Квадрат 7 клас

Квадрат - дефиниции, свойства и задачи

Определение 1: Правоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат.

Определение 2: Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат.

Свойства на квадрата

Важно: Квадратът притежава всички свойства на:

• успоредника
• правоъгълника
• ромба

Решени задачи

Задача 1: Нека $ABCD$ е квадрат, в който диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Ако разстоянието от $O$ до $AB$ е $7$ cm, намерете периметъра и лицето на квадрата $ABCD$.

Решение:

1. Разстоянието от $O$ до $AB$ е $OE = 7$ cm

2. В квадрата диагоналите са равни и се разполовяват, следователно $AO = BO = CO = DO$

3. Триъгълник $AOB$ е равнобедрен правоъгълен с катети $7$ cm

4. Страната на квадрата $AB = 2 \times OE = 14$ cm

5. Периметър $P = 4 \times AB = 56$ cm

6. Лице $S = AB^2 = 196$ cm²

Задача 2: Докажете, че правоъгълник с перпендикулярни диагонали е квадрат.

Решение:

1. Нека $ABCD$ е правоъгълник с $AC \perp BD$

2. В правоъгълника диагоналите са равни и се разполовяват, следователно $AO = BO = CO = DO$

3. Триъгълниците $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ са равнобедрени и правоъгълни

4. От равенството на триъгълниците следва, че $AB = BC = CD = DA$

5. Следователно $ABCD$ е квадрат

Задача 3: Точка $M$ е произволна точка от страната $BC$ на квадрата $ABCD$. Ъглополовящата на $\sphericalangle MAD$ пресича страната $DC$ в точка $P$. Докажете, че $AM = DP + MB$.

Решение:

1. Построяваме $BK = DP$

2. Доказваме, че $\triangle APD \cong \triangle AKB$ (по I признак)

3. От съответните ъгли намираме, че $\triangle AKM$ е равнобедрен

4. Следователно $AM = MK = MB + BK = MB + DP$

Задачи за самостоятелна работа

1. Точките $E$ и $F$ от диагонала на квадрата $ABCD$ са такива, че $AE = CF = AB$. Докажете, че $BEDF$ е ромб и намерете градусната мярка на ъглите му.

2. Даден е квадрат $ABCD$. Точка $E$ е от страната $AB$. Перпендикулярът, издигнат от върха $C$ към $EC$, пресича правата $AD$ в точка $F$. Ъглополовящата на $\sphericalangle ECF$ пресича правата $AB$ в точка $M$. Докажете, че $MC$ е ъглополовяща на $\sphericalangle FME$.

3. Външно за квадрата $ABCD$ са построени равностранните триъгълници $ABM$ и $BCN$. Намерете ъглите на $\triangle MND$.

4. В квадрата $ABCD$ е построен лъч с начало точка $B$, който минава през вътрешността на квадрата и образува ъгъл $65^{\circ}$ с $BC$. Ако точка $Q$ е петата на перпендикуляра, спуснат от точка $D$ към построения лъч, намерете големината на $\sphericalangle DCQ$.

5. В квадрата $ABCD$ е вписан равностранният $\triangle APQ$, като върховете му $P$ и $Q$ лежат съответно върху страните $BC$ и $DC$. Ако точка $F$ е средата на $AQ$ и $DF=2$ cm, намерете периметъра на $\triangle APQ$.

6. Точките $E$ и $F$ са от диагонала $AC$ на квадрата $ABCD$ и $AE=CF$. Докажете, че $BFDE$ е ромб.

7. Точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са съответно върху страните $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ на квадрата $ABCD$. Докажете, че $MP\perp NQ$ тогава и само тогава, когато $AM+CP=BN+DQ$.

8. Точките $E$ и $F$ са от диагонала $AC$ на квадрата $ABCD$ и са такива, че $AE=CF=AB$. Докажете, че $BEDF$ е ромб и намерете градусните мерки на ъглите му.

9. Нека $ABCD$ е квадрат и точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са съответно от страните ме $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ така, че $MP\perp NQ$. Докажете, че $MP=NQ$.

10. През върха $A$ на квадрата $ABCD$ е построена произволна права, която пресича страната $BC$ в нейна вътрешна точка $M$. Ъглополовящата на $\sphericalangle MAD$ пресича страната $DC$ в точката $P$. Докажете, че $AP=DP+MB$.

11. Даден е квадратът $ABCD$. Точката $E$ е от страната $AB$. Перпендикулярът, издигнат от върха $C$ към $EC$, пресича правата $AD$ в точка $F$. Ъглополовящата на $\sphericalangle ECF$ пресича правата $AB$ в точка $M$. Докажете, че $MC$ е ъглополовяща на $\sphericalangle FME$.

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи свързани с квадрата можете да намерите в клипа ми:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +