Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници (IV признак). Ъглополовяща на ъгъл 7 клас

Теорема 1: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от единия триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия триъгълник.

Определение 1: Ъглополовяща на даден ъгъл се нарича лъчът с начало върха на ъгъла, който разделя този ъгъл на два равни ъгъла.

Теорема 2: Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на този ъгъл.

Теорема 3: Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на този ъгъл.

1 Задача: Докажете, че два равнобедрени триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни бедра и височини към основата.

Решение: Нека имаме два равнобедрени триъгълника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в които $CH$ и $C_1H_1$ са височини. От условието имаме, че $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$ и $CH=C_1H_1$.

Разглеждаме правоъгълните триъгълници $AHC$ и $A_1H_1C_1$:

1) $CH=C_1H_1$ (по условие);

2) $AC=A_1C_1$ (по условие), следователно $\triangle AHC\cong\triangle A_1H_1C_1$ по IV признак (според Теорема 1), от където $AH=A_1H_1$.

Аналогично разглеждаме $\triangle BHC$ и $\triangle B_1H_1C_1$:

1) $CH=C_1H_1$ (по условие);

2) $BC=B_1C_1$ (по условие), следователно $\triangle BHC\cong\triangle B_1H_1C_1$ по IV признак, от където $BH=B_1H_1$.

От получените равенства имаме, че $AB=A_1B_1$. Накрая разглеждаме $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:

1) $AC=A_1C_1$ (по условие);

2) $BC=B_1C_1$ (по условие);

3) $AB=A_1B_1$,

следователно $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ по III признак, с което задачата е решена.

2 Задача: В триъгълник $ABC$ ъглополовящата на $\sphericalangle C$ пресича страната $AB$ в точка $D$ и височината от върха $A$ - в точка $E$. Намерете градусната мярка на $\sphericalangle BAC$, ако $AE=AD$.

Решение: Нека $AH$ е височината от върха $A$ към страната $BC$. Следователно $\sphericalangle AHB=\sphericalangle AHC=90^{\circ}$. От това, че $CD$ е ъглополовяща имаме $\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD=\gamma$.

От $AE=AD$ следва, че $\triangle ADE$ е равнобедрен и $\sphericalangle AED=\sphericalangle ADE=\alpha$, следователно $\sphericalangle EAD=180^{\circ}-2\alpha$.

Ъглите $ADC$ и $BDC$ са съседни, следователно $\sphericalangle BDC=180^{\circ}-\alpha$. От правоъгълния $\triangle AHB$ имаме $\sphericalangle ABH=2\alpha-90^{\circ}$. От $\triangle BDC$ за $\sphericalangle CBD=\alpha-\gamma$.

Тъй като $\sphericalangle ABH$ и $\sphericalangle CBD$ са един и същи ъгъл, приравняваме: $\alpha+\gamma=2\alpha-90^{\circ}$, откъдето $\alpha+\gamma=90^{\circ}$. От $\triangle ADC$ имаме $\sphericalangle DAC=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Равнобедреният $\triangle ABC$ има основа $AB=c$ cm и $\sphericalangle C=120^{\circ}$. Точката $M$ лежи на основата $AB$, като $AM:MB=1:2$.

а) Да се намери $CM$.

б) Докажете, че височината в $\triangle ABC$, спусната от върха $A$, е 3 пъти по-голяма от височината в $\triangle AMC$, спусната от върха $M$.

2. В $\triangle ABC$ $a:b:c=3:4:5$ и $P_{\triangle ABC}=48$ cm. Ъглополовящите $AA_1$ и $BB_1$ се пресичат в точката $O$, като разстоянието от нея до страната $AB$ е $4$ cm. Намерете лицето на $\triangle AOC$.

3. Даден е $\triangle ABC$, на който ъглополовящата на $\sphericalangle A$ пресича страната $BC$ в точката $N$. На най-голямата страна $AC$ е взета вътрешна точка $L$ така, че $\sphericalangle LNC=\sphericalangle BAC$. Да се докаже, че $NL=NB$.

4. В правоъгълния $\triangle ABC$ е построена височината $CH$, като $H\in AB$ към хипотенузата $AB$. Ъглополовящите $AL$ ($L\in BC$) на $\sphericalangle BAC$ и $CM$ ($M\in AB$) на $\sphericalangle ACH$ се пресичат в точка $O$. Докажете, че $O$ е средата на отсечката $CM$.

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +