

31. Ако при $x=1$ стойността на израза $\frac{3n-2}{3}-4x$ е $5$, да се определи стойността му при $x=5$.

32. Да се докаже, че стойността на израза $A=(4x+1)(3x-2)^2-x[(6x-2)^2-15x]$ не зависи от стойностите на $x$.

33. Да се представи като произведение изразът $(3x-2)^2-(2-3x)(5x-3)$. За кои стойности на $x$ стойността му е равна на нула, по-малка от $0$.

34. Да се реши уравнението $\frac{3x-1}{5}-\frac{13-x}{2}=\frac{7x}{3}-\frac{11(x+3)}{6}$.

35. Да се пресметне числената стойност на едночлена $-\frac{1}{2}a^3(-\frac{1}{4})b^2c^3a^2b^3c^2$, като $a$ се замести с най-голямото цяло отрицателно число, $b$ - със стойността на израза $A=(\frac{1}{2})^{-1}.(0,1^{-3}.0,1^2)^{-1}$, а $c$ - с корена на уравнението $\frac{\frac{2x}{5}-\frac{1}{2}}{12}=\frac{\frac{3x}{2}+\frac{3}{4}}{30}-\frac{x-13,4}{24}$.

36. а) Да се реши уравнението $a^3(x-1)+a(ax+1)=0$, където $a$ е параметър.

б) Нека $a$ е най-голямото цяло отрицателно число, за което уравнението от a) има единствено решение. Да се реши неравенството $(a^2-4)x\leq (a+2)x$.

37. а) Да се намери за кои стойности на параметъра $a$ всяко решение на уравнението $4ax+3x+a=2(1+2ax)$ е решение на неравенството $4x+3<-2(1+2x)$.

б) На олимпиада по математика $15$% от всички участници не решили нито  една задача, а $144$ участника решили само някои от задачите. Броят на участниците, решили всички задачи, се отнася към броя на нерешилите нито една задача както $5:3$. Колко са всички участници на олимпиадата?

38. а) Да се реши неравенството $(2x-1)^3-8x(x-2)(x+2)<2x(19-6x)$.

б) Три котарака заедно изяждат една риба, а след това два от тях изяждат и парче салам, като цялото пиршество трае $12$ минути. Ако трите котарака биха изяли половината от рибата и половината от салама, а с останалата част се справи само един от тях, времето за това ще е $20$ минути. За колко време два котарака ще изядат рибата (котараците изяждат храната за едно и също време). 

39. Да се покаже, че не съществуват четири последователни естествени числа, произведението на които се представя като произведение на две естествени числа.

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +