Пермутации, вариации и комбинации 8 клас

Преди да преминем към решаването на задачи, нека да припомним някои важни факти, които ще използваме.

Определение 1: Пермутации от $n$ елемента без повторение се наричат всички подреждания на тези $n$ елемента, като всеки от тях участва само веднъж, а мястото му в това подреждане е от значение.

Броят на всички пермутации от $n$ елемента ще означаваме с $P_{n}$ и $P_{n}=n(n-1)(n-2)...1=n!$.

Определение 2: Вариации от $n$ елемента от $k$-ти клас (винаги $k<n$) без повторения се наричат такива съединения, всяко от които съдържа $k$ различни елемента от дадените $n$, като се различават едно от друго по елементите или по реда, в който те са взети.

Броят на различните вариации от $n$ елемента от $k$-ти клас се означава с $V^k_{n}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$. 

От казаното до тук можем да заключим, че пермутациите от $n$ елемента могат да се разглеждат като вариации от $n$ елемента от $n$-ти клас.

Определение 3: Комбинации без повторения от $n$ елемента от $k$-ти клас се нарича такова подмножество с $k$ различни елемента на даденото множество с $n$ елемента, като редът на елементите не е от значение. Две комбинации се различават тогава, когато се различават по състав, а не по подреждане на елементите.

Броят на всички комбинации на $n$ елемента от $k$-ти клас ще отбелязваме с $C^k_{n}$ и освен това $C^k_n=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\frac{V^k_{n}}{P_k}$, при $k\leq n$.

1 Задача По колко най-много различни начина могат да се подредят 8 книги на библиотечен рафт?

Решение: За да намерим всички възможни подреждания на $8$ книги върху библиотечен рафт трябва да пресметнем пермутация от $8$ елемента т.е. $P_8$, така имаме, че $P_8=1.2.3.4.5.6.7.8=40 320$ начина.

2 Задача Петима приятели отишли на гости у Иван. По калко най-много начина могат да седнат на пет различни стола?

Решение: За да намерим всички възможни подреждания на петимата приятели на пет различни стола трябва да пресметнем пермутация от $5$ елемента т.е. $P_5$, така имаме, че $P_5=1.2.3.4.5=120$, следователно приятелите на Иван могат да се подредят по $120$ различни начина на петте различни стола.

3 Задача Телефонен номер се състои от шест различни цифри. Ако номерът започва с $032$, то колко най-много са възможностите за подредбата на останалите три цифри?

Решение: Цифрите са $10$, като от тях вече три са използвани ($0, 2, 3$). Така имаме, че за останалите три цифри от телефона могат да стоят общо 7 цифри ($1, 4, 5, 6, 7, 8, 9$). За да пресметнем исканите възможности в условието на задачата трябва да намерим $V^3_{7}=7.6.5=210$.

4 Задача Ученици от летен лагер имат възможност да посещават десет мероприятия. По колко най-много начина може да се направи програма с разписание за един ден за пет от тези мероприятия?

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос в условието на задачата трябва да пресметнем $V^5_{10}=10.9.8.7.6=3780$ различни начина може да бъде направена програмата с разписание за пет от тези десет мероприятия.

5 Задача В кутия имало 20 топчета с различни цветове. По колко най-много начина могат да се изберат 4 от тях?

Решение: За да отговорим на даденият въпрос е необходимо да пресметнем $C^4_{20}=\frac{20.19.18.17}{1.2.3.4}=4845$ начина можем да изберем 4 от тях.

6 Задача Ако имаме дадени дванадесет различни точки в равнината, то колко най-много отсечки могат да се построят с краища тези точки?

Решение: Тъй като всяка отсечка се определя от две точки то трябва да пресметнем $C^2_{12}=\frac{12.11}{1.2}=66$.

7 Задача Известно е, че паролата на сейф се сътои от $8$ различни цифри, първите $4$ от които са четни, а останалите - нечетни. Намерете максималния брой опити, които трябва да направим, за да влезем отворим сейфа.

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос е ясно, че трябва да намерим всички възможни подредби на $4$ четни числа (от общо $5$) и $4$ нечетни (от общо $5$). Тъй като тук редът на подредбата има значение, следователно ще използваме вариации. Тогава получаваме, че търсеният брой опити е равен на $V^{4}_{5}.V^{4}_{5}=5.4.3.2.5.4.3.2=14400$.

8 Задача Намерете $x$, ако $V^{2}_x=2x$.

Решение: От формулата за вариации намира, че $x.(x-1)=2x$. Разкриваме скобите и получаваме уравнението $x^2-x=2x\iff x^2-3x=0$. Изнасяме общият множител $x$ пред скоби и така получаваме $x.(x-3)=0$, от където намираме, че $x_1=0$ или $x_2=3$. Тъй като $x>0$ за решение на задачата остава само $x=3$.

9 Задача Намерете колко различни комплекта от $4$ молива и $3$ химикалки могат да се направят от $9$ различни молива и $8$ различни химикалки.

Решение: Търсим броя на всички комплекти, които се състоят от $4$ молива и $3$ химикалки. Т.е. търсим броя на наредените седморки $(х,х,х,х,м,м,м)$. За да намерим всички комбинации, които можем да формираме с химикалите трябва да пресметнем $C^{4}_{9}$ (използваме комбинации, защото тук редът не е от значение). Аналогично за моливите имаме $C^{3}_{8}$. Така за броят на комплектите получаваме $C^{4}_{9}.C^{3}_{8}=126.56=7056$.

10 Задача В една кутия има $9$ бели, $6$ червени и $8$ зелени топки. Намерете броя на различните начини по които могат да се изтеглят $3$ бели, $4$ зелени и $3$ червени топки.

Решение: Търсим броя на всички наредени десеторки $(б,б,б,з,з,з,з,ч,ч,ч)$. Тъй като тук подредбата на белите, зелените и червените топки не е от значение, тогава ще използваме комбинации. Броят на комбинациите за белите топки е $C^{3}_{9}$, на червените топки е $C^{3}_{6}$ и на зелените $C^{4}_{8}$. Тогава броят на различните начини по които могат да се изтеглат $3$ бели, $6$ червени и $8$ зелени топки получаваме от произведението $C^{3}_{9}.C^{4}_{8}.C^{3}_{6}=84.70.20=117600$. С което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Колко са четирицифрените числа, които съдържат цифрите $9$, $8$, $7$ и $6$ точно по един път?

2. Колко са петцифрените числа, в които се срещат само цифрите $9$, $8$, $7$, $6$, $5$, $4$ и $3$ без някоя от тях да се повтаря.

3. Колко фиша могат да се попълнят при играта "6 от 49" на Българският спортен тотализатор?

4. От група от $20$ спортисти трябва да се изберат $6$ участника за щафетно бягане. По колко начина може да стане това?

5. По колко различни начина могат да се изберат петима войника за  дежурство от група от $30$ войника.

6. На един рафт в библиотека имаме 10 книги, 4 от които са от един автор, а останалите - от различни. Намерете по колко начина можем да ги подредим на рафта, така че книгите от един автор:

а) да са една до друга;

б) да не са една до друга.

7. Намерете броя на различните начини, по които могат да се подредят $8$ разноцветни топчета в редица, така че две от тях, предварително определени:

а) да са едно до друго;

б) да не са едно до друго.

8. Четири момчета и пет момичета се подреждат в два реда за снимка, като момчетата са прави, а момичетата са седнали пред тях. Намерете по колко различни начина може да стане това.

9. Намерете колко четни четирицифрени числа могат да се образулват от цифрите $2,3,5,6,8$ и $9$.

10. Паролата на електронна поща се състои от $7$ различни цифри, първите $3$ от които са четни, а останалите - нечетни. Намерете максималния брой опити, които трябва да направим, за да влезем в тази поща.

11. В една купа има $9$ бели и $13$ червени топки. Намерете броя на различните начини, по които могат да се изтеглят едновременно $4$ бели и $2$ червени топки.

12. Писмено изпитване по математика се състои от $15$ алгебрични, $8$ геометрични и $7$ комбинаторни задачи. Намерете колко различни варианта могад да се подготвят от $25$ задачи по алгебра, $18$ по геометрия и $5$ по комбинаторика.

13. Намерете $x$, ако:

а) $V^{4}_{x}=6.V^{3}_{x}$; б) $C^{2}_{x}=\frac{P_{6}}{P_{2}.P_{5}}$; в) $C^{2}_{x}+C^{2}_{x+1}=36$.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в долните видеа: