Височина, медиана и ъглополовяща към основата в равнобедрен триъгълник. Симетрала на отсечка 7 клас

Ще започнем този урок, като припомним някои важни теореми, които ще използваме в решаването на задачите.

Теорема 1: В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат.

Теорема 2: Ако в един триъгълник височината и медианата през един от върповете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 3: Ако в един триъгълник височината и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 4: Ако в един триъгълник медианата и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 5: В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са равни.

Определение 1: Права, която е пепендикулярна на дадена отсечка и минава през средата й, се нарича симетрала на тази отсечка.

Симетралата на отсечката $AB$ ще отбелязваме с $s_{AB}$.

Теорема 6: Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.

Теорема 7: Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.

1 Задача Триъгълникът $ABC$ е равнобедрен с основа $AB$ и отсечката $CH$ е негова височина. Точката $P$ е от отсечката $CH$. Докажете, че:

а) $AP=BP$; б) $\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC$; в) $\sphericalangle BAP=\sphericalangle ABP$.

Решение:

а) По условие знаем, че $\triangle ABC$ е равнобедрен (още за равнобедреният и равностранният триъгълник може да прочетете тук) и следователно $AC=BC$ и $\sphericalangle A=\sphericalangle B$. Още в условието на задачата ни е казано, че $CH$ е височина към основата $AB$ на даденият триъгълник и следователно според Теорема 1 от днешният урок, това означава, че $CH$ освен, че е височина тя е медиана и ъглополовяща, от където можем да кажем, че (1) $AH=BH$ ($CH$ - медиана). От това, че $CH$ е височина следва, че  (2) $\sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90^{\circ}.$ Разглеждаме $\triangle AHP$ и $\triangle BHP$

1) $AH=BH$ (от (1));

2) $PH$ - обща;

3) $\sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90^{\circ}$ (от (2)), следователно триъгълниците $AHP$ и $BHP$ са еднакви по I признак, (повече за първи и втори признак за еднаквост на два триъгълника може да намерите тук) от където пък следва, че $AP=BP.$

б) Тъй като, $CH$ е ъглополовяща можем да кажем, че (3) $\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP$.

Разглеждаме $\triangle APC$ и $\triangle BPC$

1) $CP$ - обща;

2) $\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP$ (от (3))

3) $AC=BC$ ($\triangle ABC$ - равнобедрен по условие), следователно $\triangle APC\cong \triangle BPC$ по I признак, от където пък получаваме, че $\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC$.

в) Това, че $\sphericalangle BAP=\sphericalangle ABP$ следва непосредствено от решението a), защото в нея доказахме, че $\triangle AHP\cong\triangle BHP$, а по определение в еднаквите триъгълниците всички страни и ъгли от единия триъгълник са съответно равни на всички страни и ъгли в другия триъгълник. 

2 Задача В равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC=BC$), $\sphericalangle ACB=40^{\circ}$, а симетралата на $AC$ пресича $BC$ в точката $D$ и продължението на $AB$ в точка $E$. Намерете големината на $\sphericalangle BCE.$

Решение:

Тъй като по условие $\triangle ABC$ е равнобедрен следва, че $AC=BC$ и $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC$. Знаем, че $\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC+\sphericalangle ACB=180^{\circ}$ и получаваме, че $\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC=140^{\circ}$, от където $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=70^{\circ}.$ Тъй, като $EM$ лежи върху симетралата $s_{AC}$ следва, че $ME$ е височина и медиана в триъгълника $AEC$ и според Теорема 2 от днешният урок имаме, че $\triangle AEC$ е равнобедрен и $\sphericalangle EAC=\sphericalangle ACE=70^{\circ}$. Така за $\sphericalangle BCE$ намираме, че неговата градусна мярка е $30^{\circ}$, защото $\sphericalangle BCE=\sphericalangle ACE-\sphericalangle ACB=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$.

3 Задача Симетралата на бедрото $BC$ на равнобедрения $\triangle ABC$ пресича другото бедро $AC$ в точка $P$. Ако периметърът на $\triangle APB$ е равен на $39$ $cm$ и $BC=17$ $cm$, то намерете страната $AB$

Решение:

Нека симетралата $S_{BC}$ пресича $BC$ в точката $M$. Следователно $BM=MC$ и $PM\perp BC$ $\implies$ PM е височина и медиана в $\triangle PBC$ и от тук следва, че $\triangle PBC$ е равнобедрен (това, че $\triangle PBC$ е равнобедрен следва и от факта, че точката $P$ е от симетралата $S_{BC}$ и следователно тя е на равни разстояния от краищата на отсечката $BC$, т.е. $PC=PB$). Нека да означим $AP=x$. Тогава имаме, че $PC=PB=17-x$. За периметъра на $\triangle ABP$ имаме, че $P_{\triangle ABP}=AP+AB+PB$ т.е. $39=AB+x+17-x$, от където $AB=39-17=22$ $cm$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Върху бедрото $BC$ на равнобедрения $\triangle ABC$ съществува точка $D$ и тя е такава, че $CD=AD=AB$.

а) Намерете ъглите на $\triangle ABC$.

б) Докажете, че точка $D$ е на равни разстояния от правите $AB$ и $AC$.

2. В $\triangle ABC$ ($AC=BC$) симетралата на $BC$ пресича бедрото $AC$ в точка $M$, а симетралата на $CM$ пресича бедрото $BC$ в точка $N$. Докажете, че $\sphericalangle AMB=\sphericalangle MNB.$

3. Даден е $\triangle ABC$, в който $\alpha:\beta\gamma=5:1:6$. Точката $M$ е средата на страната $BC$, а $H$ е пета на височината към $AB$.

а) Намерете големината на $\sphericalangle CMH$.

б) Докажете, че $AB=4CH$.

4. В $\triangle ABC$ ъглополовящата $AL$ разполовява медианата $CM.$

а) Докажете, че $AC=\frac{1}{2}AB$.

б) Намерете ъглите на $\triangle ABC$, ако $\sphericalangle BCM=30^{\circ}.$

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +