Формули за съкратено умножение - $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме нейните приложения.

1 Задача: Извършете умножението \((x+y)(x-y)\).

Решение: Забелязваме, че тъй като умножението е комутативно имаме, че: \((x+y)(x-y)=(x-y)(x+y)\). Сега прилагаме формулата: \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] където \(a=x\) и \(b=y\). Получаваме: \[ (x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]

2 Задача: Извършете умножението \((3x-4y)(3x+4y)\).

Решение: Прилагаме формулата \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] в този случай \(a=3x\) и \(b=4y\). Следователно: \[ (3x-4y)(3x+4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2. \]

3 Задача: Извършете умножението \((x^2-z)(x^2+z)\).

Решение: Прилагаме формулата \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \] с \(a=x^2\) и \(b=z\). Получаваме: \[ (x^2-z)(x^2+z)=(x^2)^2-z^2=x^4-z^2. \] Нека да припомним свойството за степенуване на степен, което използвахме в разглежданата задача: \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\).

4 Задача: Пресметнете по рационален начин \(17.23\).

Решение: Представяме \(17.23\) като произведението: \[ 17.23=(20-3)(20+3), \] след което прилагаме формулата \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \] Получаваме: \[ (20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391. \]

5 Задача: Опростете израза \((3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)\).

Решение: Използваме формулата \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \] за двете произведения: \[ (3x-1)(3x+1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1, \] и \[ (x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4. \] Сега изваждаме: \[ 9x^2-1-(x^2-4)=9x^2-1-x^2+4=8x^2+3. \]

6 Задача: Опростете израза \((x+2)^2-(x+1)(x-1)\).

Решение: Използваме формулата за квадрата на сбор: \[ (x+2)^2 = x^2+4x+4, \] и формулата за разлика на квадрати: \[ (x+1)(x-1)=x^2-1. \] Така: \[ (x+2)^2-(x+1)(x-1)= \big(x^2+4x+4\big)-(x^2-1)=4x+5. \]

7 Задача: Докажете тъждеството \[ (a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=0. \]

Решение: Прилагаме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) за всяко от произведенията:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2, \quad (b+c)(b-c)=b^2-c^2, \quad (c+a)(c-a)=c^2-a^2. \] Сумата им е: \[ a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0. \]

8 Задача: Извършете умножението \((x+y+z)(x+y-z)\).

Решение: Записваме произведението като: \[ [(x+y)+z]\cdot[(x+y)-z], \] и прилагаме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) с \(a=x+y\) и \(b=z\): \[ (x+y)^2-z^2 = x^2+2xy+y^2-z^2. \]

9 Задача: Опростете израза \((a+b)(b-a)+a(a-4c)\) и намерете числената му стойност при \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\).

Решение: Първо, забелязваме, че \[ (a+b)(b-a) = -(a+b)(a-b) = -\big(a^2-b^2\big). \] Така, \[ (a+b)(b-a)+a(a-4c) = -\big(a^2-b^2\big)+a^2-4ac = -a^2+b^2+a^2-4ac = b^2-4ac. \] Замествайки \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\) получаваме: \[ (-5)^2-4\cdot2\cdot3 = 25-24=1. \]

10 Задача: Намерете числената стойност на израза \((2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)\) при \(x=\frac{1}{3}\).

Решение: Изчисляваме отделно:
\((2x-3)^2 = 4x^2-12x+9,\)
\((x-2)(x+2)=x^2-4,\)
а произведението \((x-1)(3x-2)\) умножаваме по правилото "всяко по всяко" като: \[ (x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2. \] След това: \[ 4x^2-12x+9 - (x^2-4) - (3x^2-5x+2)=4x^2-12x+9-x^2+4-3x^2+5x-2. \] Групираме: \[ (4x^2-x^2-3x^2)+(-12x+5x)+(9+4-2)=0x^2-7x+11. \] При \(x=\frac{1}{3}\): \[ -7\cdot\frac{1}{3}+11 = -\frac{7}{3}+11 = \frac{-7+33}{3}=\frac{26}{3}. \]

11 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално \(36^2-2\cdot36\cdot6+6^2\).

Решение: Това е формулата \[ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2, \] с \(a=36\) и \(b=6\). Затова: \[ 36^2-2\cdot36\cdot6+6^2 = (36-6)^2 = 30^2 = 900. \]

12 Задача: Като използвате формулите за съкратено умножение пресметнете рационално \(59^2\).

Решение: Представяме \(59\) като \(60-1\): \[ 59^2=(60-1)^2 = 60^2-2\cdot60\cdot1+1^2=3600-120+1=3481. \]

13 Задача: Докажете тъждеството \[ (x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2). \]

Решение: Разкриваме лявата страна: \[ (x+y)^2+(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2x^2+2y^2. \] Дясната страна: \[ 2(x^2+y^2)= 2x^2+2y^2. \] Следователно, равенството е доказано.

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването:
а) \((1-4x)(1+4x);\) б) \((-5+a)(-5-a);\) в) \((3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2);\) г) \(\left(\frac{1}{3}x-y\right)\left(\frac{1}{3}x+y\right);\) д) \((a-b-c)(a-b+c).\)

2. Пресметнете произведението, като приложите формулата за сбор по разлика на две числа:
а) \(98\cdot102;\) б) \(47\cdot53;\) в) \(11,5\cdot10,5.\)

3. Сравнете стойностите на изразите \(40^2\) и \(38\cdot42\).

4. Опростете изразите:
а) \((x-8)(x+8)-(x-8)^2;\) б) \((a-5)(5+a)-(1-a)^2;\) в) \((x+y)(x-y)+(x+y)^2-2xy.\)

5. Намерете нормалният вид на израза:
а) \((y-2)(y+2)(y^2+4);\) б) \(\left(\frac{a}{7}-\frac{6x}{5}\right)\left(\frac{a}{7}+\frac{6x}{5}\right).\)

6. Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите:
а) \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)\left(2x-\frac{1}{3}\right)-x(4x-3)\), при \(x=1;\)
б) \(5x^2-(3+2x)(2x-3)\), при \(x=0,3;\)
в) \(10y^2-(2+3y)(3y-2)\), при \(y=0,2\).

7. Докажете тъждеството \((x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=x^8-y^8.\)

8. Докажете тъждеството \((9a-4)(a+1)+(3a-2)(-2-3a)=5a.\)

9. Намерете числената стойност на израза \(A=(x-3)(x-2)(x+3)-(x+2)(x^2-9)-36\), ако \(x=3-|-2|\).

10. Ученик избира по случаен начин един от изразите \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\), \((c-d)^2\), \(b^2-a^2\), \(a^2+b^2\), \((a-b)(a+b)\), \(3a-3b\). Какъв е шансът да избере израз, който е разлика от квадратите на две числа?

11. Намерете стойностите на израза \(Q=q(q-1)+(2+q)(2-q)\) за всички \(q\) от множеството \(\{1,2,3,4,5\}\).

12. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) \((a-b)^2-2(a-b)(a+b)+(a+b)^2\);
б) \((x^2+2)^2-(x-2)(x+2)(x^2+4)\);
в) \(5(a-2)(a+2)-\frac{1}{2}(8a-6)^2+38\);
г) \((a-1)(a^2+1)(a-1)-(a^2-1)^2\);
д) \(2(m-n)^2-2(m+n)^2-4(m+n)(m-n)+8mn\);
е) \((2a-1)(2a+1)-\left[\frac{1}{2}(4a-3)\right]^2+(2a-13)\left(a-\frac{1}{4}\right).\)

13. Вярно ли е, че при всяко \(x\) от израза \(C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)\) се получава \(C>0\)?

Тест: Формули за съкратено умножение

1. След като умножим многочлените \((8r-5s)(8r+5s)\) се получава:

\(64r^2 - 10rs + 25s^2\) \(64r^2 + 25s^2\) \(64r^2 - 25s^2\) \(8r^2 - 5s^2\)

2. След като опростим израза \((3x-5)(3x+5)+(4x-7)(4x+7)\), се получава:

\(25x^2 - 74\) \(25x^2 - 14\) \(25x^2 - 49\) \(25x^2 - 24\)

3. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на \((2y-1)(2y+1)-2y(2y-1)\)?

\(4y\) \(2y+1\) \(2y-1\) \(4y-1\)

4. Като приложите формулата за сбор по разлика, пресметнете \((301)(299)\)

\(89999\) \(90000\) \(90001\) \(89998\)

5. На колко е равно неизвестното \(x\) в равенството \((x+3)(x-1) - (x-2)^2 = 2x+5\)?

\(x=1\) \(x=3\) \(x=2\) \(x=-1\)

6. На колко е равна стойността на израза \(\Bigl(\frac{3}{4}x-5\Bigr)\Bigl(\frac{3}{4}x+5\Bigr)+9\), когато \(x=8\)?

20 21 18 25

7. След разкриване на скобите в израза \((5+2a-b)(5-2a+b)\) се получава:

\(25-4a^2-b^2\) \(25-4a^2-b^2-2ab\) \(25-4a^2-b^2+2ab\) \(25-4a^2-b^2+4ab\)

8. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата \(x\)?

(Изберете този, който след правилно прилагане на формулата за сбор по разлика се свежда до константа.)

\(\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4)+ (4x - x^4)\bigr]\) \(\bigl[(x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\bigr]\) \(\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4)+ 4x(x-2)(x+2)\bigr]\) \(\bigl[(x-3)(x+3)(x^2+9)+(9x-x^4)\bigr]\)

9. Приведете в нормален вид произведението \((x^m-y^4)(x^m+y^4)\)

\(x^m - y^8\) \(x^m + y^4\) \(x^{2m} - y^8\) \(x^{2m} + y^8\)

10. Кой от изброените изрази е тъждествено равен на \((u+v)(u-v)(u^2+v^2)(u^4+v^4)\)?

\(u^8-v^8\) \(u^8+v^8\) \(u^4-v^4\) \(u^4+v^4\)

11. След като опростим израза \((x+3)(x-3) - (x^2-9)\), се получава:

\(0\) \(x^2-9\) \(2x^2-18\) \(x^2+9\)

12. Кой е нормалният многочлен, тъждествено равен на \(5x - x(x-1)(x+1) + x^2(x+1)\)?

\(x^2+5x\) \(x^2+6x+1\) \(x^2+5x+2\) \(x^2+6x\)

13. Като използвате формулите за квадрат на двучлен и сбор по разлика, пресметнете израза: \(404^2 - 3\cdot404\)

\(162020\) \(162010\) \(162004\) \(162000\)

14. След като приведете в нормален вид произведението \(\left(\frac{5}{3}x^p-\frac{2}{5}y\right)\left(\frac{5}{3}x^p+\frac{2}{5}y\right)\), се получава:

\(\frac{25}{9}x^{2p}-\frac{4}{25}y^2\) \(\frac{25}{9}x^{2p}+\frac{4}{25}y^2\) \(\frac{25}{45}x^{2p}-\frac{8}{25}y^2\) \(\frac{25}{9}x^{2p}-\frac{2}{5}y^2\)

15. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата \(x\)?

\(\bigl[(x-2)(x+2)(x^2+4) - (x^4-16x)\bigr]\) \(\bigl[(x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\bigr]\) \(\bigl[(x-3)(x+3)(x^2+9) + (9x-x^4)\bigr]\) \(\bigl[(x-5)(x+5)(x^2+25) + (25x-x^4)\bigr]\)

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1yDFkR7V1w3wdFPAjyRMEJEY00YXF76de1Yh289ThELE

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +