Събиране и изваждане на вектори 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Събиране и изваждане на вектори

Събиране и изваждане на вектори
Правило на триъгълника и правило на успоредника

Пълен урок с правило на триъгълника, правило на успоредника, свойства, решени задачи, задачи за самостоятелна работа и тест

Вектори Правило на триъгълника Правило на успоредника 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Как се намира сборът и разликата на два вектора и кога използваме правилото на триъгълника или правилото на успоредника

Теория

Правило на триъгълника за събиране на два вектора

Нека имаме векторите \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) и точка \(O\) е произволна. Ако вземем \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), то векторът \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{c}\) се нарича сбор на векторите \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).

Това правило — за вектори, чийто край и начало съвпадат — се нарича правило на триъгълника.

Когато двата вектора имат общо начало, използваме правилото на успоредника:

Правило на успоредника

Построяваме \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) с общо начало \(O\). Допълваме до успоредник — векторът \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) е сборът.

Свойства на сбора на вектори:
1. \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)  (комутативност)
2. \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)  (асоциативност)
3. \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\)
4. \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)

Разликата \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\).

Удобна формула при разлика на вектори с общо начало: \[\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}.\]

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Даден е успоредникът \(ABCD\). Намерете: а) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\);  б) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).

▼

Решение а) Краят на \(\overrightarrow{AB}\) съвпада с началото на \(\overrightarrow{BC}\) → правило на триъгълника: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

б) Векторите \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) имат общо начало \(A\) → правило на успоредника: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

2

Даден е триъгълникът \(ABC\). Намерете \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

▼

Решение Двата вектора имат общо начало \(A\). По формулата \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\) получаваме: \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.\]

3

За триъгълника \(ABC\) намерете \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\).

▼

Решение Правило на триъгълника: \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\). Тогава \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+(-\overrightarrow{BA})=\overrightarrow{0}\). \[\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}.\]

4

Точката \(P\) е средата на страната \(AC\) на \(\triangle ABC\). Намерете \(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}\).

▼

Решение \(P\) е среда на \(CA\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}\). По правилото на триъгълника: \[\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA},\] следователно \(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{BA}\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1За успоредника \(ABCD\) намерете \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\).

Задача 2Даден е успоредникът \(ABCD\) с диагонали, пресичащи се в \(O\). Права през \(O\) пресича \(AB\) в \(K\) и \(CD\) в \(M\). Намерете: а) \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OK}\); б) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DM}\); в) \(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{CM}\); г) \(\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{CM}\); д) \(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{DK}\).

Задача 3Докажете, че за всеки успоредник \(ABCD\) и произволна точка \(O\): \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Събиране и изваждане на вектори

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кое правило използваме, когато краят на първия вектор съвпада с началото на втория?

Правило на окръжността Правило на триъгълника Правило на средата

2Кое правило използваме, когато два вектора имат общо начало?

Правило на триъгълника Правило на отсечката Правило на успоредника

3Кое свойство е вярно?

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

4Кое равенство е асоциативно свойство?

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\) \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\)

5На какво е равен \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})\)?

\(\overrightarrow{a}\) \(-\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{0}\)

6На какво е равен \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}\)?

\(\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{0}\) \(-\overrightarrow{a}\)

7Как записваме разликата \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)?

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) \(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

8Коя формула е удобна при разлика на два вектора с общо начало?

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)

9В успоредник \(ABCD\) на какво е равен \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)?

\(\overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{AD}\)

10В успоредник \(ABCD\) на какво е равен \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)?

\(\overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{CD}\) \(\overrightarrow{AC}\)

11За триъгълник \(ABC\) на какво е равен \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)?

\(\overrightarrow{CB}\) \(\overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{BA}\)

12За триъгълник \(ABC\) на какво е равен \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)?

\(\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{AC}\)

13Ако \(P\) е среда на \(AC\), кое е вярно?

\(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PB}\) \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PC}\) \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}\)

14Ако \(P\) е среда на \(AC\), то \(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}\) е равно на:

\(\overrightarrow{BA}\) \(\overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{CA}\)

15Вектори, които не лежат на една права или на успоредни прави, са:

Колинеарни вектори Неколинеарни вектори Равни вектори

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи, свързани с този урок, можете да намерите в клипа по-долу:

Видео урок — Събиране и изваждане на вектори

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆