Ъгли получени при пресичането на две прави с трета. Теореми признаци, за успоредност на две прави 7 клас

Имаме две прави \(a\) и \(b\), които са пресечени с трета права \(c\). Както се вижда от чертежа се образуват осем ъгъла, които имат специални имена.

Определение 1: Двойките ъгли \(\sphericalangle 3\) и \(\sphericalangle 5\); \(\sphericalangle 4\) и \(\sphericalangle 6\) се наричат вътрешни кръстни ъгли, а двойките \(\sphericalangle 1\) и \(\sphericalangle 7\); \(\sphericalangle 2\) и \(\sphericalangle 8\) се наричат външни кръстни ъгли.

Определение 2: Двойките ъгли \(\sphericalangle 1\) и \(\sphericalangle 5\); \(\sphericalangle 2\) и \(\sphericalangle 6\); \(\sphericalangle 3\) и \(\sphericalangle 7\); \(\sphericalangle 4\) и \(\sphericalangle 8\) се наричат съответни ъгли.

Определение 3: Двойките ъгли \(\sphericalangle 3\) и \(\sphericalangle 6\); \(\sphericalangle 4\) и \(\sphericalangle 5\) се наричат вътрешни прилежащи ъгли, а двойките \(\sphericalangle 1\) и \(\sphericalangle 8\); \(\sphericalangle 2\) и \(\sphericalangle 7\) се наричат външни прилежащи ъгли.

Теорема 1: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка кръстни ъгли са равни, то правите са успоредни.

Теорема 2: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка съответни ъгли са равни, то правите са успоредни.

Теорема 3: Ако при пресичането на две прави с трета права една двойка прилежащи ъгли имат сбор \(180^{\circ}\), то двете прави са успоредни.

Теорема 4: Ако две прави поотделно са перпендикулярни на трета права, те са успоредни помежду си.

1 Задача: При пресичането на две прави с трета единият от двойка съответни ъгли е \(30^{\circ}\), а другият е пет пъти по-малък от съседния си ъгъл. Докажете, че правите са успоредни.

Решение: Нека разгледаме двойката съответни ъгли \(\sphericalangle 2\) и \(\sphericalangle 6\). Ако докажем, че \(\sphericalangle 2 = \sphericalangle 6\), според Теорема 2 правите \(a\) и \(b\) ще бъдат успоредни.

От условието на задачата е дадено, че \(\sphericalangle 5\) и \(\sphericalangle 6\) са съседни и освен това \(\sphericalangle 5\) е пет пъти по-голям от \(\sphericalangle 6\), следователно, ако \(\sphericalangle 6 = \alpha\), то \(\sphericalangle 5 = 5\alpha\), така получаваме равенството \(5\alpha + \alpha = 180^{\circ}\) (повече за съседните и връхни ъгли може да намерите тук) и следователно \(6\alpha = 180^{\circ}\) от където \(\alpha = 30^{\circ}\). Получихме, че \(\sphericalangle 2 = \sphericalangle 6 = 30^{\circ}\) и от Теорема 2 следва, че \(a \parallel b\).

2 Задача: Да се намерят стойностите на номерираните ъгли от чертежа ако \(\sphericalangle 1 + \sphericalangle 3 = 40^{\circ}\) и \(\sphericalangle 5 : \sphericalangle 6 = 4 : 5\).

Решение: Тъй като \(\sphericalangle 1\) и \(\sphericalangle 3\) са връхни ъгли следва, че \(\sphericalangle 1 = \sphericalangle 3\), от където имаме, че \(\sphericalangle 1 = \sphericalangle 3 = 20^{\circ}\). От друга страна двойките ъгли \(\sphericalangle 1\) и \(\sphericalangle 2\) са съседни ъгли, следователно \(\sphericalangle 1 + \sphericalangle 2 = 180^{\circ}\), от където \(20^{\circ} + \sphericalangle 2 = 180^{\circ}\) и следователно \(\sphericalangle 2 = 160^{\circ}\). Съборазяваме, че \(\sphericalangle 2 = \sphericalangle 4 = 160^{\circ}\), защото са връхни ъгли, с което намерихме първите четири ъгъла.

Сега, тъй като \(\\sphericalangle 5\) и \(\\sphericalangle 6\) са съседни, и от условието на задачата имаме, че \(\\sphericalangle 5 = 4x\), а \(\\sphericalangle 6 = 5x\), получаваме \(4x + 5x = 180^{\circ}\), от където \(x = 20^{\circ}\) и \(\sphericalangle 5 = 80^{\circ}\), а \(\sphericalangle 6 = 100^{\circ}\). Остава да вземем предвид, че \(\sphericalangle 5 = \angle 7 = 80^{\circ}\) и \(\sphericalangle 6 = \sphericalangle 8 = 100^{\circ}\), като връхни ъгли, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Един от ъглите получени при пресичането на две прави с трета, е \(30^{\circ}\), а мярката на кръстния му ъгъл се отнася към мярката на съседния си ъгъл както 1:5. Докажете, че правите са успоредни.

2. Да се докаже, че ако ъглополовящите на два вътрешни (външни) кръстни ъгъла, получени при пресичането на две прави с трета, са успоредни, то правите са успоредни.

Видео уроци:

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +