Правоъгълник 7 клас

Правоъгълник - дефиниции, свойства и задачи

Определение 1: Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.

Признаци за правоъгълник

Теорема 1 (признак): Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.

Теорема 2 (признак): Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.

Свойства на правоъгълника

Теорема 3 (свойство): В правоъгълника диагоналите са равни.

Доказателство: Тъй като правоъгълникът е успоредник, диагоналите му се разполовяват. Освен това, разглеждайки правоъгълните триъгълници, образувани от диагоналите, по признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници (катет-катет) доказваме, че диагоналите са равни.

Важно: Тъй като правоъгълникът е вид успоредник, той притежава всички свойства на успоредника. Можете да научите повече за свойствата на успоредника тук.

Решени задачи

Задача 1: За правоъгълника $ABCD$ точка $O$ е пресечна точка на диагоналите и $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$. Докажете, че:

а) $\triangle AOD$ е равностранен;

б) $\sphericalangle DBA=30^{\circ}$.

Решение:

а) Тъй като $ABCD$ е правоъгълник, то той е и успоредник. Диагоналите му се разполовяват ($AO=CO$ и $BO=DO$) и са равни ($AC=BD$), следователно $AO=BO=CO=DO$.

Ъглите $\sphericalangle BOC$ и $\sphericalangle AOD$ са връхни и $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$ по условие, следователно $\sphericalangle AOD=60^{\circ}$. Триъгълникът $AOD$ е равнобедрен ($AO=DO$) с ъгъл $60^{\circ}$ при върха, което означава, че е равностранен.

б) От а) знаем, че $\triangle AOD$ е равностранен, следователно $\sphericalangle ADO=60^{\circ}$. В правоъгълния $\triangle ABD$ ($\sphericalangle BAD=90^{\circ}$) имаме: $$\sphericalangle DBA=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$

Задача 2: Диагоналите на правоъгълника $ABCD$ се пресичат в точката $O$. Симетралата на отсечката $OB$ минава през върха $C$. Намерете големината на ъглите $\sphericalangle BAO$ и $\sphericalangle DOA$.

Решение:

Тъй като симетралата на $OB$ минава през $C$, то $OC=BC$ (свойство на симетралата). Но $OC=OB$ (половината на диагонала), следователно $\triangle BOC$ е равностранен и $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$.

Ъглите $\sphericalangle BOC$ и $\sphericalangle DOA$ са връхни, следователно $\sphericalangle DOA=60^{\circ}$.

$\sphericalangle BOA$ и $\sphericalangle BOC$ са съседни ъгли, следователно $\sphericalangle BOA=120^{\circ}$. В равнобедрения $\triangle AOB$ ($AO=BO$) имаме: $$\sphericalangle BAO=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Намерете ъгъла между диагоналите на правоъгълник, ако едната му страна е два пъти по-малка от диагонала му.

2. Докажете, че ако симетралата на някоя от страните на успоредник го разделя на две равнолицеви части, този успоредник е правоъгълник.

3. В правоъгълника $ABCD$ точка $M$ е среда на $BC$ и $AM\perp MD$. Ако $P_{ABCD}=48$ cm, намерете $S_{ABCD}$.

4. В правоъгълника $ABCD$ диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Точката $H$ е петата на перпендикуляра, спуснат от върха $A$ към $BD$. Ъглополовящата на $\sphericalangle CAH$ пресича страната $CD$ в точка $L$. Ако $\sphericalangle BOC=50^{\circ}$, докажете, че $\triangle ALD$ е равнобедрен.

5. В правоъгълника $ABCD$ диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Точките $M$ и $N$ са съответно от отсечките $AB$ и $OB$ и са такива, че $OM=ON$. Докажете, че $\sphericalangle AOM=2\sphericalangle BON$.

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи свързани с правоъгълници можете да намерите в клипа ми:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +