Съседни и противоположни ъгли 7 клас

Съседни и връхни ъгли - дефиниции и задачи

Определение 1: Два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли.

Теорема 1: Сборът на два съседни ъгъла е \(180^{\circ}\).

Определение 2: Ъгъл, който е равен на \(90^{\circ}\) ще наричаме прав ъгъл.

Теорема 2: Съседен ъгъл на прав ъгъл, също е прав ъгъл (тази теорема е следствие от Теорема 1).

Доказателство: Нека \(\angle ACB = \alpha = 90^{\circ}\) и \(\angle BCD = \beta = x^{\circ}\) са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\). Така получаваме, че \(\beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.\) Следователно според Определение 2 \(\angle BCD = 90^{\circ}\) е прав ъгъл, с което теоремата е доказана.

Теорема 3: Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав.

Доказателство: Нека \(\angle ACB = \alpha = x^{\circ}\) и \(\angle BCD = \beta = x^{\circ}\) са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\). Така получаваме, че \(x + x = 180^{\circ}\), следователно \(2x = 180^{\circ}\), от където получаваме, че \(x = 90^{\circ}\) и \(\angle ACD = \angle BCD = 90^{\circ}.\)

Определение 3: Ъгъл, който е по-малък от \(90^{\circ}\), се нарича остър ъгъл.

Определение 4: Ъгъл, който е по-голям от \(90^{\circ}\) и по-малък от \(180^{\circ}\), се нарича тъп ъгъл.

Определение 5: Две прави, които имат само една обща точка, се наричат пресекателни или пресичащи се прави. Общата им точка се нарича тяхна пресечна точка.

Твърдението "Правата \(a\) пресича правата \(b\) в точката \(O\)", за краткост ще означаваме по следният начин \(a \cap b = O.\)

Определение 6: Две прави, които нямат общи точки се наричат успоредни прави.

Твърдението: "Правата \(a\) е успоредна на правата \(b\)" ще означаваме с \(a \parallel b.\)

Определение 7: Два ъгъла, раменете на които са противоположни лъчи, ще наричаме противоположни или още връхни ъгли.

На тази фигура ъглите \(\angle AOB\) и \(\angle BOD\) са връхни, както и ъглите \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) също са връхни.

Теорема 4: Всеки два връхни ъгъла са равни.

Доказателство: Ъглите \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\) са съседни ъгли. Нека \(\angle AOC = \alpha\), следователно от Теорема 1 имаме, че \(\angle BOC = 180^{\circ} - \alpha\). От друга страна, ъглите \(\angle BOC\) и \(\angle BOD\) също са съседни ъгли, и отново от Теорема 1 имаме, че \(\angle BOD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \alpha)\), от където получаваме, че \(\angle BOD = \alpha\), следователно двойката връхни ъгли \(\angle AOB\) и \(\angle BOD\), са равни. Аналогично и \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) също са равни (Докажете сами!).

Определение 8: Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл.

Твърдението "Правата \(a\) е перпендикулярна на правата \(b\)" означаваме с \(a \perp b.\)

Теорема 5: През точка, не лежаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Може да си припомните основните геометрични фигури от тук.

1 Задача: Ако ъгъл \(\angle AOB\) е изправен, то намерете големината на \(\angle COD.\)

Решение: Тъй като \(\angle AOC + \angle COD + \angle BOD = \angle AOB = 180^{\circ}\), защото \(\angle AOB\) е изправен, следва че \(x = 180 - (32^{\circ} + 44^{\circ}) = 104^{\circ}\).

2 Задача: Лъчите на чертежа се пресичат в точката \(O\). Да се намери големината на \(\angle COA\), ако \(\angle COA : \angle COB = 4 : 5\).

Решение: Ъглите \(COA\) и \(COB\) са съседни. Следователно според Теорема 1 \(\angle COA + \angle COB = 180^{\circ}\). От условието на задачата имаме, че \(\angle COA = 4x\) и \(\angle COB = 5x\), тогава \(4x + 5x = 180^{\circ}\) от където намираме, че \(x = 20^{\circ}\). Така за търсеният ъгъл получаваме \(\angle COA = 4x = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ}\).

3 Задача: Ъглите \(AOB\) и \(BOC\) са съседни. Намерете градусните им мерки, ако разликата им е \(50^{\circ}.\)

Решение: Нека \(\angle AOB = \alpha\) и \(\angle BOC = \beta\). От факта, че двата ъгъла са съседни, според Теорема 1 имаме, че \(\alpha + \beta = 180^{\circ}.\) В условието на задачата, още ни е казано, че разликата на двата ъгъла е \(50^{\circ}.\) Нека предположим, че \(\alpha > \beta\), следователно \(\alpha - \beta = 50^{\circ}.\) Изразяваме \(\alpha\) от последното равенство, от където \(\alpha = 50^{\circ} + \beta\). Сега заместваме \(\alpha\) с \(50^{\circ} + \beta\) в равенството \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\) и така получаваме \(50^{\circ} + \beta + \beta = 180^{\circ} \iff 2\beta = 130^{\circ}\) и \(\beta = 65^{\circ}\), а \(\alpha = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ}.\)

4 Задача: Лъчите \(OA^{\rightarrow}\) и \(OB^{\rightarrow}\) са противоположни. Като използвате означенията на чертежа и фактите, че \(\alpha : \gamma : \delta = 3 : 4 : 5\) и \(\delta = 60^{\circ}\) намерете \(\beta\).

Решение: Нека \(\alpha = 3x\), \(\gamma = 4x\) и \(\delta = 5x\), следователно \(5x = 60^{\circ}\) от където намираме, че \(x = 12^{\circ}\). Така получаваме, че \(\alpha = 3 \cdot 12^{\circ} = 36^{\circ}\), \(\gamma = 4 \cdot 12^{\circ} = 48^{\circ}.\) Тъй като \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^{\circ}\) имаме уравнението \(36^{\circ} + \beta + 48^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}\) от където намираме, че \(\beta = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 48^{\circ} - 60^{\circ} = 36^{\circ}.\)

Задачи за самостоятелна работа

1. На даденият чертеж \(OL^{\rightarrow}\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\). Ако мярката на \(\angle AOC\) е с 40% по-голяма от мярката на \(\angle BOC\), то намерете мярката на \(\angle BOL.\)

2. Ако \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) са съседни ъгли и \(\angle AOB\) е с \(40^{\circ}\) по-голям от \(\angle BOC\), то намерете градусните им мерки.

3. Намерете ъглите, образувани при пресичането на две прави, ако един от тези ъгли е равен на сбора от двата си съседни ъгъла.

4. Да се пресметнат големините на два съседни ъгъла, ако единият от тях е с 30% по-голям от другия.

5. Един ъгъл е 8 пъти по-голям от съседния си. Намерете мярката на ъгъла.

Видео уроци:

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +