Умножение и събиране на възможности 8 клас

Преди да преминем към решаването на задачи нека припомним някои основни понятия, и да кажем няколко думи за този непозната за вас осмокласници дял от математиката.

Едно от най-фундаменталните и основни понятия в математиката е понятието множество (ако проявявате интерес в тази насока, може да прочете повече тук). За него не съществува точна дефиниция за това ние ще се доверим на интуицията си за това какво ще наричаме множество. Множество е всяка съвкупност от обекти (обектите могат да бъдат числа, букви, учениците от едно училище, хората от един град или хората от една държава и т.н.).

Според броя на елементите си множествата могат да бъдат крайни и безкрайни. Например безкрайно множество е множеството на естествените числа $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots n,\ldots\}$, множеството от всички четни числа, или пък множеството от всички нечетни числа и т.н. При крайните множествя, тяхните елементи не са безброй много, а имат някакъв точно определен брой. Пример за крайно множество е учениците от едно училище, хората на планетата Зема, звездите в нашата галактика Млечен път (колкото и много да са те имат някакъв краен брой) и т.н.

Всички множества с които ние ще се срещнем, на този етап ще бъдат крайни.

Съединения ще наричаме всички различни видове групи от еднородни елементи, които принадлежат на дадено множество.

Когато тези съединения се състоят от различни елементи, ще ги наричаме съединения без повторения. Ако имаме еднакви елементи, тогава ще ги наричаме съединения с повторения.

Всички обекти на едно крайно множество могат да се избират и подреждат по определени правила и условия. Клонът на математиката, който се занимава с въпросите за определянето на броя, на тези избори се нарича комбинаторика.

Умножение на възможности

Ако елементът $a$ можем да изберем по $n$ различни начина и при всеки избор на елемента $a$ елементът $b$ можем да изберем по $m$ различни начина, тогава наредената двойта $(a;b)$ можем да изберем по $n.m$ различни начина.

Това правило може да бъде обобщено не само за наредена двойка $(a,b)$, а и за наредена тройка, четворка и т.н.

Събиране на възможности

Ако елементът $a$ можем да изберем по $n$ различни начина, а елементът $b$ можем да изберем по $m$ различни начини, които са различни от начина на избор на $a$, то тогава кой да е от елементите $a$ или $b$ можем да изберем по $n+m$ начина.

И това правило, както и горното може да бъде обобщено за повече от два обекта.

Нека кажем накрая преди да преминем, към решаването на задачи, че произведението на първите $n$ естествени числа т.е. $1.2.3.4.\ldots n$ ще означаваме с $n!$. Например $5!=1.2.3.4.5=120$; $10!=1.2.3.4.5.6.7.8.9.10=3 628 800$ и т.н.

1 Задача Колко четирицифрени числа с различни цифри може да се образуват с цифрите $1$, $2$, $3$ и $9$ 

Решение: Нека означим с $\overline{abcd}$ едно от всички четирицифрени числа, от исканият вид, като с $a$ сме означили цифрата на хилядните, с $b$ цифрата на стотиците, с $c$ цифрата на десетиците и накрая с $d$ цифрата на единиците. За цифра на хилядните $a$ можем да сложим, която и да е от дадените ни цифри $1$, $2$, $3$ и $9$, следователно за нея имаме 4 възможности. Сега за цифрата на стотиците $b$ вече можем да сложим само три от дадените цифри, защото вече едната сме я поставили за цифрата на хилядните, следователно за $b$ имаме 3 възможности. За цифрата на десетиците $c$ вече имаме само 2 възможности, защото две от първоначално дадените ни цифри сме ги използвали за цифрите на хилядните и на стотиците. Накрая вече за цифрата на единиците $d$ имаме само една единствена възможност. И така за $a$ имаме $4$ възможности, за $b$ имаме $3$ възможности, за  $c$ имаме $2$ възможности и за $d$ имаме $1$ възможност. Сега за да намерим броя на всички четирицифрени числа с различни цифри е достатъчно да умножим $4.3.2.1=24$. Така броя на четирицифрените числа с различни цифри записани с цифрите $1$, $2$, $3$ и $9$ е $24$.

2 Задача Намерете броя на всички трицифрени числа, които могат да се запишат с цифрите $2$, $5$, $6$, $7$ и $9$.

Решение: Нека с $\overline{abc}$ означим едно трицифрено число от исканият вид. Тъй като в условието на задачата никъде не е споменато числото да има различни цифри, това означава, че за цифрата на стотиците $a$ можем да поставим, която и да е от петте дадени цифри т.е. имаме $5$ възможности, същото се отнася и за цифрата на десетиците $b$, както и за цифрата на единиците $c$, следователно броят на всички трицифрени числа, които можем да запишем с цифрите $2$, $5$, $6$, $7$ и $9$ е $5.5.5=125$.

3 Задача Намерете броя на всички четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат с цифрите $0$, $1$, $3$ и $7$

Решение: Нека с $overline{abcd}$ означим едно такова число. За цифрата на хилядните $a$ имаме $3$ възможности, защото няма число, което да започва с цифрата $0$, т.е. за $a$ имаме $3$ възможности. За цифрата на стотиците $b$ имаме също $3$ възможности, защото вече една от възможните цифри сме използвали, за цифрата на хилядните. За цифрата на десетиците $c$ вече имаме само $2$ възможности и накрая за цифрата на единиците $d$ имаме една възможност. Така броят всички четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат с цифрите $0$, $1$, $3$ и $7$ е $3.3.2.1=18$.

4. Задача От четири групи с танцови изпълнители трябвало да се избере по един танцьор. По колко най-много начина може да стане това, ако в първата група има $10$ танцьора, във втората $8$ танцьора, в третата $7$ танцьора и в четвъртата $5$ танцьора.
Решение: Тъй като в първата група има $10$ танцьора следователно ние имаме $10$ различни възможности за избор, които не са зависими по никакъв начин от избора на танцьори в другите групи. От втората можем да изберем $8$ т.е. имаме $8$ възможности, от третата имаме $7$ възможности и от четвъртата имаме $5$ възмоности. Така от четирите танцови групи можем да изберем по един танцьор най-много по $10+8+7+5=30$ начина.

5 Задача В един клас има $15$ момчета и $14$ момичате. По колко начина могат да се изберат едно момиче и дено момче, които да водят тържеството за зършване на учебната година
Решение: Тъй като за момчетата имаме $15$ възможности, а за момичетата имаме $14$ възможности, то наредената двойка (момче, момиче) може да изберем по $15.14=210$ различни начина.

6  Задача Мария избрала от гардероба си $5$ поли, $6$ блузи и $3$ чифта обувки. За четири минути Мария пробва по един тоалет от пола, блуза и обувки. Намерете за колко минути ще пробва всички възможни тоалети.

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос трябва да намерим всички наредени тройки (ПОЛА, БЛУЗА, ОБУВКИ). Тъй като за пола имаме $5$ възможности, за блуза $6$ възможности, а за обувки $3$  възможности, тогава след като приложим правилото за умножение на възможности ще получим и броят на всички тоалети, които Мария може да направи с наличните и други т.е. имаме $5.6.3=90$ възможни тоалета. Тъй като, тя пробва един тоалет за $4$ минути означава, че ще са и нужни $4.90=360$ минути.  

Задачи за самостоятелна работа

1. Росица иска да си купи химикал, тетрадки и гума. В книжарницата й предложили $5$ вида химикали $6$ вида тетрадки и $8$ вида гуми. По колко начина Росица може да си избере химикал, тетрадки и губа от предложените видове?

2. В пощата имало $6$ вида пощенски пликове, $7$ вида марки за писма и $12$ вида картички. По колко различни начина Никола може да изпрати картичка в плик с марка на дядо си?

3. Намерете броя на всички телефонни номера от вида $0883******$.

4. При азбука от $30$ букви, колко $7$ буквени словосъчетания с различни букви могат да се направят.

5. Дадени са едночлените $xy^2$, $x^3$, $y^3$ и коефициентите $a$, $b$, $c$. Колко тричлена могат да се запишат с тях?

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу: