Уроци по математика (Math lessons)

Този урок, ще започнем с една важна аксиома свързана с успоредните прави. Аксиома за успоредните прави: През точка, нележаща на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената. Сега нека да разгледаме следните две теореми, които са следствие от горната аксиома. Теорема 1: Ако две прави поотделно са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си. Теорема 2: Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата. Сага да разгледаме следните теореми-свойства на успоредните прави. Теорема 3: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка кръстни ъгли са равни. Теорема 4: Ако пресечем две успоредни прави с трета, то всяка двойка съответни ъгли са равни. Теорема 5: Ако пресечем две успоредни прави с трета то сборът на всяка двойка прилежащи ъгли е равен на $180^{\circ}.$ Да припомним две теореми-следствия. Теорема 6: Ако права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на друг...

До момента се запознахме с основните операции с множества - сечение, обединение и разлика на множества (можете да разгледате статията тук ). Сега ще разгледаме декартовото произведение на две множества $A$ и $B$, което ще отбелязваме с $A\times B$. Опредление 1: Нека $a$ и $b$ са произволни елементи. Множеството $\{\{a\},\{a,b\}\}$ се нарича наредена двойка от елементите $a$ и $b$.  Вместо този запис ние ще използваме записът $(a,b)$, като изришно споменем, че $(a,b)\neq (b,a).$ Тук казваме, че $a$ е първи елемент, а $b$ втори елемент. Определение 2: Нека $A$ и $B$ са множества. Множеството $A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}$ наричаме декартово произведение на множествата $A$ и $B$. Пример за декартово произведение е множеството от точките в евклидовата равнина, в която е въведена правоъгълна координатна система. В този случай, ако с $x$ означим ортогонална проекция на дадена точка върху правата $O_{x}$, а с $y$ означим ортогоналната проекция на същата точка върху правата $O_{y}...

За основоположник на теорията на множествата се счита Георг Кантор (за да придобиете по добра представа за понятието множество може да погледнете  тук ). Макар и в труда си "Парадокси на безкрайността" публикуван през 1851 г. чешкият математик Бернард Болцано да развива теорията за безкрайните множества и да доказва теоремата на Болцано-Вайерщрас, Кантор разглежда всеки математически обект, като определен тип множество. Георг Кантор Георго Кантор е роден на трети март 1845 г. в Санкт Петербург, Русия. Семейството му било заможно, а баща му бил емигрирал в Русия още на младини. През 1856 г. те се преместват в Германия. Амбициозният му баща, макар и да забелязал от рано интересите на младия Георг към математиката не бил съгласен синът му да се посвети на тази наука. Той искал наследникът му да стане инженер. По-късно отстъпва от това свое желание и разрешава на Кантор да следва математика. Университетът в Цюрих е първата стъпка към изучаването на тайните на любимата му ...

Основоположник на теорията на множествата е Георг Кантор (1845-1918) (повече за историята на теорията на множествата виж тук ). Понятието множество е фундаментално и не се определя чрез други понятия, а се описва и обеснява интуитивно. Най-общо казано, за множество можем да считаме всяка съвкупност от определени и различни един от друг обекти, които човек може да измисли и да приеме, като едно цяло. Множество например е нашата азбука, която се състои от $30$ букви; учениците в класната стая; молекулите съставящи човешкото тяло; звездите в Млечният път и т.н. Ще считаме, че едно множество е добре дефинирано, ако са определени неговите обекти, от които то е съставено. Допустими обекти са протоелементите и самите множества.  Тези елементи трябва да са различни един от друг и за всеки елемент е необходимо да се знае дали той принадлежи или не принадлежи към дадено множество, както и дали всеки два обекта на множеството са различни или съвпадат. При образуване на едно множество, за него...

Нека разгледаме следният чертеж: Имаме две прави $a$ и $b$, които са пресечени с трета права $c$. Както се вижда от чертежа се образуват осем ъгъла, които имат специални имена. Определение 1: Двойките ъгли $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 5$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 6$ се наричат вътрешни кръстни ъгли, а двойките $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 7$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 8$ се наричат външни кръстни ъгли. Определение 2: Двойките ъгли $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 5$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6$; $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 7$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 8$ се наричат съответни ъгли. Определение 3: Двойките ъгли $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 6$; $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 5$ се наричат вътрешни прилежащи ъгли, а двойките $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 8$; $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 7$ се наричат външни прилежащи ъгли. Теорема 1: Ако п...

Аугуст Фердинанд Мьобиус Аугуст Фердинанд Мьобиус е роден на 17 ноември 1790 година в град Шулпфорт. Бащата на Мьобиус е бил учител по танци, а майка му била потомка на религиозния реформатор Мартин Лутер. От 1803 г. до 1809 година той учи в Шулпфорт, а после продължава образованието си в Университета в Лайпциг. През 1813-1814 година Мьобиус е ученик на великият Карл Фридрих Гаус, като при него специализира астрономия и астрономически наблюдения в Плайсенбургската обсерватория край град Лайпциг. Интересно е да споменем, че по-късно той става и директор на тази обсерватория и професор в университета в Лайпциг до смъртта си на 26 септември 1868 година. През 1815 година Мьобиус получава докторската си дисертация от университета в Хале. При заниманията му с астрономия математическият му талант не е бил забелязан от Гаус. Мьобиус израства като математик изучавайки трудовете на съвременните му френски математици. Той запазва ума си ясен и свеж и работи усилено до края на живота си, като по-и...

Определение 1: Два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли. Теорема 1: Сборът на два съседни ъгъла е $180^{\circ}$. Определение 2: Ъгъл, който е равен на $90^{\circ}$ ще наричаме прав ъгъл. Теорема 2: Съседен ъгъл на прав ъгъл, също е прав ъгъл (тази теорема е следствие от Теорема 1 ). Доказателство: Нека $\sphericalangle ACB=\alpha=90^{\circ}$ и $\sphericalangle BCD=\beta=x^{\circ}$ са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Така получаваме, че $\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$ Следователно според Определение 2 $\sphericalangle BCD=90^{\circ}$ е прав ъгъл, с което теоремата е доказана. Теорема 3: Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав. Доказателство: Нека $\sphericalangle ACB=\alpha=x^{\circ}$ и $\sphericalangle BCD=\beta=x^{\circ}$ са съседни. Следователно от  Теорема 1  имаме, че $\alpha+\beta=180^{\circ}$. Така пол...

Математическите постулати са вечни и изконни. Законите на математиката са преплетени във всичко и единствено периода и пътищата, чрез които стигаме до тях са различни. В досегашните статии разширихме времевите граници на развитие на математиката, а сега ще разтегнем и пространствените, стигайки чак до Индия, за да надникнем от различна гледна точка. Науката, разбира се, в една култура, се развива ръка за ръка с всеки друг аспект на цивилизацията, която тя гради. Съответно и напълно очаквано можем да систематизираме развитието на математиката в Древна Индия на четири периода. Началото поставя една цивилизация, възникнала в долината на река Инд. Сведенията, които имаме за нея са много малко, предвид слабо познатите ни писменост и език. Археологическите артефакти обаче, оставят достатъчно внушителни и показателни  доказателства за развитието и постиженията й. Останките на двата най-развити древни града - Мохенджо Даро и Харапа, открити на територията на днешен Пакистан, са датирани ...

Основните геометрични фигури в геометрията са точката, правата и равнината. Определение 1: Ос ще наричаме права с избрана положителна посока върху нея. Определение 2: Ако вземем една права и изберем точка $O$ от нея, тя ще разделя правата на две части, всяка от които ще наричаме лъч с начало точка $O$. Тези два лъча се наричат противоположни лъчи. Определение 3: Всяка права $p$ от дадена равнина я разделя на две части, като всяка от тях се нарича полуравнина с контур правата $p$. Определение 4: Част от права, ограничена с две точки, се нарича отсечка. Тези точки се наричат краища на отсечката, а точките който са между тях се наричат вътрешни точки за отсечката. Определение 6: Дължина на отсечката ще наричаме положителното число, получено при измерването й с избрана мерна единица. Дължина на отсечка $AB$ ще бележим с $|AB|$ или само $AB$. Определение 7: Разстоянието между две точки се определя от дължината на отсечката, определена от тях. Определение 8: Две отсечки ...