Уроци по математика (Math lessons)

Преди да преминем към решаването на задачи нека припомним някои основни понятия, и да кажем няколко думи за този непозната за вас осмокласници дял от математиката. Едно от най-фундаменталните и основни понятия в математиката е понятието множество (ако проявявате интерес в тази насока, може да прочете повече тук ). За него не съществува точна дефиниция за това ние ще се доверим на интуицията си за това какво ще наричаме множество. Множество е всяка съвкупност от обекти (обектите могат да бъдат числа, букви, учениците от едно училище, хората от един град или хората от една държава и т.н.). Според броя на елементите си множествата могат да бъдат крайни и безкрайни . Например безкрайно множество е множеството на естествените числа $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots n,\ldots\}$, множеството от всички четни числа, или пък множеството от всички нечетни числа и т.н. При крайните множествя, тяхните елементи не са безброй много, а имат някакъв точно определен брой. Пример за крайно множество ...

Квадрат - дефиниции, свойства и задачи | Геометрия 7 клас Квадрат - дефиниции, свойства и задачи Определение 1: Правоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат. Определение 2: Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат. Свойства на квадрата Важно: Квадратът притежава всички свойства на: успоредника правоъгълника ромба Решени задачи Задача 1: Нека $ABCD$ е квадрат, в който диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Ако разстоянието от $O$ до $AB$ е $7$ cm, намерете периметъра и лицето на квадрата $ABCD$. Решение: 1. Разстоянието от $O$ до $AB$ е $OE = 7$ cm 2. В квадрата диагоналите са равни и се разполовяват, следователно $AO = BO = CO = DO$ 3. Триъгълник $AOB$ е равнобедрен правоъгълен с катети $7$ cm 4. Страната на квадрата $AB = 2 \times OE = 14$ cm ...

Идеята за бейзкрайност е трудно разбираема. Хората имат определена продължителност на живота, свикнали сме да работим с конкретни понятия и крайни обекти. Как бихме могли изобщо да си представим, че нещо би могло да продължава до безкрай. Древните гърци и безкрайността www.lithub.com/ Още в Древна Гърция математиците се борели с концепцията за безкрайност. Евклид доказва, че има безкраен брой прости числа. Аристотел осъзнава, че времето продължава винаги без да спира. Гърците наричали безкрайността апейрон , което означава "без граници" или "без предел". Те не били привърженици на тази идея, тъй като предпочитали да използват (малки) цели числа. Философът Зенон, живял през V в. пр. Хр., е известен със своите парадокси вклюващи идеята за безкрайност. Най-известният от тези парадокси е за Ахил и костенурката, в който Ахил - известен войн от Гръцката митология, се състезава с костенурката. Нека кажем, че той дава на костенурката да стартира надбягванет...

Ромб - дефиниции, свойства и задачи | Геометрия 7 клас Ромб - дефиниции, свойства и задачи Определение 1: Успоредник с равни съседни страни се нарича ромб. Признаци за ромб Теорема 1 (признак): Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб. Теорема 2 (признак): Четириъгълник, на който всички страни са равни, е ромб. Свойства на ромба Теорема 3 (свойство): В ромба диагоналите са взаимно перпендикулярни. Теорема 4 (свойство): В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му. Доказателство: Тъй като в ромба всички страни са равни, триъгълниците, образувани от диагоналите, са еднакви по три страни. Следователно съответните ъгли са равни, което доказва, че диагоналите са ъглополовящи. Важно: Тъй като ромбът е вид успоредник, той притежава всички свойства на успоредника. Можете да научите по...

Правоъгълник - дефиниции, свойства и задачи | Геометрия 7 клас Правоъгълник - дефиниции, свойства и задачи Определение 1: Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник. Признаци за правоъгълник Теорема 1 (признак): Успоредник с равни диагонали е правоъгълник. Теорема 2 (признак): Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник. Свойства на правоъгълника Теорема 3 (свойство): В правоъгълника диагоналите са равни. Доказателство: Тъй като правоъгълникът е успоредник, диагоналите му се разполовяват. Освен това, разглеждайки правоъгълните триъгълници, образувани от диагоналите, по признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници (катет-катет) доказваме, че диагоналите са равни. Важно: Тъй като правоъгълникът е вид успоредник, той притежава всички свойства на успоредника. Можете да научите повече за свойствата на успоредника тук . ...

Успоредник - дефиниции, свойства и задачи | Геометрия 7 клас Успоредник - дефиниции, свойства и задачи Определение 1: Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са успоредни, се нарича успоредник. Признаци за успоредник Теорема 1 (признак): Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, е успоредник. Теорема 2 (признак): Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник. Теорема 3 (признак): Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник. Свойства на успоредника Теорема 4 (свойство): В успоредника двойките срещуположни страни са равни. Следствие 1: В успоредника срещуположните ъгли са равни. Следствие 2: В успоредника сборът на прилежащите на коя да е страна ъгли е $180^{\circ}$. Доказателство: Нека ABCD е усп...

Неравенства в триъгълник - теореми и задачи | Геометрия 7 клас Неравенства в триъгълник - теореми и задачи Преди да преминем към задачите от този урок, ще припомним някои важни факти, които ще използваме при решаването на задачите от този материал. Теорема 1: В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл. Теорема 2: В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна. Следствие 1: В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки от катетите. Следствие 2: Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена спусната от същата точка към правата. Теорема 3: В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни. Следствие 3: Всяка страна в триъгълник е по-голяма от разликата на другите две страни. Теорема 4: Ако всяка от три дадени отсечки е по-малка от сбора на др...

Приложения на линейните неравенства в реални ситуации | Математика 7 клас Приложения на линейните неравенства в реални ситуации Едно от най-удивителните качества на математиката е нейната приложимост в другите науки. В този урок ще разгледаме някои приложения на линейните неравенства при различни ситуации и задачи, които могат да възникнат в нашето ежедневие. 1 Задача Мария попитала прятелката си Росица: "Колко страници от книгата, която ти дадох, прочете?". Тя й отговорила: "Ако добавиш номера на страницата, на която се намирам, към номера на следващата страница, плюс номера на по-следващата, сборът ще е поне 108". Най-малко колко страници може да е прочела Росица?  Решение: Нека означим с $n$, номера на страницата на, която се намира в момента Росица. Знаем, че $n$ е естествено число, т.е. $n\in\mathbb{N}$, защото няма страница с отрицателен или нулев номер...

Линейни неравенства - теория и задачи | Алгебра 7 клас Линейни неравенства - теория и задачи Определение 1: Неравенство на два израза, в което едното число, означено с буква, се приема за неизвестно, се нарича неравенство с едно неизвестно. Стойност на неизвестното, за която от дадено неравенство с едно неизвестно се получава вярно числово неравенство, се нарича решение на неравенството. Да решим една неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че неравенството няма решение. Определение 2: Две неравенства с едно неизвестно се наричат равносилни или еквивалентни, ако: 1) решенията на първото неравенство са решения и на второто, и обратно 2) двете неравенства нямат решение 1 Задача: Решете неравенството \[4x - 4 Решение: \[4x - 4 $3x Решението записваме като $x\in(-\infty;\frac{7}{3})$ ...

Признаци за еднаквост на триъгълници и свойства на ъглополовящи | Геометрия 7 клас Теорема 1: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от единия триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия триъгълник. Определение 1: Ъглополовяща на даден ъгъл се нарича лъчът с начало върха на ъгъла, който разделя този ъгъл на два равни ъгъла. Теорема 2: Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на този ъгъл. Теорема 3: Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на този ъгъл. 1 Задача: Докажете, че два равнобедрени триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни бедра и височини към основата. Решение: Нека имаме два равнобедрени триъгълника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в които $CH$ и $C_1H_1$ са височини. От услови...