Уроци по математика (Math lessons)

Ще започнем този урок, като припомним някои важни теореми, които ще използваме в решаването на задачите. Теорема 1: В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат. Теорема 2: Ако в един триъгълник височината и медианата през един от върповете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 3: Ако в един триъгълник височината и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 4: Ако в един триъгълник медианата и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 5: В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са равни. Определение 1: Права, която е пепендикулярна на дадена отсечка и минава през средата й, се нарича симетрала на тази отсечка. Симетралата на отсечката $AB$ ще отбелязваме с $s_{AB}$. Теорема 6: Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката. Теорема 7: Всяка...

Определение 1: Триъгълник, на който две от страните са равни се нарича равнобедрен. $\triangle ABC$ е равнобедрен триъгълник и $AC=BC=a$. Страните $AC$ и $BC$ се наричат бедра на триъгълника, а страната $AB$ се нарича основа. Теорема 1: Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, той е равнобедрен. Теорема 2: В равнобедрен триъгълник ъглите при основата му са равни. Определение 2: Триъгълник, на който и трите страни са равни, се нарича равностранен. Теорема 3: Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, той е равностранен. Теорема 4: В равностранен триъгълник и трите ъгъла са равни на $60^{\circ}.$ 1 Задача  Докажете, че в равнобедрен триъгълник медианите към бедрата са равни. Решение: Нека е даден равнобедреният триъгълник $ABC$ и $AC=BC$. Тъй като $AM$ и $BE$ са медиани следва, че $AE=BM$ (1). От Теорема 2 имаме, че $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC$ (2). Разглеждаме $\triangle ABM$ и $\triangle BAE$. 1) $AB$ - обща; 2)...

Нека разгледаме $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Очевидно на пръв поглед ни изглеждат едни и същи. В математиката, такива триъгълници ще наричаме еднакви. Определение 1: Два триъгълника, които имат съответно равни страни и съответно равни ъгли, се наричат еднакви. Твърдението, че $\triangle ABC$ е еднакъв на $\triangle A_1B_1C_1$ ще означаваме по следният начин $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1.$ Теорема 1 (първи признак за еднаквост): Ако две страни и ъгъл заключен между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл заключен мужду тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Теорема 2 (втори признак за еднаквост): Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Определение 2: В два еднакви триъгълника височините, медианите и ъглополовящите през съответните върхове се наричат съответни височини, съответни медиани и...

В настоящият урок ще научим на колко е равен сборът от ъглите в произволен триъгълник, какво е външен ъгъл на триъгълник, на колко е равен сборът от външните ъгли в триъгълника, както и ще решим някои задачи. Нека разгледаме следният чертеж  Теорема 1: Сборът от ъглите на всеки триъгълник е равен на $180^{\circ}$ или $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.$ Като следствие от тази теорема, можем да кажем, че всеки триъгълник има най-много един тъп ъгъл, както и, че сборът от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е равен на $90^{\circ}.$ Определение 1: Външен ъгъл на триъгълник се нарича ъгъл, съседен на вътрешен ъгъл на триъгълник ( в случая на чертежа външните ъгли са съответно $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$). Теорема 2: Всеки вънжен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от двата несъседни на него вътрешни ъгли на триъгълник. Казано с други думи, от Теорема 2 можем да запишем равенствата $\alpha^{\prime}=\beta+\gamma$, $\beta^{\prime}=\alpha+...