Свойства на успоредните прави 7 клас

Този урок ще започнем с една важна аксиома свързана с успоредните прави.

Аксиома за успоредните прави: През точка, нележаща на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.

Сега нека да разгледаме следните две теореми, които са следствие от горната аксиома.

Теорема 1: Ако две прави поотделно са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.

Теорема 2: Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата.

Сега да разгледаме следните теореми-свойства на успоредните прави.

Теорема 3: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка кръстни ъгли са равни.

Теорема 4: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка съответни ъгли са равни.

Теорема 5: Ако пресечем две успоредни прави с трета то сборът на всяка двойка прилежащи ъгли е равен на \(180^{\circ}\).

Да припомним две теореми-следствия.

Теорема 6: Ако права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата.

Теорема 7: През точка, нележаща на дадена права, минава само една права перпендикулярна на дадената.

Сега да кажем и едно важно определение свързано с разстоянието от точка до права.

Определение 1: Разстоянието от точка до права, ще наричаме перпендикулярът спуснат от точката към правата.

1 Задача: На даденият чертеж \(a \parallel b\). Да се намери мярката на ъгъл \(\beta\).

Решение: Тъй като от условието на задачата \(a \parallel b\), тогава според Теорема 4 всяка двойка съответни ъгли са равни (можете да си припомните всички ъгли получени при пресичането на две прави с трета тук). От чертежа виждаме, че ъглите \(\gamma\) и \(\delta\) са съответни ъгли и следователно \(\gamma = \delta = 40^{\circ}\). Тъй като \(\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}\) (виж урока за съседни и противоположни ъгли тук) получаваме, че \(110^{\circ} + \beta + 40^{\circ} = 180^{\circ}\) от където намираме и, че \(\beta = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\) с което задачата е решена.

2 Задача: На даденият чертеж \(a \parallel b\). Да се намери мярката на ъгъл \(\beta\).

Решение: Тъй като ъглите \(\alpha\) e \(3\alpha\) са съседни ъгли следва, че \(\alpha + 3\alpha = 180^{\circ}\), от където \(4\alpha = 180^{\circ}\) и \(\alpha = 45^{\circ}\). Така намираме и, че \(3\alpha = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Ъглите \(3\alpha\) и \(\beta\) са съответни ъгли. От условието на задачата имаме, че \(a \parallel b\) и според Теорема 4 от настоящият урок всяка двойка съответни ъгли са равни. Така от тук можем да направим извода, че \(3\alpha = \beta = 135^{\circ}\).

3 Задача: На даденият чертеш правите \(a\) и \(b\) са успоредни и са пресечени с правата \(c\), да се намери мярката на ъгъл \(\beta\).

Решение: Ъглите \(\beta\) и \(\alpha\) са съответни ъгли. От условието на задачата имаме, че \(a \parallel b\) и отново според Теорема 4 от настоящият урок получаваме, че \(\alpha = \beta\). От друга страна ъглите \(\alpha\) и \(2\beta + 30^{\circ}\) са съседни ъгли, от където имаме, че \(\beta + 2\beta + 30^{\circ} = 180^{\circ}\), следователно \(3\beta = 150^{\circ}\) и \(\beta = 50^{\circ}\).

Задачи за самостоятелна работа

1. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е три пъти по-голям от съседния му ъгъл.

2. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е половината на прилежащия му ъгъл.

3. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е с \(30^{\circ}\) по-голям от съседния му ъгъл.

4. Намерете ъглите, получени при пресичането на две успоредни прави с трета, ако единият от тях е \(\frac{2}{3}\) от някой от другите ъгли.

5. Докажете, че ъглополовящите на два ъгъла с взаимно успоредни рамене и с различни градусни мерки са перпендикулярни.

Видео уроци:

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +