Височина, медиана и ъглополовяща към основата в равнобедрен триъгълник. Симетрала на отсечка 7 клас
Теорема 1: В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат.
Теорема 2: Ако в един триъгълник височината и медианата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.
Теорема 3: Ако в един триъгълник височината и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.
Теорема 4: Ако в един триъгълник медианата и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.
Теорема 5: В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са равни.
Определение 1: Права, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата й, се нарича симетрала на тази отсечка.
Симетралата на отсечката $AB$ ще отбелязваме с $s_{AB}$.
Теорема 6: Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.
Теорема 7: Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.
1 Задача: Триъгълникът $ABC$ е равнобедрен с основа $AB$ и отсечката $CH$ е негова височина. Точката $P$ е от отсечката $CH$. Докажете, че:
а) $AP=BP$; б) $\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC$; в) $\sphericalangle BAP=\sphericalangle ABP$.
Решение а): По условие $\triangle ABC$ е равнобедрен, следователно $AC=BC$ и $\sphericalangle A=\sphericalangle B$. $CH$ е височина към основата $AB$ и според Теорема 1 тя е и медиана и ъглополовяща, откъдето (1) $AH=BH$ ($CH$ - медиана). От това, че $CH$ е височина следва, че (2) $\sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90^{\circ}.$
Разглеждаме $\triangle AHP$ и $\triangle BHP$:
1) $AH=BH$ (от (1));
2) $PH$ - обща;
3) $\sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90^{\circ}$ (от (2)),
Следователно $\triangle AHP\cong\triangle BHP$ по I признак, откъдето следва, че $AP=BP.$
Решение б): Тъй като $CH$ е ъглополовяща имаме, че (3) $\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP$.
Разглеждаме $\triangle APC$ и $\triangle BPC$:
1) $CP$ - обща;
2) $\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP$ (от (3))
3) $AC=BC$ ($\triangle ABC$ - равнобедрен),
Следователно $\triangle APC\cong \triangle BPC$ по I признак, откъдето $\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC$.
Решение в): Това следва непосредствено от решението a), защото доказахме, че $\triangle AHP\cong\triangle BHP$, а в еднаквите триъгълници всички съответни ъгли са равни.
2 Задача: В равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC=BC$), $\sphericalangle ACB=40^{\circ}$, а симетралата на $AC$ пресича $BC$ в точката $D$ и продължението на $AB$ в точка $E$. Намерете големината на $\sphericalangle BCE.$
Решение: Тъй като $\triangle ABC$ е равнобедрен, то $AC=BC$ и $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC$. От $\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC+\sphericalangle ACB=180^{\circ}$ получаваме $\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC=140^{\circ}$, откъдето $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=70^{\circ}.$
Тъй като $EM$ лежи върху симетралата $s_{AC}$ следва, че $ME$ е височина и медиана в $\triangle AEC$ и според Теорема 2 $\triangle AEC$ е равнобедрен с $\sphericalangle EAC=\sphericalangle ACE=70^{\circ}$.
Така $\sphericalangle BCE=\sphericalangle ACE-\sphericalangle ACB=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$.
3 Задача: Симетралата на бедрото $BC$ на равнобедрения $\triangle ABC$ пресича другото бедро $AC$ в точка $P$. Ако периметърът на $\triangle APB$ е равен на $39$ $cm$ и $BC=17$ $cm$, то намерете страната $AB$.
Решение: Нека симетралата $S_{BC}$ пресича $BC$ в точката $M$. Следователно $BM=MC$ и $PM\perp BC$ $\implies$ $PM$ е височина и медиана в $\triangle PBC$ и от тук следва, че $\triangle PBC$ е равнобедрен (това следва и от факта, че точката $P$ е от симетралата $S_{BC}$ и следователно $PC=PB$).
Нека $AP=x$. Тогава $PC=PB=17-x$. За периметъра на $\triangle ABP$ имаме:
$P_{\triangle ABP}=AP+AB+PB$ т.е. $39=AB+x+17-x$, откъдето $AB=39-17=22$ $cm$.
Задачи за самостоятелна работа
1. Върху бедрото $BC$ на равнобедрения $\triangle ABC$ съществува точка $D$ и тя е такава, че $CD=AD=AB$.
а) Намерете ъглите на $\triangle ABC$.
б) Докажете, че точка $D$ е на равни разстояния от правите $AB$ и $AC$.
2. В $\triangle ABC$ ($AC=BC$) симетралата на $BC$ пресича бедрото $AC$ в точка $M$, а симетралата на $CM$ пресича бедрото $BC$ в точка $N$. Докажете, че $\sphericalangle AMB=\sphericalangle MNB.$
3. Даден е $\triangle ABC$, в който $\alpha:\beta:\gamma=5:1:6$. Точката $M$ е средата на страната $BC$, а $H$ е пета на височината към $AB$.
а) Намерете големината на $\sphericalangle CMH$.
б) Докажете, че $AB=4CH$.
4. В $\triangle ABC$ ъглополовящата $AL$ разполовява медианата $CM.$
а) Докажете, че $AC=\frac{1}{2}AB$.
б) Намерете ъглите на $\triangle ABC$, ако $\sphericalangle BCM=30^{\circ}.$
Видео уроци
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар