Уроци по математика (Math lessons)

Преди да преминем към решаването на задачи нека припомним някои основни понятия, и да кажем няколко думи за този непозната за вас осмокласници дял от математиката. Едно от най-фундаменталните и основни понятия в математиката е понятието множество (ако проявявате интерес в тази насока, може да прочете повече тук ). За него не съществува точна дефиниция за това ние ще се доверим на интуицията си за това какво ще наричаме множество. Множество е всяка съвкупност от обекти (обектите могат да бъдат числа, букви, учениците от едно училище, хората от един град или хората от една държава и т.н.). Според броя на елементите си множествата могат да бъдат крайни и безкрайни . Например безкрайно множество е множеството на естествените числа $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots n,\ldots\}$, множеството от всички четни числа, или пък множеството от всички нечетни числа и т.н. При крайните множествя, тяхните елементи не са безброй много, а имат някакъв точно определен брой. Пример за крайно множество ...

Преди да преминем към решаването на задачи, нека припомним някои факти за квадрата.  Определение 1: Прагоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат. Определение 2: Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат. Квадратът притежава всички свойства на успоредника , правоъгълника и ромба . 1 Задача Нека $ABCD$ е квадрат, в който диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точката $O$. Ако разстоянието от $O$ до $AB$ е $7$ cm, то намерете периметъра и лицета на квадрата $ABCD$.  Решение: Спускаме перпендикуляра $OЕ$, към $AB$, следователно според условието на задачата $OE=7$ cm. Нека припомним, че разстоянието от точка до права (или отсечка) е перпендикулярът спуснат от точката към правата (или отсечката). Така имаме, че $\sphericalangle AEO=\sphericalangle BEO=90^{\circ}$. Освен това, квадратът е и ромб с прав ъгъл, следователно диагоналите $AC$ и $BD$ са и ъглополовящи, от където имаме, че $\sphericalangle BAC=\sphericalangle CAD=45^{\circ}$, така за правоъгъл...

Идеята за бейзкрайност е трудно разбираема. Хората имат определена продължителност на живота, свикнали сме да работим с конкретни понятия и крайни обекти. Как бихме могли изобщо да си представим, че нещо би могло да продължава до безкрай. Древните гърци и безкрайността www.lithub.com/ Още в Древна Гърция математиците се борели с концепцията за безкрайност. Евклид доказва, че има безкраен брой прости числа. Аристотел осъзнава, че времето продължава винаги без да спира. Гърците наричали безкрайността апейрон , което означава "без граници" или "без предел". Те не били привърженици на тази идея, тъй като предпочитали да използват (малки) цели числа. Философът Зенон, живял през V в. пр. Хр., е известен със своите парадокси вклюващи идеята за безкрайност. Най-известният от тези парадокси е за Ахил и костенурката, в който Ахил - известен войн от Гръцката митология, се състезава с костенурката. Нека кажем, че той дава на костенурката да стартира надбягванет...

Нека да припомним следните факти свързани с ромба, които ще използваме при решаването на задачи. Определение 1: Успоредник с равни съседни страни се нарича ромб. Следващите две теореми, ще ни дадат възможност да определяме, кога даден четириъгълник е ромб. Теорема 1: Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб. Теорема 2: Четириъгълник, на който всички страни са равни е ромб. Следващите две теореми пък ни дават свойствата, които притежава ромба. Теорема 3: В ромба диагоналите са взаимно перпендикулярни. Теорема 4: В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му. Сега накрая преди да преминем към задачите, нека кажем, че ромба е вид успоредни, и той притежава всички свойства на успоредника. 1 Задача Намерете лицето на ромб, чиито диагонали са $7$ cm и $10$ cm. Решение:  Нека е даден ромба $ABCD$ и $AC=10$ cm и $BD=7$ cm. Тъй като $ABCD$ e ромб това означава, че е и успоредник и следователно $AO=OC=5$ cm $BO=OD...

Преди да преминем към задачите от този урок, нека споменем някои важни факти за правоъгълника. Определение 1: Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник. Следващите две теореми се наричат теореми - признаци и с тяхна помощ можем да кажем, кога един четириъгълник или успоредник е правоъгълник. Теорема 1: Успоредник с равни диагонали е правоъгълник. Теорема 2: Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник. Следващата теорема ни дава информация за едно от свойствата на правоъгълника. Теорема 3: В правоъгълника диагоналите са равни. Тъй като правоъгълника е вид успоредник, той притежава абсолютно всички свойства на успоредника (повече за свойствата на успоредника може да намерите тук ). 1 Задача За правоъгълника $ABCD$ точка $O$ е пресечна точка на диагоналите и $\sphericalangle BOC=60^{\circ}$. Докажете, че: а) $\triangle AOD$ е равностранен; б) $\sphericalangle DBA=30^{\circ}$. Решение: а)  Тъй като $ABCD$ е правоъгълник, то той е...

Преди да преминем към решаването на задачи от тази тема, нека припомним някои важни факти за успоредника. Определение 1: Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са успоредни, се нарича успоредник. Следващите три теореми ще ни дават възможност да определяме, кога даден четириъгълник е успоредник, за това те се наричат теореми - признаци. Теорема 1: Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, е успоредник. Теорема 2: Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник. Теорема 3: Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник. Следващите две теореми и две следствия пък ни дават свойствата, които притежава успоредника. Теорема 4: В успоредника двойките срещуположни страни са равни. Следствие 1: В успоредника срещуположните ъгли са равни. Слествие 2: В успоредника сборът на прилежащите на коя да е страна ъгли е $180^{\circ}$. Теорема 5: В успоредника д...

Преди да преминем към задачите от този урок, ще припомним някои важни факти, които ще използваме при решаването на задачите от този материал. Теорема 1: В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл. Теорема 2: В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна. Следствие 1: В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки от катетите. Следствие 2: Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена спусната от същата точка към правата. Теорема 3: В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни. Следствие 3: Всяка страна в триъгълник е по-голяма от разликата на другите две страни. Теорема 4: Ако всяка от три дадени отсечки е по-малка от сбора на другите две, то има триъгълник със страни, равни на тези отсечки. 1 Задача Ако върху продължението на основата $AB$ на равнобедрения $\triangle ABC$ е взета точка $M$ така, че точката $B$ е между точките $A$ и $M$. Докажете, че $AC<CM$. Решение:...

Едно от най-удивителните качества на математиката е нейната приложимост в другите науки. В този урок ще разгледаме някои приложения на линейните неравенства при различни ситуации и задачи, които могат да възникнат в нашето ежедневие. 1 Задача Мария попитала прятелката си Росица: "Колко страници от книгата, която ти дадох, прочете?". Тя й отговорила: "Ако добавиш номера на страницата, на която се намирам, към номера на следващата страница, плюс номера на по-следващата, сборът ще е поне 108". Най-малко колко страници може да е прочела Росица?  Решение: Нека означим с $n$, номера на страницата на, която се намира в момента Росица. Знаем, че $n$ е естествено число, т.е. $n\in\mathbb{N}$, защото няма страница с отрицателен или нулев номер, нито пък с дробно число. Следователно, ако Росица се намира на $n$-та страница, то следващата страница ще бъде $n+1$, а по-следващата $n+2$. Така, като съберем $n+n+1+n+2$, получаваме сбора от страниците. Росица още е казала, ч...

Преди да започнем с решаването на задачи от тезата за неравенства ще припомним някои факти. Определение 1: Неравенство на два израза, в което едното число, означено с буква, се приема за неизвестно, се нарича неравенство с едно неизвестно. Стойност на неизвестното, за която от дадено неравенство с едно неизвестно се получава вярно числово неравенство, се нарича решение на неравенството. Да решим една неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че неравенството няма решение. Две неравенства с едно неизвестно се наричат равносилни или еквивалентни, ако множеството от решенията им съвпадат или казано с по друг начин, ако е изпълнено едно от следните условия: 1) решенията на първото неравенство са решения и на второто, и обратно решенията на второто неравенство са решения и на първото; 2) двете неравенства нямат решение. 1 Задача Решете неравенството $4x-4<x+3$. Решение:  За решаването на това неравенство ще процедираме, както и...