Умножение и събиране на възможности 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 8 клас › Комбинаторика › Умножение и събиране на възможности

Умножение и събиране на възможности
Основни идеи от комбинаториката

Пълен урок с основни понятия, решени задачи, самостоятелна работа, видео урок и интерактивен тест

8 клас Комбинаторика 6 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Множества, крайни и безкрайни множества, комбинаторика, умножение и събиране на възможности — урок за 8 клас

Преди да преминем към решаването на задачи, нека припомним някои основни понятия и да кажем няколко думи за този непознат, осмокласници, дял от математиката.

Основни понятия

Понятие 1: Едно от най-фундаменталните понятия в математиката е множество. За него не съществува точна дефиниция, затова ще се доверим на интуицията. Множество е всяка съвкупност от обекти — числа, букви, ученици от едно училище, хора от един град и т.н.

Полезна връзка: Ако проявявате интерес, може да прочетете повече за множествата в отделната статия, посветена на темата.

Понятие 2: Според броя на елементите множествата могат да бъдат крайни и безкрайни.

Примери: Безкрайно множество е \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\), множеството на четните числа и т.н. При крайните множества елементите имат точно определен брой — учениците в едно училище, хората на планетата, звездите в Млечния път.

Всички множества, с които ще се срещнем на този етап, ще бъдат крайни.

Понятие 3: Съединения ще наричаме всички различни видове групи от еднородни елементи, принадлежащи на дадено множество.

Понятие 4: Когато съединенията се състоят от различни елементи, ги наричаме съединения без повторения. Ако елементите могат да се повтарят — съединения с повторения.

Понятие 5: Клонът на математиката, занимаващ се с определянето на броя на различните избори и подреждания, се нарича комбинаторика.

Правило 1 — Умножение на възможности: Ако \(a\) можем да изберем по \(n\) начина, а при всеки избор на \(a\) елементът \(b\) може да се избере по \(m\) начина, тогава наредената двойка \((a;\,b)\) може да се избере по \(n\cdot m\) начина.

Забележка: Това правило се обобщава и за наредена тройка, четворка и т.н.

Правило 2 — Събиране на възможности: Ако \(a\) може да се избере по \(n\) начина, а \(b\) — по \(m\) различни от тях начина, то кой да е от \(a\) или \(b\) може да се избере по \(n+m\) начина.

Забележка: И това правило се обобщава за повече от два обекта.

Понятие 6: Произведението \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n\) означаваме с \(n!\) и го четем „\(n\) факториел".

Примери: \(5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120\);  \(10!=3\,628\,800\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Колко четирицифрени числа с различни цифри може да се образуват с цифрите \(1\), \(2\), \(3\) и \(9\)?

▼

Решение Нека \(\overline{abcd}\) е едно такова число. За цифрата на хилядните \(a\) имаме \(4\) възможности, за стотиците \(b\) — \(3\), за десетиците \(c\) — \(2\), и за единиците \(d\) — \(1\). По правилото за умножение: \[4\cdot3\cdot2\cdot1=\mathbf{24}.\]

2

Намерете броя на всички трицифрени числа, записани с цифрите \(2\), \(5\), \(6\), \(7\) и \(9\) (повторенията са позволени).

▼

Решение За всяка от трите позиции \(\overline{abc}\) имаме \(5\) възможности (повторенията са позволени): \[5\cdot5\cdot5=\mathbf{125}.\]

3

Намерете броя на всички четирицифрени числа с различни цифри, записани с \(0\), \(1\), \(3\) и \(7\).

▼

Решение За цифрата на хилядните \(a\) имаме \(3\) възможности (не може да е \(0\)). За стотиците \(b\) — \(3\) (включва \(0\), изключва вече избраната), за десетиците \(c\) — \(2\), за единиците \(d\) — \(1\): \[3\cdot3\cdot2\cdot1=\mathbf{18}.\]

4

От четири групи с \(10\), \(8\), \(7\) и \(5\) танцьора трябвало да се избере по един. По колко начина може да стане това?

▼

Решение Изборите са независими, прилагаме умножение на възможности: \[10\cdot8\cdot7\cdot5=\mathbf{2800}\ \text{начина}.\]

5

В клас има \(15\) момчета и \(14\) момичета. По колко начина могат да се изберат едно момиче и едно момче, водещи тържеството?

▼

Решение За момчето имаме \(15\) възможности, за момичето — \(14\). Наредената двойка: \[15\cdot14=\mathbf{210}\ \text{начина}.\]

6

Мария избрала \(5\) поли, \(6\) блузи и \(3\) чифта обувки. За \(4\) минути пробва по един тоалет. За колко минути ще пробва всички?

▼

Решение Броят на всички тоалети (пола + блуза + обувки): \[5\cdot6\cdot3=90.\] Необходимото време: \(4\cdot90=\mathbf{360}\ \text{минути}.\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Росица иска да си купи химикал, тетрадка и гума. Предложени са \(5\) вида химикали, \(6\) вида тетрадки и \(8\) вида гуми. По колко начина може да избере по един от всеки вид?

Задача 2В пощата имало \(6\) вида пликове, \(7\) вида марки и \(12\) вида картички. По колко начина Никола може да изпрати картичка в плик с марка?

Задача 3Намерете броя на всички телефонни номера от вида \(0883\text{******}\).

Задача 4При азбука от \(30\) букви, колко \(7\)-буквени словосъчетания с различни букви могат да се направят?

Задача 5Дадени са едночлените \(xy^2\), \(x^3\), \(y^3\) и коефициентите \(a\), \(b\), \(c\). Колко тричлена могат да се запишат с тях?

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Умножение и събиране на възможности

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кое твърдение най-точно описва понятието множество?

Само съвкупност от числа Всяка съвкупност от обекти Само група от букви Само безкрайна съвкупност

2Кое от следните множества е безкрайно?

Учениците в един клас Месеците в годината Естествените числа Дните в седмицата

3Кой дял от математиката се занимава с броя на различните избори и подреждания?

Геометрия Комбинаторика Анализ Тригонометрия

4Ако \(a\) може да се избере по \(4\) начина, а \(b\) при всеки избор на \(a\) — по \(3\) начина, по колко начина се избира наредената двойка \((a;\,b)\)?

7 12 24 1

5Ако \(a\) може да се избере по \(5\) начина, а \(b\) — по \(7\) различни начина, по колко начина може да се избере \(a\) или \(b\)?

12 35 2 7

6Колко е \(5!\)?

25 60 120 720

7Колко четирицифрени числа с различни цифри се образуват с \(1\), \(2\), \(3\) и \(9\)?

12 16 18 24

8Колко трицифрени числа с повторения се образуват с \(2\), \(5\), \(6\), \(7\) и \(9\)?

25 75 125 120

9Колко четирицифрени числа с различни цифри могат да се запишат с \(0\), \(1\), \(3\) и \(7\)?

24 18 12 16

10От групи с \(10\), \(8\), \(7\) и \(5\) танцьора се избира по един. По колко начина?

30 300 210 2800

11В клас има \(15\) момчета и \(14\) момичета. По колко начина се избират по едно от всеки?

29 225 210 196

12Мария има \(5\) поли, \(6\) блузи и \(3\) чифта обувки. Колко различни тоалета може да направи?

90 14 18 30

13При \(4\) мин за тоалет, за колко минути ще пробва всичките \(90\)?

180 360 240 90

14Какво означава \(n!\)?

\(n+n\) \(n^n\) \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n\) \(n\cdot(n+1)\)

15Кое твърдение е вярно за съединения без повторения?

След всеки избор наличните възможности намаляват Може да повтаряме един и същ елемент Броят на възможностите винаги се събира Няма значение какво вече е избрано

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи, свързани с този урок, можете да намерите в клипа по-долу:

Видео урок — Умножение и събиране на възможности

---

Полезни връзки

Още за понятието множество

mathematica365.blogspot.com →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆