Уравнения от вида $|ax+b|=c$ 7 клас
Уравнения от вида $|ax+b|=c$, ще наричаме модулно уравнение. Решаването на модулното уравнение е свързано с разглеждането на 3 случая в зависимост от стойностите на $c$:
1 сл.) При $c>0$ решаването на модулното уравнение се свежда до решаването на следните две линейни уравнения $ax+b=c$ или $ax+b=-c$.
2 сл.) При $c=0$ даденото модулно уравнение е еквивалентно на линейното уравнение $ax+b=0$, записваме така $|ax+b|=c \iff ax+b=0.$
3 сл.) При $c<0$ модулното уравнение няма решение.

Определение:
- $|a|=a$, при $a>0$
- $|a|=0$, при $a=0$
- $|a|=-a$ при $a<0$
Свойства на модула:
1) $|a|\geq 0$
2) $|a|=|-a|$
3) $|a-b|=|b-a|$ за разлика от $(a-b)=-(b-a)$
4) $|a+b|=|-a-b|$
5) $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$
6) $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$, при $b\neq 0$
1 Задача Решете уравнението $|3x-5|=4.$
Решение: Тъй като в нашият случай $c=4$, според написаното по-горе решението на даденото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията:
$3x-5=4$ или $3x-5=-4$
$3x=9$ или $3x=1$
$x_1=3$ или $x_2=\frac{1}{3}.$
2 Задача Решете уравнението $|\frac{1}{2}x-5|=0.$
Решение: $|\frac{1}{2}x-5|=0 \iff \frac{1}{2}x-5=0$, следователно $x=5:\frac{1}{2}=10.$
3 Задача Решете уравнението $|3x^2-x+4|=-5$
Решение: От казаното по-горе, разбрахме, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число, следователно дадената задача няма решение.
4 Задача Решете уравнението $3-|1,5-x|=1$.
Решение: Ще доведем първо уравнението до вида $|ax+b|=c$. За целта ще прехвърлим $3$ в дясната страна на уравнението, а след това ще умножим и двете страни с $(-1)$, така имаме:
$-|1,5-x|=1-3$
$-|1,5-x|=-2$ /$(-1)$
$|1,5-x|=2$. Доведохме даденото уравнение до вида $|ax+b|=c$. Сега съобразявайки, че $2>0$ става ясно, че се намираме в първия от трите случай, следователно:
$1,5-x=2$ $\cup$ $1,5-x=-2$
$x_1=-0,5$ $\cup$ $x_2=3,5$.
5 Задача Решете уравнението $|3x+1|+|9x+3|=8.$
Решение: Записваме уравнението по следният начин:
$|3x+1|+|3(3x+1)|=8$
$|3x+1|+3|3x+1|=8$
$4|3x+1|=8$ /$4$
$|3x+1|=2$.
Решението на полученото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията $3x+1=2$ и $3x+1=-2$
$x_1=\frac{1}{3}$ или $x_2=-1.$
6 Задача Решете уравнението $3|2y-5|-5|5-2y|+6=0.$
Решение: От свойствата на модула уравнението можем да запишем във вида $3|2y-5|-5|2y-5|=-6\iff -2|2y-5|=-6.$ Често срещана грешка е, в този случай да се напише, че уравнението няма решение защото от дясната страна на знака $=$ имаме отрицателно, в случая $-6.$ Това в случая би било грешка, нека да видим защо:
$-2|2y-5|=-6$ /$(-2)$
$|2y-5|=3.$ Сега след като разделихме на $-2$ виждаме, че получаваме модулно уравнение при $c>0$, следователно от 1 сл.) решението на полученото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията $2y-5=3$ и $2y-5=-3$, следователно $y_1=4$ или $y_2=1.$
7 Задача Решете уравнението $|(x+5)^2-5(2x+5)|=81.$
Решение: Разкриваме скобите в модула и извършваме привиденията:
$|x^2+10x+25-10x-25|=81$
$|x^2|=81$, следователно
$x^2=81$ или $x^2=-81$ (което очевидно не е вярно, защото няма как да повдигнем число на втора степен и да получим отрицателно число ($(+)\cdot(+)=(+)$ и $(-)\cdot(-)=(+)$), от където остава само, че $x^2=81\iff x^2-81=0\iff (x-9)(x+9)=0$. Получихме уравнение от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ (повече за него тук). След решаването му получаваме $x_1=9$ или $x_2=-9.$
8 Задача Решете уравнението $||2x-3|-2|=1.$
Решение: От казаното в началото имаме, че:
$|2x+3|-2=1$ или $|2x+3|-2=-1$
$|2x+3|=3$ или $|2x+3|=1$, следователно
$2x+3=3$ или $2x+3=-3$ или $2x+3=1$ или $2x+3=-1$, от тук
$x_1=0$ или $x_2=-3$ или $x_3=-1$ или $x_4=-2.$
Задачи за самостоятелна работа
1. Решете уравнението $|7x-5|=9.$
2. Решете уравнението $|(u-1)(1-u)+u(u-2)|=9.$
3. Решете уравнението $||x+2|+4|=5.$
4. Решете уравнението $5|7x-11|-10|11-7x|+15=0.$
5. Решете уравнението $2|3x-4|-6|4-3x|=10.$
6. Решете уравнението $|(\frac{1}{2}x-1)^2-x(\frac{1}{4}x-3)|=2.$
7. Да се намери сборът от противоположните стойности на корените на уравнението $8+|2-x|-|8-4x|=-4$.
8. Дадени са уравненията:
(1) $\frac{2}{3}(x-\frac{x-1}{5})-\frac{(x-2)^2}{5}=\frac{x(10-3x)}{15},$
(2) $|x+1|=2$ и
(3) $x^2+2x-3=0$.
а) Решете уравнението (1); б) Решете уравнението (2); в) Решете уравнението (3);
г) Намерете кои от дадените уравнения са еквивалентни.
(Национално външно оценяване по математика за 7 клас 2020 г.)
9. Намерете корена на уравнението $||3x-4|-2|=5$, който е цяло число.
10. Дадено е уравнението $|5-4y|=8-|4y-5|$.
а) Да се намерят корените на уравнението.
б) Да се намери сбора на корените, които са по-големи от 1. (Национална олимпиада по математика)
11. Докажете, че уравненията $3x^2-4x-4=0$ и $|5-|3x+2||=5$ имат общ корен, който е по-малък от стойността на израза $m=\frac{7,5^3-8^3}{7,5^2+60+8^2}$.
12. Решете уравненията $||x-2|+4|=6$ и $x^2=4x$ и $2x^2-11x+12=0$. Кои от тях са еквивалентни?
13. Ако числата $a$ и $b$ са такива, че $|2a-3|:8=2^{-3}:3^{-2}$ и $|2-b|:a=3^{-1}:2^{-2}$, намерете всички възможни стойности на сбора $a+b$.
14. Да се реши уравнението:
а) $|\frac{4x-1}{3}-x|=6$;
б) $|\frac{2-\frac{x}{3}}{4}+x-\frac{\frac{2x}{5}-1}{6}|=1$.
15. Да се намери общият корен на уравненията $|x-5|+|15-3x|=8$ и $x^3+4x^2=21x$.
16. Еквивалентни ли са уравненията $||x-3|-2|=1$ и $(x^2-6x)^2+8(x^2-6x)=0$?
Видео уроци
Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-горе.
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар