Разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение 7 клас

Всяка една от формулите за съкратено умножение, които разгледахме до момента е пример за представяне на даден многочлен, като произведение, например $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, в лявата страна имаме многочлена $a^2-b^2$, а в дясната произведението от множители $(a-b)(a+b)$. По същият начин $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$. Ясно се вижда, че отново отляво в равенството имаме многочлен, а отдясно произведение. Нека да запишем и останалите формули с разменена лява и дясна част $a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3$ и $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).$ По надолу ще видим как можем да прилагаме тези равенства в конкретни задачи.

1 Задача Да се разложи на множители многочлена $4x^2-y^2.$ 

Решение: Записваме израза по следният начин  $4x^2-y^2=(2x)^2-y^2.$ Сега ще приложим формулата $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, която вече разгледахме тук  взета, обаче в обратен ред, т.е. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В нашият случай $a=2x$, а $b=y$, следователно $4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).$

2 Задача Да се разложи на множители многочлена $p^2-(x+y)^2.$ 

Решение: Отново прилагаме $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, като в този случай $a=p$, $b=x+y$, следователно $[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x+y)$.

3 Задача Да се разложи на множители многочлена $16b^2-8b+1.$ 

Решение: За разлагането на този многочлен, ще приложим формулата $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, която разгледахме тук, взета "от ляво надясно", т.е. $a ^2-2ab+b^2=(a-b)^2.$

4 Задача Да се разложи на множители многочлена $8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.$ 

Решение: Нека запишем даденият многочлен във вида $(2x)^3+3.(2x)^2.y+3.2x.y^2+y^3.$ Не е трудно да се забележи, че можем да приложим формулата $a^3+ 3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$ (повече за тази формула може да намерите тук), като в нашият случай $a=2x$ и $b=y$, следователно $(2x)^3+3.(2x)^2.y+3.2x.y^2+y^3=(2x+y)^3.$

5 Задача Да се разложи на множители многочлена $64a^3+27b^3.$ 

Решение: Забелязваме, че даденият многочлен, можем да представим във вида $(4a)^3+(3b^3).$ Прилагаме формулата $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ (повече за тази формула може да видите тук), от където получаваме, че $(4a)^3+(3b^3)=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2).$

6 Задача Да се разложи на множители тричленът $x^2-8x+15.$

Решение: Записваме тричленът във вида $x^2-2.x.4+16-1$. Сега не е трудно да видим, че $x^2-2.x.4+16=(x-4)^2$ (a^2-2ab+b^2=(a-b)^2), следователно $x^2-8x+15=(x-4)^2-1$. Остава ни още една стъпка до решаването на задачата. Нека сега да разгледаме $(x-4)^2-1=(x-4)^2-1^2$. Прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, където $a=x-4$, а $b=1$ и получаваме, че $(x-4)^2-1=(x-4)^2-1^2=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3).$

7 Задача Намерете най-голямата стойност на $\frac{6}{x^2+4x+5}$ и стойността на $x$, при която се получава тя.

Решение: Представяме знаменателя на дадената дроб във вида $\frac{6}{x^2+2.x.2+2^2+1}$, следователно $\frac{6}{x^2+2.x.2+2^2+1}=\frac{6}{(x+2)^2+1}$. Ясно е, че колкото по-малък е знаменателя на една дроб, толкова тя е по-голяма (едно е да делим една пица между трима, друго е ако я делим между шестима). Най-малката стойност, която може да приема $(x+2)^2$ е $0$, тъй като $(x+2)^2\geq 0$ за всяко $x$, като $(x+2)^2=0$, когато $x=-2$. От тук заключаваме, че най-голямата стойност, която може да приема дадената дроб е при $x=-2$ и тя е равна на $\frac{6}{0+1}=6.$

8 Задача Да се разложи на множители многочлена $x^6-1.$

Решение: Даденият многочлен записваме във вида $(x^3)^2-1^2$. Сега прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, където $a=x^3$ и $b=1$, следователно $(x^3)^2-1^2=(x^3-1)(x^3+1)$. За първият множител използваме, че $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, а за вторият $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, от където $(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$, с което задачата е решена. Опитайте да разложите този многочлен като използвате, че $x^6-1=(x^2)^3-1^3.$

9 Задача Да се разложи на множители многочлена $x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}.$ 

Решение: Многочлена можем да представим във вида $(x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2$. Сега като заместим в $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ с $a=x^k$ и $b=y^l$, получаваме $x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k+y^l)^2.$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на множители многочлена:

а) $x^2+18x+81;$ б) $4x^2-16y^2;$ в) $y^3+15y^2+75y+125;$ г) $27u^3-64v^3.$ 

2. Намерете числената стойност на израза $(2x-1)^2-81x^2$, при $x=1.$

3. Докажете, че ако $a+b$ се дели на $5$, то $a^2-b^2$ също се дели на 5.

4. Намерете най-малката стойност на израза $x^2-10x+37$ и стойността на $x$, при която се достига тя.

5. Докажете тъждеството $(a(x+y)+b(x-y))^2-(a(x-y)+b(x+y))^2=4xy(a-b)(a+b)$.

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +