Ромб 7 клас

Ромб - дефиниции, свойства и задачи

Определение 1: Успоредник с равни съседни страни се нарича ромб.

Признаци за ромб

Теорема 1 (признак): Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб.

Теорема 2 (признак): Четириъгълник, на който всички страни са равни, е ромб.

Свойства на ромба

Теорема 3 (свойство): В ромба диагоналите са взаимно перпендикулярни.

Теорема 4 (свойство): В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.

Доказателство: Тъй като в ромба всички страни са равни, триъгълниците, образувани от диагоналите, са еднакви по три страни. Следователно съответните ъгли са равни, което доказва, че диагоналите са ъглополовящи.

Важно: Тъй като ромбът е вид успоредник, той притежава всички свойства на успоредника. Можете да научите повече за свойствата на успоредника тук.

Решени задачи

Задача 1: Намерете лицето на ромб, чиито диагонали са $7$ cm и $10$ cm.

Решение:

Лицето на ромб може да се намери по формулата:

$$S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$

Където $d_1$ и $d_2$ са дължините на диагоналите. В нашия случай:

$$S = \frac{7 \times 10}{2} = 35 \text{ cm}^2$$

Алтернативно решение: Диагоналите се разполовяват и са перпендикулярни, образувайки 4 еднакви правоъгълни триъгълника. Лицето на всеки такъв триъгълник е $\frac{3.5 \times 5}{2} = 8.75$ cm². Общото лице е $4 \times 8.75 = 35$ cm².

Задача 2: Един от ъглите на успоредник е $72^{\circ}$. Определете другите ъгли на успоредника. Може ли този успоредник да е ромб?

Решение:

В успоредник срещуположните ъгли са равни, а съседните ъгли са допълващи се до $180^{\circ}$. Следователно:

$$\sphericalangle A = \sphericalangle C = 72^{\circ}$$

$$\sphericalangle B = \sphericalangle D = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$$

За да бъде успоредникът ромб, трябва всички страни да са равни. Това е възможно, тъй като равенството на страните не ограничава ъглите. Следователно отговорът е "Да, може да бъде ромб".

Задачи за самостоятелна работа

1. Периметърът на ромба $ABCD$ е $60$ cm, а диагоналът $BD=15$ cm. Намерете острия ъгъл на ромба.

2. Да се намерят ъглите на ромб, ако:

а) височината, прекарана през върха на единия от тъпите ъгли на ромба разполовява страната;

б) периметърът на ромба е $40$ cm, а височината му е $5$ cm.

3. През пресечната точка $O$ на диагоналите на ромба $ABCD$ минават правите $MN\perp AB$ и $PQ\perp BC$ ($M\in AB$, $N\in DC$, $P\in BC$, $Q\in AD$). Докажете, че $MQNP$ е успоредник.

4. Даден е равнобедрен $\triangle ABC$ ($AC=BC$). Точките $M$, $N$ и $K$ са среди съответно на страните $AB$, $BC$ и $AC$. Докажете, че $MNCK$ е ромб.

5. За ромба $ABCD$ ($\sphericalangle A<90^{\circ}$) са построени ъглополовящите $AM$ и $CN$ ($M\in DC, N\in AB$) съответно на ъглите $DAC$ и $ACB$.

а) Докажете, че четириъгълникът $NBMD$ е успоредник.

б) Ако $AM=BD$, докажете, че $\triangle AND$ е равнобедрен.

Още обяснени и решени задачи свързани с ромба можете да намерите в клипа ми:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +