Уравнения от вида $|ax+b|=c$ 7 клас

Уравнения от вида $|ax+b|=c$, ще наричаме модулно уравнение. Решаването на модулното уравнение е свързано с разглеждането на $3$ в зависимост от стойностите на $c$ случая:

1 сл.) При $c>0$ решаването на модулното уравнение се свежда до решаването на следните две линейни уравнения $ax+b=c$ или $ax+b=-c$.

2 сл.) При $c=0$ даденото модулно уравнение е еквивалентно на линейното уравнение $ax+b=0$, записваме така $|ax+b|=c \iff ax+b=0.$

3 сл.) При $c<0$ модулното уравнение няма решение.

Нека си припомним какво представлява модул (абсолютна стойност) на едно число.

Да разгледаме числовата ос:

Модулът на едно число представлява отдалечеността на това число от $0$. Например $-4$ както ясно можем да видим се намира на 4 единични отсечки от $0$ за това и $|-4|=4.$ Модул от числото $3$ т.е. $|3|=3$, защото отдалечеността на числото $3$ от $0$ е на 3 единични отсечки. Следователно от казаното до тук, можем да заключим, че модулът на едно число е просто разстоянието от $0$ до това число, ето защо и $|-4|=|4|=4$, защото и $4$ и $-4$ се намират на разстояние 4 единични отсечки от $0.$

Определение: 1. $|a|=a$, при $a>0;$ 2. $|a|=0$, при $a=0;$ 3. $|a|=-a$ при $a<0.$

Свойства на модула: 

1) $|a|\geq 0;$

2) $|a|=|-a|;$ 

3) $|a-b|=|b-a|$ за разлика от $(a-b)=-(b-a);$

4) $|a+b|=|-a-b|;$

5) $|a.b|=|a|.|b;$

6) $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$, при $b\neq 0.$ 

1 Задача Решете уравнението $|3x-5|=4.$

Решение: Тъй като в нашият случай $c=4$, според написаното по-горе решението на даденото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията:

$3x-5=4$ или $3x-5=-4$

$3x=9$ или $3x=1$

$x_1=3$ или $x_2=\frac{1}{3}.$

2 Задача Решете уравнението $|\frac{1}{2}x-5|=0.$

Решение: $|\frac{1}{2}x-5|=0 \iff \frac{1}{2}x-5=0$, следователно $x=5:\frac{1}{2}=10.$ 

3 Задача Решете уравнението $|3x^2-x+4|=-5$

Решение: От казаното по-горе, разбрахме, че модулът, не може да бъде равен на отрицателно число, следователно дадената задача, няма решение.

4 Задача Решете уравнението $3-|1,5-x|=1$.

Решение: Ще доведем първи уравнението до вида $|ax+b|=c$. За целта ще прехвърлим $3$ в дясната страна на уравнението, а след това ще умножим и двете страни с $(-1)$, така имаме:

$-|1,5-x|=1-3$

$-|1,5-x|=-2./(-1)$

$|1,5-x|=2$. Доведохме даденото уравнение до вида $|ax+b|=c$. Сега съобразявайки, че $2>0$ става ясно, че се намираме в първия от трите случай, следователно:
$1,5-x=2$ $\cup$ $1,5-x=-2$

$x_1=-0,5$ $\cup$ $x_2=3,5$.

5 Задача Решете уравнението $|3x+1|+|9x+3|=8.$

Решение: Записваме уравнението по следният начин:

$|3x+1|+|3(3x+1)|=8$

$|3x+1|+3|3x+1|=8$

$4|3x+1|=8/:4$

$|3x+1|=2$.

Решението на полученото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията $3x+1=2$ и $3x+1=-2$

$x_1=\frac{1}{3}$ или $x_2=-1.$

6 Задача Решете уравнението $3|2y-5|-5|5-2y|+6=0.$

Решение: От свойствата на модула уравнението можем да запишем във вида $3|2y-5|-5|2y-5|=-6\iff -2|2y-5|=-6.$ Често срещана грешка е, в този случай да се напише, че уравнението няма решение защото от дясната страна на знака $=$ имаме отрицателно, в случая $-6.$ Това в случая би било грешка, нека да видим защо:

$-2|2y-5|=-6/:(-2)$

$|2y-5|=3.$ Сега след като разделихме на $-2$ виждаме, че получаваме модулно уравнение при $c>0$, следователно от $1$ сл.) в началото решението на полученото уравнение е еквивалентно на обединението от решенията на уравненията $2y-5=3$ и $2y-5=-3$, следователно $y_1=4$ или $y_2=1.$

 

7 Задача Решете уравнението $|(x+5)^2-5(2x+5)|=81.$

Решение: Разкриваме скобите в модула и извършваме привиденията:

$|x^2+10x+25-10x-25|=81$

$|x^2|=81$, следователно

$x^2=81$ или $x^2=-81$ (което очевидно не е вярно, защото няма как да повдигнем число на втора степен и да получим отрицателно число ($(+).(+)=(+)$ и $(-)(-)=(+)$), от където остава само, че $x^2=81\iff x^2-81=0\iff (x-9)(x+9)=0$. Получихме уравнение от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ (повече за него тук). След решаването му получаваме $x_1=9$ или $x_2=-9.$

8 Задача Решете уравнението $||2x-3|-2|=1.$

Решение: От казаното в началото имаме, че:

$|2x+3|-2=1$ или $|2x+3|-2=-1$

$|2x+3|=3$ или $|2x+3|=1$, следователно

$2x+3=3$ или $2x+3=-3$ или $2x+3=1$ или $2x+3=-1$, от тук

$x_1=0$ или $x_2=-3$ или $x_3=-1$ или $x_4=-2.$

Задачи за самостоятелна работа

1. Решете уравнението $|7x-5|=9.$

2. Решете уравнението $|(u-1)(1-u)+u(u-2)|=9.$

3. Решете уравнението $||x+2|+4|=5.$

4. Решете уравнението $5|7x-11|-10|11-7x|+15=0.$

5. Решете уравнението $2|3x-4|-6|4-3x|=10.$

6. Решете уравнението $|(\frac{1}{2}x-1)^2-x(\frac{1}{4}x-3)|=2.$

7. Да се намери сборът от противоположните стойности на корените на уравнението $8+|2-x|-|8-4x|=-4$.

8. Дадени са уравненията:
(1) $\frac{2}{3}(x-\frac{x-1}{5})-\frac{(x-2)^2}{5}=\frac{x(10-3x)}{15},$

(2) $|x+1|=2$ и 

(3) $x^2+2x-3=0$.

а) Решете уравнението (1); б) Решете уравнението (2); в) Решете уравнението (3);

г) Намерете кои от дадените уравнения са еквивалентни.

(Национално външно оценяване по математика за 7 клас 2020 г.)

9. Намерете корена на уравнението $||3x-4|-2|=5$, който е цяло число.

10. Дадено е уравнението $|5-4y|=8-|4y-5|$.

а) Да се намерят корените на уравнението.

б) Да се намери сбора на корените, които са по-големи от 1. (Национална олимпиада по математика)

11. Докажете, че уравненията $3x^2-4x-4=0$ и $|5-|3x+2||=5$ имат общ корен, който е по-малък от стойността на израза $m=\frac{7,5^3-8^3}{7,5^2+60+8^2}$.

12. Решете уравненията $||x-2|+4|=6$ и $x^2=4x$ и $2x^2-11x+12=0$. Кои от тях са еквивалентни?

13. Ако числата $a$ и $b$ са такива, че $|2a-3|:8=2^{-3}:3^{-2}$ и $|2-b|:a=3^{-1}:2^{-2}$, намерете всички възможни стойности на сбора $a+b$.

14. Да се реши уравнението: 

а) $|\frac{4x-1}{3}-x|=6$;

б) $|\frac{2-\frac{x}{3}}{4}+x-\frac{\frac{2x}{5}-1}{6}|=1$.

15. Да се намери общият корен на уравненията $|x-5|+|15-3x|=8$ и $x^3+4x^2=21x$.

16. Еквивалентни ли са уравненията $||x-3|-2|=1$ и $(x^2-6x)^2+8(x^2-6x)=0$?

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +